专题19 规律探索与逻辑推理-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（河南专用）

PAGE1专题19规律探索与逻辑推理（解析版）1.（2022·河南·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（）

A. B. C. D.【答案】B【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，∴AP＝1，AO＝2，∠OPA＝90°，∴OP＝＝，∴A（1，），第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），故选：B2.（2020·河南·统考中考真题）7.定义运算：．例如．则方程的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.只有一个实数根【答案】A【详解】解：根据定义得：＞原方程有两个不相等的实数根，故选

一、单选题1．（2024·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，．把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∴绕四边形一周的细线长度为，∵，∴细线另一端在绕四边形第202圈的第4个单位长度的位置，即从点B向下沿移动2个单位所在的点的坐标即为所求，也就是点．故选：D．2．（2024·河南驻马店·二模）观察下列算式：，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【详解】解：∵，，，，，，，，∴的末位数字是按2，4，8，6的顺序循环出现的．∴，故的末位数字是2，故选：A．3．（2024·河南新乡·二模）如图，在平面直角坐标系中，一动点自处向上运动个单位长度至点，然后向左运动个单位长度至点处，再向下运动个单位长度至点处，再向右运动个单位长度至点处，…，按如此规律继续运动下去，当这点运动至处时，点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：，则在第四象限，由题意，第四象限的点为，，，，，．故选：C．4．（2024·河南周口·二模）按一定规律排列的单项式：x，，，，，，第n个单项式是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：单项式的系数分别是，次数的规律是从1开始的连续的奇数，即，第个单项式是：，故选：B．5．（2024·河南南阳·二模）“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】B【详解】结合图形可知：，，，……，则：故选：B．6．（2024·河南驻马店·一模）如图，，直线a，b被直线c所截，、分别平分、交于点，得；、分别平分，交于点，得；、分别平分、交于点，得，…，依次规律，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意，，，∴，∴；故选C．7．（2024·河南濮阳·二模）将正整数的算术平方根按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对表示第排，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：第一排最后一个数为，第二排最后一个数为，第三排最后一个数为，第四排最后一个数为，……，以此类推，可知第n排的最后的数为∴第7排最后的数为：，∴第8排第5个数为，∴表示的实数是．故选：C8．（2024·河南许昌·一模）如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达点，再向正北方向走6米到达点，再向正西方向走9米到达点，再向正南方向走12米到达点，再向正东方向走15米到达点，按如此规律走下去，当机器人走到点时，则的坐标为（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由题知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可见，点的坐标为，为正整数）．当时，则的坐标为．故选：B．9．（2024·河南新郑·三模）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动个单位长度，依次得到根据这个规律，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加，∴，∴所以点的横坐标为，则点的纵坐标与的纵坐标是相同的，由图易知，点的纵坐标为，即点的纵坐标为，点的坐标为，故选：．10．（2024·河南鹤壁·一模）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（

）A．200 B．175 C．150 D．125【答案】B【详解】解：∵，，，∴，图1中所有正方形面积和为：，图2中所有正方形面积和，，图3中所有正方形面积和，⋯∴第n个图形中所有正方形的面积和为，∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确．故选：B．11．（2024·河南安阳·二模）将一些相同“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“○”的个数，则第8个图中“○”的个数是（

）A．45 B．60 C．65 D．80【答案】B【详解】解：由所给图形可知，第1个图中“O”的个数为：；第2个图中“O”的个数为：；第3个图中“O”的个数为：；第4个图中“O”的个数为：；…，所以第n个图中“O”的个数为个，当时，（个），即第8个图中“O”的个数为60个．故选：B．12．（2024·河南漯河·二模）如图，动点A在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点A的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：根据题意得：第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，，由此发现，第n次运动到点的横坐标为n，纵坐标2，0，3，0四个数一循环，为奇数，，∴经过第2025次运动后，动点的坐标是．故选：C．13．（2024·河南南阳·三模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（

）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】B【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即第2种如图②有6个氢原子，即第3种如图③有8个氢原子，即，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；故选：B．14．（2024·河南平顶山·三模）一组图形按下列规律排序，其中第①个图形有3个星星，第②个图形有8个星星，第③个图形有个星星，，按此规律排列下去，则第⑧个图形的星星的个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：第①个图形有个星星，第②个图形有个星星，第③个图形有个星星，第④个图形有个星星，∴第⑧个图形的星星的个数是，故选：C．15．（2024·河南周口·二模）数据，□，，，，…是按照一定规律有序排列的，则“□”里应填的数是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】原数据为：，□，，，，…∵原数据的分子部分都是质数，故所求的分子为，分母都是合数，分别为，，，，，则所求分母为，∴□为故选：A．16．（2024·河南太康·二模）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，第④个图中有9张黑色正方形纸片……，按此规律排列下去，则第2024个图中黑色正方形纸片的张数为（

）A．4027 B．4047 C．4048 D．4049【答案】D【详解】解：由图可得：第1个图中黑色正方形纸片的张数为，第2个图中黑色正方形纸片的张数为，第3个图中黑色正方形纸片的张数为，第4个图中黑色正方形纸片的张数为，…，第个图中黑色正方形纸片的张数为，第2024个图中黑色正方形纸片的张数为，故答案为：D．17．（2024·河南鹿邑·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：正方形的边长为1，，正方形的边是正方形的对角线，，的坐标为，同理可知，的坐标为，同理可知，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，，的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为．故选：B．18．（2024·河南新密·三模）下列图形都是由同样大小的“”按照一定规律所组成的，其中第①图形有1个“”，第②个图形有5个“”，第③个图形有11个“”，第④个图形有19个“”按此规律排列下去，则第⑧个图形中“”的个数为（

）A．71 B．72 C．55 D．56【答案】A【详解】解：由题可得：第①个图形中的基本图形的个数：第②个图形中的基本图形的个数：第③个图形中的基本图形的个数：第④个图形中的基本图形的个数：第个图形中的基本图形的个数：第⑧个图形中的基本图形的个数：故选：A．19．（2024·河南平顶山·三模）如图，观察图形变化的规律，则第个图形中黑色正方形的数量是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵当为偶数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；当为奇数时，第个图形中黑色正方形的数量为个；∴当时，黑色正方形的个数为个，故选：．20．（2024·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，如：第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，……当为奇数时，第个点的坐标为，当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，∵，为奇数，∴第个点的坐标为，∴退1个点，得到第个点是．故选：B．二、填空题21．（2024·河南濮阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为，过作的平行线交于，过作轴的垂线，垂足为…按此规律，则线段的长度为．（，且为正整数）【答案】【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设直线交轴于点，交轴于点，当时，得：；当时，，解得：，∴，，∴，；∴，∴，由解得，∴∵轴，∴，∵过作的平行线交于，设直线的表达式为，过点，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵轴，∴，设直线的表达式为，过点，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵轴，∴，设直线的表达式为，过点，∴，解得：，∴，由解得，∴，∵轴，∴，……∵，，，∴轴，轴，轴，∴，，，，∴，，，按此规律，线段的长度为．故答案为：．22．（2024·河南洛阳·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中，沿曲线的方向从左往右运动，第1秒从原点运动到点，第2秒运动到点，第3秒运动到点，第4秒运动到点…按这样的规律，第2024秒运动到点．【答案】【详解】解：分析图象可以发现，点的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．，当第2024秒点位置在，故答案为：．23．（2024·河南濮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；再将绕原点顺时针旋转得到等腰，且；……依此规律，得到等腰，则点的坐标为．【答案】【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，，将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，∴每4次循环一周，．，∴点与同在一个象限内，故答案为：．24．（2024·河南项城·二模）用黑、白两种颜色的正六边形地砖按图所示规律铺地面，则第5个图形有块白色地砖，第个图形有块白色地砖．【答案】22【详解】解：第1个图形有白色地砖6块，第2个图形有白色地砖（块，第3个图形有白色地砖（块，第5个图形白色地砖的块数：（块，第个图形白色地砖的块数：块，答：第5个图形有22块白色地砖，第个图形有块白色地砖．故答案为：22；．25．（2024·河南淮阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作y轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是．【答案】【详解】解：∵点，轴，∴点的横坐标为1，当时，，∴点的坐标为，∴，∴正方形的边长为2，∴，∴点、的横坐标均为3，∴，∴，∴正方形的边长为6，同理：，∴，∴正方形的边长为18，∴，……，由此发现，，∴．故答案为：26．（2024·河南许昌·三模）如图，，点在边上，且，过点作交于点，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交，于点，，以为边在的右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交，于点，，以为边在的右侧作等边三角形……按此规律进行下去，则线段的长为．【答案】【详解】解：∵，，，∴，，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，同上得，∵，∴，同理可得，，……∴，故答案为．27．（2024·河南洛阳·三模）如图，正方形的边长为1，以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，，围成阴影部分的面积为；然后以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，弧与相交于点，设，与围成阴影部分面积为；按此规律继续作下去，设，，围成阴影部分面积为，则．【答案】【详解】解：正方形的边长为1，∴，，以为圆心，为半径作扇形，得到；以为对角线作正方形，又以为圆心，为半径作扇形，则，得到；依此类推得到，得到，故，故．故答案为：．28．（2024·河南开封·三模）如图，观察给出的四个点阵，表示每个点阵中的点的个数，按照图形中点的个数的变化规律，猜想第个点阵中的点的个数为．

【答案】/【详解】∵第1个点阵中的点的个数，第2个点阵中的点的个数，第3个点阵中的点的个数，第4个点阵中的点的个数，…∴第个点阵中的点的个数．故选答案为：．29．（2024·河南太康·三模）如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的规律运动，则第2024次运动到点的坐标是．【答案】【详解】解：由图可知：动点的横坐标为，纵坐标以2，0，4，0四个为一周期循环，，第2024次运动到点，即：．故答案为：．三、解答题30．（2024·河南濮阳·一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；解答下列问题：(1)按规律填空：．(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并加以证明．【答案】(1)6(2)第个等式为，证明见解析【详解】（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：，可得，第5个等式：；第6个等式：，故答案为：6；（2）由题意可猜想得，第个等式为，证明：，第个等式为．31．（2024·河南洛阳·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好