2024北京八一学校高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京八一学校高一（下）期中数学考试时长90分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.与终边相同的角是（）A. B. C. D.2.函数的最小正周期为（）A. B. C. D.3.若满足，则的终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.半径为1cm，圆心角为的扇形的弧长为（）A. B. C. D.5.已知，，若，则实数（）．A.3 B. C.6 D.6.已知，则的值为（）A. B. C. D.7.为了得到函数的图象，需要把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度8.如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是A. B.C. D.9.已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论：①振幅为，最小正周期为；②振幅为，最小正周期为；③点为图象的一个对称中心；④在上单调递减．其中所有正确结论的序号是（）．A.①② B.②③ C.③④ D.②④10.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.______.12.已知角的终边与单位圆交于点，则______．13.如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，向量用，表示为，则______．14.已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是______．15.与是两个单位向量，，则当______时，取得最小值．16.如图，直角梯形中，，，若为三条边上的一个动点，且，则下列结论中正确的是______．（把正确结论的序号都填上）①满足的点有且只有1个；②满足的点有且只有2个；③能使取最大值的点有且只有2个；④能使取最大值的点有无数个．三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步藻或证明过程．17.已知角为第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．18.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象．求：（1）的值；（2）的单调递减区间、对称轴方程及对称中心．19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期的图像时，列表并填入了部分数据，如表：0①②③④⑤020－20选择下面三个条件之一，完成作答．条件一：①，②；条件二：①，③；条件三：④，⑤．（1）我选择条件______，请直接写出函数的解析式和最小正周期；（2）求函数在上的最值，并写出相应的值；（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．20.给定正整数，任意的有序数组，，定义：，（1）已知有序数组，，求及；（2）定义：n行n列的数表A，共计个位置，每个位置的数字都是0或1；任意两行都至少有一个同列的数字不同，并且有只有一个同列的数字都是1；每一行的1的个数都是a；称这样的数表A为‘表’．①求证：当时，不存在‘表’；②求证：所有的‘表’的任意一列有且只有a个1．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】B【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.故选：B2.【答案】A【分析】由，求解即可.【详解】由，得函数的最小正周期为故选：A3.【答案】C【分析】直接根据各象限三角函数的符号判断即可得答案.【详解】由可知的终边在第三象限或第四象限或y轴负半轴上，由，可知的终边在第一象限或在第三象限，则的终边在第三象限，故选：C.4.【答案】D【分析】利用扇形弧长公式直接计算即可.【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D.5.【答案】D【分析】首先求出的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以，又，所以，解得.故选：D6.【答案】A【分析】将分子、分母同除将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为，所以.故选：A7.【答案】C【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论．【详解】函数，根据图像左加右减的变换原则，只需把函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选：．8.【答案】D【分析】由题意得出的最大值和最小值，以及最小正周期，可求出、、的值，再将点代入函数解析式求出的值，由此可得出与之间的函数关系式.【详解】由题意可得，，，，，，，当时，，得，，可取，所以，故选D.【点睛】本题考查函数的解析式，基本步骤如下：（1）求、：，；（2）求：根据题中信息得出最小正周期，可得出；（3）求初相：将对称中心点、最高点或最低点代入函数解析式可求出的值.9.【答案】D【分析】根据函数图象得到，即可求出、，再由求出，最后由函数过点求出，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质判断即可.【详解】由图可知，解得，又，所以，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，又，所以，所以，所以的振幅为，最小正周期为，故①错误，②正确；因为，所以点不是图象的对称中心，故③错误；当时，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故④正确.故选：D10.【答案】B【详解】当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11.【答案】【分析】直接利用诱导公式化简计算即可【详解】，故答案为：12.【答案】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以.故答案为：13.【答案】【分析】先将，，平移至共起点，然后建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解.【详解】如图，将，，平移至共起点，然后建立平面直角坐标系，则，，，由，所以且，，所以.故答案为：.14.【答案】【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数图象即可求解.【详解】因为角A是的一个内角，所以，又，所以由正切函数图象可得.故答案为：.15.【答案】【分析】先由向量加法法则及其几何意义得出与夹角为，再建立平面直角坐标系，用坐标进行运算即可求解，或也可通过作图探究最小值.【详解】法一：因为与是两个单位向量，，所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，将、放置共起点位置，如图所示，建立平面直角坐标系，则，，所以，所以当，取得最小值为.故答案为：.法二：因为与是两个单位向量，，所以由向量加法法则及其几何意义可知与夹角为，将、与放置共起点位置，如图所示：则终点始终在过终点且平行于所在直线上，且当与垂直时取得最小值为，此时，即.故答案为：.16.【答案】②④【分析】分类讨论，求出当在边上，在边上，在边上时，的取值范围以及的范围，然后根据所求判断正误.【详解】当在边上时，如图，取中点，连接，则设，，，又，，，，，当在边上时，，，，当在边上时，设，，，，，，，；①当时，，此时点就是点；或，此时点在上，故错误；②当时，有或，这样的点有两个，故正确；③的最大值为，此时，这样的点有且只有1个，故错误；④的最大值为，当在边上时，恒有，这样的点有无数个，故正确.故答案为：②④.【点睛】关键点点睛：本题关键是对点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问题.三、解答题：本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步藻或证明过程．17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由同角三角函数的基本关系计算可得；（2）法1，利用诱导公式化简，直接代入计算可得；法2，由（1）的结论求出，利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；【小问1详解】，∵角为第二象限角，∴．【小问2详解】法1：法2：易得，则18.【答案】（1）（2）单调递减区间为，，对称轴方程为，，对称中心为，．【分析】（1）首先得到平移后的解析式，由诱导公式可得，，即可求出的值；（2）由（1）可得，再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】函数的图象向左平移个单位后得到：，所以，，所以，，因为，所以．【小问2详解】由（1）知，令，，解得，，所以的单调递减区间为，．由，，得，，所以的对称轴方程为，，由，，解得，，所以的对称中心为，．19.【答案】（1）选择见解析，，最小正周期为；（2），最小值1；，最大值2；（3）．【分析】（1）利用五点法作图的思路求解；（2）利用“整体思想”结合的性质求解；（3）去掉绝对值符号，再将问题转化为函数的最值问题求解.【小问1详解】根据表格知：，选择条件一、三：，选择条件二：，所以，选择条件一、二时：，可知，结合，所以，选择条件三时：，可知，结合，所以，所以函数的解析式为：，最小正周期为【小问2详解】当时，，当时，即时，取得最小值1；当时，即时，取得最大值2；【小问3详解】由（2）可得，任意的时，．由可得，，的最大值为－4，的最小值为7，则的取值范围是．20.【答案】（1）、；（2）①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）根据新定义，代入数值计算即可.（2）①根据题中‘表’的定义，由，1，2，3，4逐个判断推出矛盾，即可证明当时，不存在‘表’；②根据‘表’的定义，由当或1时，当时推出矛盾证明即可.【小问1详解】由题意可得，，，所以.【小问2详解】数表A的第i行构成一个有序数组记为，则，；①当时，，1，2，3，4，，这与M有4个元素矛盾；同理，，矛盾；，，矛盾；同理，，，矛盾；，，M也不能满足．故知，时，不存在表．②数表A中只有0或1，每一行的1的个数都是a，故数表中的1的总数是na．第i行组成有序数组记为，第j列构成有序数组记为．，，下证，首先，或1时，有时，不合题意．其次，时，若存在．不妨记为，则第一列至少有个1，不妨记为前行的第一列都是1