安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z满足z−3−i=1（A．1 B．2 C．3 D．42．已知可导函数fx的定义域为R，f′x是fx的导函数，且f2x−1为偶函数A．−2 B．−1 C．0 3．已知tanθtan2θtanA．925 B．35 C．17254．已知向量a、b满足：a=b=2，a⋅b=2，向量a−A．3 B．2 C．4335．设函数f(x)=(x+A．e B．ln2 C．e 6．已知正方体ABCD−A1B1C1DA．66 B．36 C．327．已知AB为圆锥PO的底面直径，O为底面圆心，正三角形ACD内接于⊙O，若PA=6，圆锥的侧面积为A．26 B．34 C．558．已知点A−23,0，C，D是⊙O:x2+y2=A．43 B．8 C．12 二、多选题9．将函数fx=sin2x−πA．fx与gx的图象关于直线B．fx与gx的图象关于点C．当x∈7D．当x∈2π,410．已知点Q在圆F:(x−2)2+y2=A．记P的轨迹方程为轨迹：y2=8x(C．|PF||PA|的最小值是11．已知函数fx的定义域为R，且fxf1−A．f2=1 B．C．fx的图象关于点0,1对称 三、填空题12．已知函数fx=ex−e−x+13．已知tan(α+β14．如图，在4×4的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为

四、解答题15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(1)求证：A=(2)若△ABC是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且A16．如图，三棱柱ABC−A1B1C1(1)证明：平面ACC1(2)求CB1与平面17．已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程；(2)当过P4,1的动直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B时，在线段AB上取一点18．洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数Fx,Gx，当Fx0=(1)证明：hx在区间0(2)对于x∈0,(3)∀n∈N*，证明：19．当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是p=0.0001和p=0.9999，用ln1p这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量X的分布列为PX=xi=(1)若X的分布列为PX=x1=p，(2)证明：eH(3)若X∼Bn,p，且n答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《安徽省安庆市部分重点中学2024-2025学年高三下学期4月联考数学试卷》参考答案题号12345678910答案CCCDDAABACDACD题号11答案ACD1．C【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果.【详解】设z=x+yix,所以x−32则点x,y在以又圆心到坐标原点的距离为32+12=故选：C．2．C【分析】由题意可得f′1−t+f′1+t=0，由函数奇偶性的定义得出f−t−1=【详解】因为函数f′2x即f′−2x+所以，函数f′x的对称中心为1,在等式①中，令t=1可得2f在等式①中，令t=0可得因为函数f2x−令t=2x，可得f则f′由①②可得f′2−t=所以，函数f′x是周期为所以，f′故选：C.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数fx的图象关于直线x=a和x=b（2）若函数fx的图象关于点a,0和点b,0（3）若函数fx的图象关于直线x=a和点b,03．C【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得sin2θ=−4【详解】因为tanθ所以sinθ所以sinθ所以sinθ所以sin2所以2sin所以sinθ所以sin4故选：C.4．D【分析】设OA=a，OB=b，OC=c，从而得到等边三角形△【详解】由a⋅故cosa,b如图，设OA=a∵向量c满足a−c与b−c的夹角为因为点C在AB外且∠所以C的轨迹是两段圆弧，∠ACB因此：当AC是AB所在圆的直径时,|a在△ABC故a−故选：D.【点睛】关键点点睛：设OA=a,OB=b,OC5．D【分析】找到fx的零点可得−b=【详解】当a=0时，fx当a≠0时，令f(x)函数f(x)=(因为f(x)所以a−令gx=x令g′所以当0<x<1时，当x>1时，g′则gx所以a−故选：D6．A【分析】根据平面D1AC//平面A1B【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点O，内切球半径r=∵AD1//BC1，A∴AD1//平面A1∵AD1,AC⊂平面D1∵D1P//平面A1BC1，∴D1P如图，以D为原点建立空间直角坐标系，则A1,0,0，C∴AC=−1,设平面D1AC的法向量为n令x=1，则y=∴点O到平面D1AC∴圆O1的半径为r由AO=−∴AO∴AP的最小值为A故选：A.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点P的轨迹为平面D17．A【分析】先求出圆锥的底面半径和BD，过点A作AE//BD交DO的延长线于点E【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为PA=6所以S=πr所以OA=OB=所以2r=42=所以BD过点A作AE//BD交D所以PA与BD所成角即为PA所以∠PAE为PA由余弦定理可得：cos∠故选：A.8．B【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定S△【详解】如图，设以AB为直径的圆的圆心为E，F显然两圆内切，所以OE又OE为△AB所以12所以B的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，2a=8显然当B为椭圆短轴顶点即0,2时，S△故选：B.9．ACD【分析】根据三角函数图象的平移变换得到g(x)=sin【详解】由题得，g(A：与f(x)y=B：当x=4π3f(4π3)+g(C：f(当x∈(7π令t=2x，则t∈(所以−cost在(14π3,D：令f(x)得2x−π解得x=又x∈(2解得72<k<15即函数f(故选：ACD10．ACD【分析】根据题意作出示意图，设点P坐标，然后表示出tan∠PAF,sin∠PFA，即可建立方程，求得P的轨迹方程，判断A选项；设点P在一象限，化简tan∠PA【详解】由题意可知F2,0，设Px,yy

则tan∠PA∴yx+2=y∵由对称性可假设点P在一象限，则tan∠PAF=yx所以tan∠PA|PF|当Q在圆与x轴的左交点处时，此时AQ,OQ同时取最小，故选：ACD.11．ACD【分析】A选项，令x=1,y=0得f1=1，令x=y=1得f2=f1f0=1；D选项，令x=0得f1−【详解】A选项，fxf1−y又f0=1，故ffxf1−y+fD选项，fxf1f0f1−yfxf1f1f1因为f1−y=f故fx故f1−y=fB选项，fxf1fx由于f−x=fx由于fx的一个周期为1，故f所以2f2xfxf1fx又f1−x=f所以fx=f故不存在x0∈R由上可知f1+x+f1−故选：ACD12．736【分析】先求fx的单调性，再利用fx+【详解】fx=e等号成立条件为x=0，cosx故fx在R由fx以及fx2−则x1欲求其最大值，故x>0，则等号成立时x=142，y=±故答案为：713．14/【分析】由切化弦结合三角恒等变换和拆角可得.【详解】由tan(α+∴sin∴sin∵sin∴cos∴sin故答案为：1414．5【分析】根据题意，利用分步乘法计数原理和列举法求出事件数，再利用条件概率公式求概率即可.【详解】设“每行都放置两枚棋子”为事件A，“每列都有两枚棋子”为事件B，则所求概率为PB根据题意，每行都放置两枚棋子,即每行都在4个方格中选2个放置棋子，有C4所以，nA对于“每行每列都放置两枚棋子”，不妨令第一行的两枚棋子放置在左边第一、二个方格，此时第二行有C4

图1有1种方法，图2、3、4、5各有2种方法，图6中，第三行有C42=因为第一行棋子有C42=所以，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率P故答案为：515．(1)证明见解析(2)b【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到sinA（2）根据三角形形状及交的关系确定角B的范围，在△ADC中利用正弦定理求得b关于角B【详解】（1）因为c−2b所以sinAsinAsinAsinA因为A∈0,π、又因为sinB>0，所以sin因为sinA所以有：A−B=B，A=所以A=（2）因为△ABC是锐角三角形，A所以0<B<因为AD为∠BA所以∠BAD在△ADC中，A由正弦定理有：ADsinC所以b=4因为B∈π6令t=cosB∈2令ft=1根据函数解析式，ft在2因为f22=22所以b∈16．(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取AC的中点O，得到OM//A1C，证得AC1⊥OM，再由AC1⊥BM（2）连接A1O，证得A1O⊥平面ABC，以O【详解】（1）证明：取AC的中点O，连接O因为M是AA1的中点，所以又因为三棱柱AB所以四边形ACC1A1因为AC1⊥BM，且OM∩BM又因为OB⊂平面BO在等边△ABC中，因为O为A又因为AC∩AC1=A，且A因为OB⊂平面ABC，所以平面（2）解：连接A1O，因为三棱柱AB可得△AA1C为等边三角形，且O为由（1）知：平面ACC1A1⊥平面且A1O⊂平面ACC所以OB,OC,OA1两两垂直，以O为坐标原点，以则O(所以AB设平面ABB1A1取x=1，可得y=因为CB设CB1与平面ABB1所以CB1与平面AB17．(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件可得出关于a,b的方程组，解出a,（2）设点Qx,y，Ax1,y1，Bx2,y2，记PAA【详解】（1）设双曲线x2−y2=1的右焦点为因为F2,0是椭圆C所以a2−故椭圆的标准方程为x2（2）证明：设Qx,y，A由题得PA，|BQ|，由PA可设P不妨设PA→=则x所以x1=4+λ又A,所以4+4−由①化简，得x2由②化简，得x2③-④，化简得2x因此点Q在定直线2x【点睛】与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．18．(1)证明见解析(2)a(3)证明见解析【分析】（1）先求函数的导函数，再结合分x∈0,（2）先把不等式恒成立转化为16（3）构造函数Gx=1【详解】（1）hx令mx=2令nx=−若x∈0,π，则n′x≤0,若x∈π,2π，则∴存在唯一x0∈π,2π，使得nx0=且mπ∴hx在区间π,2π综上，hx在区间0（2）当x=0时，f0=0，成