四川省眉山市彭山区2025届高三第一次摸底数学试题含解析

四川省眉山市彭山区2025届高三第一次摸底数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为A． B． C． D．3．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（）A．16 B．17 C．18 D．194．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（）A． B． C． D．5．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A． B．C． D．6．已知非零向量，满足，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解:7．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()A． B． C． D．8．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．9．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A．20 B．24 C．25 D．2610．已知函数（）的部分图象如图所示，且，则的最小值为（）A． B．C． D．11．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．12．棱长为2的正方体内有一个内切球，过正方体中两条异面直线，的中点作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（）A． B． C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上到其焦点距离为5的点有_______个．14．已知向量，，且，则________．15．已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____．16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了人，其中女性人，男性人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；（2）根据统计数据建立一个列联表；（3）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.附：18．（12分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值．（1）求证：；（2）若时，恒成立，求的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.（1）求cosC；（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.20．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形(如图所示)，其中.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道（为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.21．（12分）在平面四边形中，已知，.（1）若，求的面积；（2）若求的长.22．（10分）已知抛物线，直线与交于，两点，且.（1）求的值；（2）如图，过原点的直线与抛物线交于点，与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据分段函数直接计算得到答案.【详解】因为所以.故选：.本题考查了分段函数计算，意在考查学生的计算能力.2．C【解析】

将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数的图象的一条对称轴是，所以，即，所以，又，所以的最小值为．故选C．3．B【解析】

计算，故，解得答案.【详解】当时，，即，且.故，，故.故选：.本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.4．D【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．【详解】当时，．所以数列从第2项起为等差数列，，所以，，．，，．故选：．本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5．D【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，该金字塔的侧棱长为，所以需要灯带的总长度约为，故选D．6．C【解析】

根据向量的数量积运算，由向量的关系，可得选项.【详解】，，∴等价于，故选：C.本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件，属于基础题.7．A【解析】

根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，，，高为.∴该几何体的体积为故选：A.本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.8．A【解析】

先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，当直线和直线互相垂直时，，解得.所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．当时，没有零点，所以命题是假命题．所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．故选：．本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象，考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．D【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（种），故选：D.本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.10．A【解析】

是函数的零点，根据五点法求出图中零点及轴左边第一个零点可得．【详解】由题意，，∴函数在轴右边的第一个零点为，在轴左边第一个零点是，∴的最小值是．故选：A.本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数的零点就是其图象对称中心的横坐标．11．B【解析】

利用等差数列性质，若，则求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.12．C【解析】

连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，推导出OH∥RQ，且OH＝RQ＝，由此能求出该直线被球面截在球内的线段的长．【详解】如图，MN为该直线被球面截在球内的线段连结并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，取MN的中点H，则OH⊥MN，∴OH∥RQ，且OH＝RQ＝，∴MH＝＝＝，∴MN＝．故选：C．本题主要考查该直线被球面截在球内的线段的长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

设符合条件的点,由抛物线的定义可得,即可求解.【详解】设符合条件的点,则,所以符合条件的点有2个.故答案为:2本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.14．【解析】

根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.【详解】，且，则，解得.故答案为：.本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.15．【解析】

建立平面直角坐标系，设，可得，进而可得出，，由此将转化为以为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果.【详解】根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设，，以、为邻边作平行四边形，则，设，则，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，则，当时，取最大值.故答案为：.本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题．16．②【解析】

根据新定义，结合实数的性质即可判断①②③，由定义求得比小的有理数个数，即可确定④.【详解】对于①，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以①错误；对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以②正确；对于③，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以③错误；对于④，由定义可知，所以④错误；综上可知，正确的为②.故答案为：②.本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系【解析】

（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；（2）填写列联表即可；（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.（2）列联表如下：戴口罩不戴口罩合计女性男性合计（3）由（2）中数据可得：.所以，在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．18．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）对求导，令，求导研究单调性，分析可得存在使得，即，即得证；（2）分，两种情况讨论，当时，转化利用均值不等式即得证；当，有两个不同的零点，，分析可得的最小值为，分，讨论即得解.【详解】（1）由题意，令，则，知为的增函数，因为，，所以，存在使得，即．所以，当时，为减函数，当时，为增函数，故当时，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，证毕．（2）由（1）知，的最小值为，①当，即时，为的增函数，所以，，由（1）中，得，即．故满足题意．②当，即时，有两个不同的零点，，且，即，若时，为减函数，（*）若时，为增函数，所以的最小值为．注意到时，，且此时，（ⅰ）当时，，所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以．（ⅱ）当时，，所以，所以由（*）知时，为减函数，所以，不满足时，恒成立，故舍去．故满足条件．综上所述：的取值范围是．本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.19．（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出，即可求出结论.【详解】（1），，；（2）在中，由（1）得，，由余弦定理得，，在中，，.本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.20．（1）（2）当时，，米时，发酵馆的占地面积最小；当时，时，发酵馆的占地面积最小；当时，米时，发酵馆的占地面积最小.【解析】

（1）设米，总费用为，解即可得解；（2）结合（1）可得占地面积结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】（1）由题意知:矩形面积米，设米，则米，由题意知:，得，设总费用为，则，解得:，又，故，所以发酵池边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为由（1）知:，①时，，在上递增，则，即米时，发酵馆的占地面积最小；②时，，在上递减，则，即米时，发酵馆