专题12 三角形-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分项汇编（河南专用）

PAGE1专题12三角形（解析版）1.（2024·河南·统考中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.【答案】①.##②.##【详解】解：∵，，∴，∵线段绕点C在平面内旋转，，∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，∵，∴，∴点E在以为直径的圆上，在中，，∵为定值，∴当最大时，最大，最小时，最小，∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最大值为；当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：则，∴，∴，∵四边形为圆内接四边形，∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴，即的最小值为；故答案为：；．2．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（）A.6 B.3 C. D.【答案】A【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，∴，，又∵为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，∴，即，∴，过点作，∴，则，∴，即：等边三角形的边长为6，故选：A．3.（2022·河南·统考中考真题）15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．【答案】或##或【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．4.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1.第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，如图2；第二步，将纸片沿CA'折叠，点D落在D'处，如图3.当点D'恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段A'D'的长为______．【答案】12或【详解】解：①点D'恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设A'C交AB边于点E，如图，

由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，A'C垂直平分线段DD'．

则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，

∴BC=AC⋅tanA=1×tan60°=3．

∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，

∴CE=32．

∴A'E=A'C−CE=1−32．

在Rt△A'D'E中，

∵cos∠D'A'E=A'EA'D'，

∴A'EA'D'=12，

∴A'D'=2A'E=2−3．

②点D'恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图，

由题意：△ADC≌△A'DC≌△A'D'C，∠ACD=∠A'CD=∠A'CD'=13∠ACB=30°；

则∠D'A'C=∠DA'C=∠A=60°，A'C=AC=1．

∵∠D'A'C=60°，∠A'CD'=30°，

∴∠A'D'C=90°，

∴A'D'=12A'C=12×1=12．

综上，线段A'D'的长为：12或2−3．

故答案为：1A. B. C. D.【答案】B【详解】解：由题意知：四边形为正方形，如图，当落在上时，由故选一、单选题1．（2024·河南周口·一模）如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【详解】如图所示，连接，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，∵平分，∴∵∴∴∵，∴是等边三角形∵点是的中点，∴∴∴∴．∴的最小值为6．故选：C．2．（2024·河南驻马店·二模）如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（

）A． B．5 C．10 D．【答案】A【详解】连接，如图∵，∴，由作法得垂直平分，∴，∴，∴，在中，，∴，故选：A.3．（2024·河南新乡·三模）如图，在中，，按如下步骤作图，①以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】解：∵，，，∴，由作图知平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选：．4．（2024·信阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似∴△ABO∽△A′B′O且＝.∴＝＝∴A′E＝AD＝2OE＝OD＝1∴A′（-1,2）同理可得A′′（1,-2）方法二：∵点A（-3，6）且相似比为∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），∴A′（-1,2）∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称∴A′′（1,-2）故选：D．5．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（

）A．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】D【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出，∴，∵法线垂直于，∴，∴，∴，∵，，∴，解得：，故选：D．6．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，，．故选：B．7．（2024·扶沟·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（

）

图1

图2A． B． C． D．【答案】B【详解】设蜡烛火焰的高度是，，，由相似三角形的性质得到：，解得．即䇎烛火焰的高度是．故选：B．8．（2024·南阳·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∴，又∵，∴为等边三角形，∴，在和中，∴≌∴，∴．故选：D．9．（2024·新乡·二模）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC，∴，；选项A、B正确；∵，∴∠ACD=∠A=40°，∵，，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴，选项D错误；∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=115°，选项C正确；故选：D10．（2024·鹤壁·三模）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（

）A． B． C．a-b D．b-a【答案】C【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，∴∠ABD=36°=∠A，∴BD=AD，∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，∴BD=BC，∵AB=AC=a，BC=b，∴CD=AC-AD=a-b，故选：C．11．（2024·驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，，∵，∴与位似比为，点的坐标是，点E在第一象限，点E的坐标是，即，∴点的横坐标是10．故选：D．12．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(

)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【详解】解：∵点，分別是边，的中点，∴是的中位线，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．13．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，已知点，，点在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在轴上，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如解图所示．，∵，，∴．由折叠的性质，可知，，．∴．∴在中，．∴．∴在中，．∵，，∴，∴，∵，∴．∵，∴点的坐标为，故选：A．二、填空题14．（2024·河南新乡·一模）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则．【答案】4【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，故答案为：4．15．（2024·河南新乡·三模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为．【答案】或/或【详解】解：∵，，，，∴，，，∵∴，①当时，如图，过A作于H，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；②当时，如图，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，∴∴；综上，的长为或．故答案为：或．16．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为．【答案】4【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时，∴，∵点为边中点，∴，由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小，∴根据垂线段最短，此时，如图所示，此时点P运动的路程，

∴，∴在中，，即．故答案为：417．（2024·河南安阳·三模）如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为．【答案】5【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．∵点P关于的对称点为C，∴．∵点P关于的对称点为D，∴，∴，，∴是等边三角形，∴．∴的周长的最小值．故答案为：5．18．（2024·新郑·二模）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为．

【答案】（2，3）【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，根据题意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，设BC的关系式为：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，当y=0时，x=3，即G（3,0），∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四边形MEAF为正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（-3，3），∴M（2，3），

故答案为：（2，3）．19．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为．

【答案】6【详解】解：取的中点G，连接，如图，

∵D是的中点，G是的中点，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：6．三、解答题20．（2024·河南鹤壁·一模）喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系．(1)请根据小明的思路完成以下作图与填空：①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：．证明：垂直平分，______．．在中，，，______．．______．．．(2)通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______．【答案】(1)①见解析；②，，(2)2.5【详解】（1）解：①作图如下：证明：垂直平分，．．在中，，，．．．．．故答案为：，，；（2）解：设，则，由勾股定理得，即，解得，∴，∴边上的中线长为2.5．故答案为：2.5．21．（2024·河南周口·二模）如图，一根电线杆垂直于地面，电线穿过电线杆顶点，一端固定在点，另一端固定在点．已知点距离地面，点距离地面，点，到电线杆的水平距离分别为与，从点看点的仰角为．(1)求电线杆的高度．(2)求电线的总长度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，）【答案】(1)电线杆的高度为(2)【详解】（1）解：如图，过点作于点．由题意得：．，，，电线杆的高度为；（2）解：如图2，过点作于点，在中，，，，电线的总长度．22．（2024·河南周口·三模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答．(1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______．(2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：．(3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长．【答案】(1)；(2)见解析(3)的长为或6【详解】（1）解：设点P的坐标是，由题意得：∴，解得：∴点P的坐标是∵，∴∴是等腰直角三角形，∴∴故答案为：；（2）证明：，，．在和中，，，，，．（3）解：是底角为的等腰三角形，，为的中点，，．①当时，如图1．，，．又，同理，，，，，．又，，；②当时时，如图2．，，四点共线，，，又，是等边三角形，综上所述，的长为或6．23．（2024·许昌·二模）综合与实践如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，．(1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______；(2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；(3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________．【答案】(1)，(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析(3)或【详解】（1）解：∵在中，，，点为的中点，∴，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故答案为：，；（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：如图，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点．，，．，，，，，，，又，，．又，，，，，，是等腰直角三角形．又点是的中点，，；（3）解：如图所示，当点E在上方时，在的延长线上截取，连接，同理可证，，，，又∵，∴在同一直线上，由题意得，可得是等腰直角三角形，则，又∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵点F是的中点，∴，∴是等腰直角三角形，∵在等腰直角中，，∴，∴，∴；如图，当点E在下方时，在的延长线上截取，连接，同理可证，，，，又∵，∴在同一直线上，由题意得，可得是等腰直角三角形，则，又∵，∴，即，∴是等腰直角三角形，∵点F是的中点，∴，∴是等腰直角三角形，∵在等腰直角中，，∴，∴，∴；综上所述，当时，的长度为或，故答案为：或．24．（2024·河南驻马店·二模）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动．(1)问题发现如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M．请直接写出的度数为______；(2)类比探究如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究：点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数；(3)拓展应用如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值．【答案】(1)(2)不变，理由见详解(3)长的最小值为，最大值为【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴，∵是的中点，∴，，∴，故答案为：；（2）解：不变，理由如下：∵在等边中，，又由条件得．，，；（3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知，当点继续在射线上运动时，的大小始终不变，即的大小始终不变，因此点的运动轨迹是过点三点的圆，连接，连接并延长交于，交于，连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，故当圆心和点在一条直线上时，且当点在圆心和点之间时，即时，有最小值，此时；当圆心点和点之间时，即时，有最大值，此时．25．（2024·河南周口·一模）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号）【答案】【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：过点A作于点D，则，∵，∴，∴，∴，在中，，在中，．26．（2024·河南周口·二模）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题．(1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______(2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)【详解】（1）解：如图，连接，，，D是的中点，，，，，，，，又，，，故答案为：；（2）解：，证明：如图，延长到点G，使，连接，，，，垂直平分，；D是的中点，，在和中，，，，，，，，是直角三角形，，；（3）解：如图，延长到点G，使，连接，，，，，垂直平分，，D是的中点，，在和中，，，，，，，，是直角三角形，，，，，在中，，，，设，则，，，，解得，．27．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积．(1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤：解：∵，D是的中点，∴．∴．

（依据：______________________）又∵，∴．∴．∴_____________________．∴．∴．又∵，∴G是的中点，∴为中位线．∴，．∴．(2)“希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题：①求证：；②求出重叠部分（）的面积．(3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________．【答案】(1)等边对等角，(2)①证明见解析；②(3)或【详解】（1）解：∵，D是的中点，∴．∴．（依据：等边对等角）又∵，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴G是的中点，∴为中位线．∴，．∴．故答案为：等边对等角，；（2）①证明：∵，，∴，又，∴；②如图，

∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∵，，∴．∴．∴．∴点为的中点．在中，．∵是中点，．在与中，∵，，∴．∴．∴，∴．∴；（3）解：当时，过D作于H，

则，∵，，∴．∴．∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴；当时，过D作于H，则，同理：，∴，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴；当时，过D作于H，过M作于G，

则，又，∴，∴，即，∴，设，则，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴，综上，的面积是为或．故答案为：或．28．（2024·河南安阳·二模）如图，在和中，