湖北省九师联盟2025届高三下学期核心模拟（下）数学（一）试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖北省九师联盟2025届高三下学期核心模拟（下）数学（一）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z=−2+iA．5 B．2 C．3 D．22．已知一组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，则该组数据的40%分位数为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．已知集合M=xx2−2xA．−2 B．4 C．−2,4．记Sn为等差数列an的前n项和，若S4=0，aA．6 B．4 C．−4 D．5．已知a>0且a≠1，若函数fx=−A．0,12 B．12,16．甲、乙等5名志愿者参加2025年文化和旅游发展大会的A、B、C、D四项服务工作，要求每名志愿者只能参加1项工作，每项工作至少安排1人，且甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，则不同的安排方法数有（

）A．36种 B．42种 C．54种 D．72种7．已知点F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，点A在C的准线l上，点B在A．1 B．2 C．3 D．48．已知0<a≤13，函数fx=axA．1e B．e C．e D．二、多选题9．对于函数fx=sinx，A．fx与gB．fx与gC．fx与gD．fx与g10．已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，F1F2=2，M是A．点M在以F1F2为直径的圆上 B．椭圆C．椭圆C的方程为5x2911．已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R，若f2−3x=f3x，fA．f′x−1是偶函数C．f′7=−6三、填空题12．已知向量a，b满足a⋅b=4，b=1,13．已知α，β均为锐角，sinα−β=2214．如图，在多面体ABCDD1C1B1A1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1四、解答题15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求C；(2)若a−b=2，△A16．某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为13，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为1(1)已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？(2)若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.17．如图，在平面四边形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，CD(1)证明：平面PEC⊥(2)求二面角A−18．已知函数fx(1)当m=1时，求曲线y=(2)若fx有两个不同的零点x1，（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：x119．已知双曲线En:x2an2−y2bn2=1(an>0,bn>0,n∈N*)(1)求双曲线En(2)证明：数列bn是以1(3)定义：无穷等比递减数列cn的所有项和S=c11−q，其中c1为cn的首项，q为cn的公比，且0<q<1.设直线BnCn答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《湖北省九师联盟2025届高三下学期核心模拟（下）数学（一）试题》参考答案题号12345678910答案ABCBDBDCBCACD题号11答案ABD1．A【分析】根据乘方运算得到z，然后根据共轭复数的定义和模的公式计算.【详解】z=−2+i故选：A.2．B【分析】根据题意，先求得9×【详解】由组数据从小到大排列：4，6，7，8，9，10，14，15，17，因为9×即数据的40%分位数为8故选：B.3．C【分析】解一元二次不等式求出集合M，再利用交集的定义求解即可.【详解】由x2−2x−所以M=xx因为N=−2故选：C.4．B【分析】根据S4=0，a3−【详解】由a3−2a2由S4=0，得S故选：B.5．D【分析】利用二次函数的值域，指对数函数的单调性，结合分界点的函数值大小，即可求出a的范围.【详解】当x≤a时，fx要使fx的值域为R，必有fx在a,所以a>1,故选:D.6．B【分析】按照B项工作安排的人数分为两类，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可.【详解】安排B项工作的人数分为两类，第一类，B项工作仅安排1人，因为甲不参加B项工作，乙必须参加D项工作，从甲、乙以外的3人中选一人参加B项工作有C3再安排A，C，D项工作，若D项工作安排两人，则有A3若D项工作安排一人，则有C3所以B项工作仅安排1人共C3第二类，B项工作安排2人，有C3由分类加法计数原理，得共有36+故选：B.7．D【分析】设∠FBA=α，则∠B1【详解】如图，过B作BB1⊥由抛物线的定义知BB又∠AFB设∠FBA因为BF=2所以sinα由于BB1/则cos∠则BF所以p+6=故选：D.

8．C【分析】构造函数gx=ax−lnxx>0，利用导数与函数间的关系及函数零点存在性定理，得到gx在0,+∞上存在两个零点【详解】令gx=ax−lnxx>0，则所以gx在0,1则gxmin=g1又x→0，gx→+所以gx在0,+∞上存在两个零点不妨设0<x1<1a<x2记hx=x2−必有当x∈0,x1∪x所以x1，x2是方程x2−b又ax1=lnx1，所以c=eab，则ca当x∈0,1时，φ′所以φx在0,1上单调递减，在1所以cab的最小值为故选：C.9．BC【分析】利用奇偶性的定义得到两个函数的奇偶性，即可判断A；在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象，由图可得两个函数的最小正周期，即可判断B；可得两个函数的最大值均为1，即可判断C；由图可得两个函数的对称轴，即可判断D；【详解】因为f−x=则fx=sin所以fx与g在同一直角坐标系中，作出fx=sin由图可知，fx的最小正周期为π，gx的最小正周期所以fx与gfx的最大值为1，gx的最大值为1，所以fx由图可知，fx图象的对称轴为x=kπ2，k∈Z所以fx与g故选：BC.

10．ACD【分析】根据F1F2=2OM=2即可判断选项A；由选项A及圆的性质可知，MF1⊥MF2.设MF1=2m，则MF【详解】如图所示，因为F1F2=2OM=2，所以点M因为点A为MF1的中点，O为F1F2的中点，所以OA为△M又∠F1MP=因为OA为△MF1F2的中位线，则MF2=在Rt△F1MF2中，又b2=a2−由F1F2=2，得c=1，所以a由上可知，a=355，b=25所以OP故选：ACD.

11．ABD【分析】由fx对称性及f【详解】∵f′1∴f即f′∴f′x则f′∵f∴f∴−∴f′x∴f′x即f′∵−又∵f′x∴f∴−f′2−∴8为f′∴f∵f′x且f′x的图象关于点∴f′x∵f′x∵f′x∴f′x∵f′x∴f′x∵x=3∴f故选：ABD.12．2【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算和投影向量的计算方法，求解即可.【详解】因为b=1,−1所以向量a在向量b⃗上投影向量为a⋅b故答案：2,13．−【分析】利用同角三角函数关系和两角和差的余弦公式求解即可.【详解】因为α，β均为锐角，所以α−由sinα−β=2由tanαtanβ=3所以cosαcosβ所以sinαsinβ故答案为：−14．4【分析】连接A1C1，B1D1，分别取AB，CD，BC，AD的中点M，N，E，F，连接MN，E【详解】连接A1C1，B1D1，分别取AB，CD，BC，A连接MN，EF，二者相交于点O，连接OA则O为MN和EF的中点，且MN因为A1B//所以四边形A1BC所以A1C1//MN，故A1在△A1AB中，因为所以A1M⊥又平面ABCD与平面A所以A1M⊥又MN⊂平面AB又OM=1同理可求得OC易知O为正方形ABCD所以点O为多面体ABCD故该外接球的表面积S球故答案为：4π15．(1)C(2)2【分析】（1）利用正弦定理，可把bsinB=3c（2）借助S△ABC=12【详解】（1）由正弦定理，得bsinB=csin所以3sin整理，得2sinC−又C∈0,所以C−π6（2）由△ABC的面积为23，得由余弦定理，得c2所以c=设边AB上的高h由12ch16．(1)方案一(2)3【分析】（1）分别计算两种方案的期望，根据期望值判断即可；（2）根据全概率公式及条件概率公式即可得解.【详解】（1）若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为X元，则X=则PX=50=1所以EX若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为Y元，则y=则PY=70PY所以E因为EX（2）设“该同学抽取中奖”为事件A，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为B1，B2，则PB1=PB所以PA故PB所以所求概率为3817．(1)证明见解析(2)10【分析】（1）连接DE，利用余弦定理求出DE,AE，再根据勾股定理证明A（2）根据棱锥的体积求出四棱锥P−AECD的高，从而可得P【详解】（1）连接DE在△CDE中，CD=由余弦定理，得DE2=所以CD2+因为AD//BC，∠B在△ADE中，A由余弦定理，得AE2=故AD2+又AD//B则AE⊥E又PE∩EC=E，PE，E因为AE⊂平面AECD（2）设四棱锥P−AE由V四棱锥由（1）可知，平面PEC⊥平面A所以PE即为四棱锥P所以PE⊥平面所以AE，EC，以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A0,1,0，C所以AD=1,0设平面APD，则AD⋅取z1=1，得x1=设平面PCD的一个法向量则CD⋅n=0DP⋅n=0所以cosm设二面角A−PD−C故二面角A−PD18．(1)e(2)（ⅰ）−∞【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，根据点斜式得解；（2）（ⅰ）转化为m=lnx+1x−（ⅱ）设hx=gx−g1x，利用导数判断函数单调性，据此可得当【详解】（1）当m=1时，fx所以f′1=所以曲线y=fx在1,（2）（ⅰ）易知fx的定义域为0由题意得，方程ex−xlnx即方程m=lnx+1设gx=ln因为x>0，所以令g′x=当x∈0,1时，当x∈1,+∞所以gx由y=lnx，y当x>0且x→0时，所以当x→0时，gx→−所以要使m=lnx+1x−故实数m的取值范围为−∞（ⅱ）证明：由题意可知，gx1=gx设hxh′令φx则当x∈0,所以φx在0,1上单调递减，则当x所以当x∈0,所以hx在0,1上单调递减，故当x所以当x∈0,所以gx1>又x2，1由（ⅰ）可知，gx在1,+∞上单调递减，所以19．(1)23(2)证明见解析；(3)43【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率.（2）由（1）求出双曲线方程，设出直线AnBn的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线B（3）利用（2）求出Hn的坐标，求出△An【详解】（1）设双曲线En的一条渐近线的倾斜角为α，另一条渐近线的