2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何5第5讲椭圆第1课时椭圆及其性质新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第1课时椭圆及其性质[基础题组练]1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq\f(y2,m)＝1的焦点坐标为()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(±eq\r(3)，0)或(±eq\r(5)，0) D．(0，±eq\r(3))或(±eq\r(5)，0)解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1的焦点坐标为(0，±eq\r(3))，故选B.2．曲线eq\f(x2,169)＋eq\f(y2,144)＝1与曲线eq\f(x2,169－k)＋eq\f(y2,144－k)＝1(k<144)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析：选D.曲线eq\f(x2,169－k)＋eq\f(y2,144－k)＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．3．(2024·郑州市其次次质量预料)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(2,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1，故选D.4．(2024·长春市质量检测(二))已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为()A.eq\f(4,3) B．1C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,4)解析：选D.法一：不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，可得A点纵坐标为eq\f(3,2)，故|AB|＝3，所以内切圆半径r＝eq\f(2S,C)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，其中S为△ABF1的面积，C为△ABF1的周长4a＝8.法二：由椭圆的通径公式可得|AB|＝eq\f(2b2,a)＝3，则S＝2×3×eq\f(1,2)＝3，C＝4a＝8，则r＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).5．若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为________．解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝eq\r(2)c，故椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)6．(2024·贵阳模拟)若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，2b＝4，得b＝2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,a2＝b2＋c2＝4＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝2\r(3)，))所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.答案：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以S△F1PF2＝eq\f(1,2)|yP|×2c＝eq\f(1,2)×4×6＝12.8．分别求出满意下列条件的椭圆的标准方程．(1)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同的离心率且经过点(2，－eq\r(3))；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t1或eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－eq\r(3))，所以t1＝eq\f(22,4)＋eq\f(（－\r(3)）2,3)＝2，或t2＝eq\f(（－\r(3)）2,4)＋eq\f(22,3)＝eq\f(25,12).故所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝5＋3，,（2c）2＝52－32，))解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.[综合题组练]1．(2024·贵阳市摸底考试)P是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的一点，A为左顶点，F为右焦点，PF⊥x轴，若tan∠PAF＝eq\f(1,2)，则椭圆的离心率e为()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)解析：选D.如图，不妨设点P在第一象限，因为PF⊥x轴，所以xP＝c，将xP＝c代入椭圆方程得yP＝eq\f(b2,a)，即|PF|＝eq\f(b2,a)，则tan∠PAF＝eq\f(|PF|,|AF|)＝eq\f(\f(b2,a),a＋c)＝eq\f(1,2)，结合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，两边同时除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝－1(舍去)．故选D.2．(2024·湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满意|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1解析：选C.由题意知，c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝8，又|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，所以a＝7，所以b2＝a2－c2＝24，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故选C.3．(综合型)已知△ABC的顶点A(－3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，则eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝________．解析：由椭圆方程知a＝5，b＝4，所以c＝eq\r(a2－b2)＝3，所以A，B为椭圆的焦点．因为点C在椭圆上，所以|AC|＋|BC|＝2a＝10，|AB|＝2c＝6.所以eq\f(5sinC,sinA＋sinB)＝eq\f(5|AB|,|BC|＋|AC|)＝eq\f(5×6,10)＝3.答案：34．已知椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若|k1·k2|＝eq\f(1,4)，则椭圆的离心率为________．解析：设M(x0，y0)，则N(x0，－y0)，|k1·k2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0＋a)·\f(y0,a－x0)))＝eq\f(yeq\o\al(2,0),a2－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),a2))),a2－xeq\o\al(2,0))＝eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，从而e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5．(2024·兰州市诊断考试)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点(eq\r(2)，1)，且离心率为eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆C的方程；(2)设M，N是椭圆上的点，直线OM与ON(O为坐标原点)的斜率之积为－eq\f(1,2).若动点P满意eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))，求点P的轨迹方程．解：(1)因为e＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，又椭圆C经过点(eq\r(2)，1)，所以eq\f(2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\up6(→))得x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2，因为点M，N在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，所以xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，故x2＋2y2＝(xeq\o\al(2,1)＋4x1x2＋4xeq\o\al(2,2))＋2(yeq\o\al(2,1)＋4y1y2＋4yeq\o\al(2,2))＝(xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1))＋4(xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2))＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM与ON的斜率，由题意知，kOM·kON＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,2)，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20，故点P的轨迹方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,10)＝1.6．(2024·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)假如存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1.(2)由题意可知，满意条件的点P(x，y)存在当且仅当eq\f(1,2)|y|·2c＝16，e