第2章 光纤传输基本理论

第2章光纤传输基本理论

第2章光纤传输基本理论

2.1光纤传输基本方程及解

2.2多模光纤的光传输特性

2.3单模光纤的光传输特性

2.4光纤传输中的非线性现象

第2章光纤传输基本理论

2.1光纤传输基本方程及解

由于任何光信号都可分解成具有一定相对关系的

单色光的组合，为了得到光纤传输的特性，我们需要

导出在单色光输入情况下光纤的输出特性。本节分析

光纤中光的传输特性。

第2章光纤传输基本理论

2.1.1麦克斯韦方程与波动方程

光信号在光纤中的传输由麦克斯韦方程描述，可写

bB(r,t)〕

Vx£(/,')=-----------------

dt

dD(r,Z)

V义“(〃，，)=/0,，)+---------------i(2.1)

dt

V•D(r,t)=pf(r,t)

V•B5,t)=0

第2章光纤传输基本理论

式中乃&/）、H&,。分别为电场强度矢量和磁场强度

矢量；分别为电位移矢量和磁感应强度矢

量；4工。为电流密度矢量，/G，。为电荷密度分布，是

电磁场的源。

当介质内传输的电磁场强度风＞1）和H&J）增大时，

电位移矢量。亿。和磁感应强度矢量5亿。也随之增大，

它们的关系通过物质方程联系起来

D(r,t)=£出(r,t)+P(r,t)]

第2章光纤传输基本理论

式中同为真空中的介电常数，g为真空中的磁导率;

Pg)、M&J)分别为感应电极化强度和磁极化强度。对

光纤这种无自由电荷的非磁性介质，,。=0,

2G/尸0,M=0,感应电极化强度可表示为

P(rJ)=PL(rJ)+PNL(rJ)(2.3)

第2章光纤传输基本理论

式中,&为电极化强度的线性部分，尸NL为电极化强

度的非线性部分，它们与电场强度的关系为

00

乙(/，/)=£(4(t_t')•E(r

J—8

CO

pNI"，t)=£f(t_一t、)•E(r,t)E(r,t)E)dtdtdt

1Vx-/vnI1/，1/DI/，

—00

(2.4)

第2章光纤传输基本理论

在本节，我们只考虑光纤为线性介质的情况，非

线性问题留在本章第4节中讨论。假设光纤为各向同性

介质，则

D(r,t)=£E(r,t)=£O(l+%⑴)£&/)

(2.5)

B(r,t)

第2章光纤传输基本理论

考虑上面所提到的光纤的一些特性，光信号在光

纤中传输的麦克斯韦方程可简化为

dH(r,0〕

Vx£(〃，/)=-ju-----------------

5t

SE(r,O|

Vx〃0,%)=£----------------i(2.6)

dt

V.E=0

V.H(r,t)=0

第2章光纤传输基本理论

考察输入为单色光的情况，光纤中任一点上的光

信号的场强分布可表示为

E(r,t)=E(r)exp(-cot)]

1(2.7)

H(F,t)=H(r)exp(-cot)J

将上式代入式(2.6),并作适当的变换可得

22V£'

V(E(r)+G(r)+V(E-------)=0

£卜(2.8)

?7VX(VX//)

▽一(“(厂)+@-4(/”(尸)+(----------------)=0J

第2章光纤传输基本理论

实际使用的光纤一般是弱导光纤，即纤芯和包层

的折射率非常接近，2在一个波长的空间范围内的变化

非常缓慢，上式中的2/2可以忽略不计，则有

222

VE(r)+k/(/)=0(2.9。)

222

VH⑺+kon"(Q=0(2.9b)

第2章光纤传输基本理论

其中，品=2兀2，是自由空间波数，入是波长，

〃=（乎）1/2是介质的折射率。这就是描述光纤中光场分布

的基本方程，称为波动方程或亥姆霍兹方程。这是一

个矢量方程，〃只有在均匀介质中才是常数。

第2章光纤传输基本理论

2.1.2波动方程的近似解

根据光纤的具体结构，利用上述矢量波动方程，

原则上是可以得到某些少数特定结构的光纤中光场的

精确分布。但方法烦琐，结果复杂，利用这些结果去

分析光纤的色散特性很困难。本节我们通过一种标量

的近似解法结合阶跃光纤进行求解。给出一些物理意

义明确的结果。

第2章光纤传输基本理论

我们知道，对通信用光纤，纤芯、包层折射率相

差很小，A«lo在这种情况下，纤芯、包层界面上全

反射角的临界角接近90。，光纤中导行波的射线几乎

是与光纤轴平行传播的。这种波接近TEN波。电磁场

的轴向分量很小，横向分量占优势，该横向场的极化

方向在传播过程中基本保持不变，横向电场和磁场之

间的关系可用波阻抗ZMQ%)］。来表示。

第2章光纤传输基本理论

现在我们近似假定横向场的极化方向保持不变，

这样就可用一个标量来描述它，它将满足标量亥姆霍

兹方程。由此我们可以通过解该横向场的标量亥姆霍

兹方程求得解答。这种方法叫标量近似分析法。可以

看出，标量近似分析法是以〃户改为前提的。下面我们

将用标量近似分析法推导出场方程、特征方程，介绍

标量解的模式分布，讨论各模式的传输特性及光纤中

的功率分布等。

第2章光纤传输基本理论

1.标量场方程

由于假定了弱导波光纤中的横向场的极化方向保

持不变，采用直角坐标系来表示场分量比较方便，因

此，分析问题时将同时采用直角坐标系和圆柱坐标系,

如图2.1所示。假定折射率为〃2的包层无限大，在后面

我们将看出该假设的合理性。

第2章光纤传输基本理论

2

图2.1光纤坐标

第2章光纤传输基本理论

选横向场的极化方向与y轴一致，即电场只有y分

量，工分量为零，则式(2.9。)变为

V2E、(r)=k：n2E、(r)=0(2.10)

解此方程并满足纤芯、包层交界面上的边界条件,

就可得到光纤的标量解。将式(2.10)写到圆柱坐标系

中，得到

222

合Ev(r)1dEv(r)15、,")22

----:---+-----:---+-------:----4-----:----+knE(/)

(2.11)

第2章光纤传输基本理论

根据光纤截面折射率分布的圆柱对称性和轴向平

移不变性，在以光纤轴线为轴的柱坐标系统中，光纤

中光场的分布应有下列形式

£丫亿仇z)=7?(r)cos冽8exp(jA0(2.12)

这里昆是Z方向的传播常数，如果Z方向有能量损失,

则为是复数，虚数部分代表单位距离的损失，实数部分

代表单位距离相位的传播。将式(2.12)代入式

(2.11),整理后得

第2章光纤传输基本理论

dR(r)1dR(r)「22，m~~\〕

—

-----；-+---------+(左o-，二)一R(尸)=0(r<a)\

drrdr-----------------------------------r

>

2r-2n

dR(r)IdR(r)\22?mI

-----；―+---------+(4；一女o〃；)一~R(r)=0(r>a)

drrdr----------*—-------------------------r—>

(2.13)

上式中第一个式子是加阶贝塞尔方程，第二个式子

是变质的贝塞尔方程。加、邑对应着方程的某一种解，

表示光场的某种特定分布，这种特定分布通常称为某

种模式。为了方便起见，引入两个有用的参量，令

第2章光纤传输基本理论

22222

u=a(nk-p)

'10尸z)

(2.14)

22222

CDa(尸］一〃23)

〃叫做导波的径向归一化相位常数，W叫做导波的

径向归一化衰减常数。它们各表示在纤芯和包层中导

波场沿径向的变化情况。下面分析场方程的解。在纤

芯内，火⑺的解应是贝塞尔函数的组合

u

R(r)=AJ(——r)+BY(-r)(2.15)

mv7

aa

第2章光纤传输基本理论

其中，4?为贝塞尔函数，，为聂曼函数。火⑺在纤

芯处应为驻波解，由于7m(0)为无穷大，与场的实际情

况不符，因此B为0。在包层内，K&)的解应是修正贝

塞尔函数的组合

CD

(r)=(-r)+(—r)(2.16)

RCIDKm'7

aa

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其中，〃和K加分别为第一类和第二类修正的贝塞

尔函数。R&)在包层中随〃的增加应减小，是衰减解，

而4在r趋近无穷时也趋于无穷，所以。应为0。于是火&)

可写为

[U

AJm(——/)rr<a

a

火(尸)=<(2.17)

ICD

iDKm(x—)rr>a

第2章光纤传输基本理论

J与K两种函数的曲线示于图2.2中。利用上式，光

纤中耳的表示式可写成

r<a

J(xw)

z

-jp.八m/

-ZA

Ey"，z)=eAsinn3<(2.18)

3

Km(—r)

r>a

Km(g)

第2章光纤传输基本理论

在推导上式中利用了纤芯界面上的边界条件,

E3GE既简化掉了一个常数。

横向磁场只包含4分量，根据月可写成

G)

(2.19)

第2章光纤传输基本理论

1.0

0.5

-0.5

(b)

图2.2贝塞尔函数和修正的贝塞尔函数图形

第2章光纤传输基本理论

从麦克斯韦方程,可求出区和色的表示式：

uu

J.(—r)J(一r)

um+1\u"「I〃

cos(〃？+l)e+cos(m-1)^

-jpzj4nJ(it}nJ(u)

E_(r,3,z)-e<

r<a

2%UCD—

KKm,(—r)

/q/a

cos(/w+1)-cos(m-1)^

nK(M)nK(co)

L2m''2mV7

f>a

(2.20)

第2章光纤传输基本理论

Uli

.(一

J“,+l(一〃)Jm-\r')

a•/,1、八•/1'n

US111(///+1)C/~uasin(m—I)C7

〃)J(u)

“J-JAJm(、/

“二（/，e,z）=

2KaZCOCOr<—a

00K,(—r)K(—r)

Cl•/.i、na•/T、zi

COS1n(771+1)t/+CDsin(m—1)(/

、Km(co)Km(co)

r>a

(2.21)

第2章光纤传输基本理论

比较场的轴向和横向分量的大小，可以发现，弱波

导光纤的轴向分量比横向分量的值小得多。因为轴向

分量的表示式中含有M/QK。和w/aK。，而

Ua一。：

aKo.QKo八

222

-nk

z20n

aKo.aKo°

它们都在A数量级。所以合成场基本在光纤横截面

上，近似一个TEA/波。

第2章光纤传输基本理论

2.标量解的特征方程

根据边界条件可以导出特征方程，前面在求解场

的横向分量的表示式时已用了纤芯界面上场的角向分

量连续的条件，现在再用界面上轴向分量连续的条件。

在处,Ezi=Ez2,则

uJ,(〃)、八uJ,(〃)

-------------------sm•/(m+1-1)0+-----------------sin(m-1)0

nJ(〃)nJ(〃)

1m'/1m'/

CDK,(69)coK,(〃)

---------------------sm(m+I)0-------------------sin(m-1)3

〃cK(69)n

2my72K.(U)

(2.23)

第2章光纤传输基本理论

利用弱导条件，上式可写成下面两个式子

UJ(〃)K(69)I

m+\v/〃？+1'z

---------------------=69-------------------

nJ(u)K(69)

1mm

(2.24)

JJ")K(co)

U——CD

J(u)K(co)

mm,

第2章光纤传输基本理论

1)LP.模的截止条件

我们先简单分析一下光纤中传输的导行波的特性。

考察包层中的电场，我们有

co

EYocKmV(—r))(2.25)

a

根据修正贝塞尔函数的特性，上式近似为

(2.26)

第2章光纤传输基本理论

式中，C为比例常数。从上式可以看出，当w2>0时

（即W为实数时），场在纤芯外呈指数衰减型，在「相当

大处，£⑺趋于零。这时光波封闭在光纤中传输，对应

为传导模。根据式（2.14）,若

2222P2、/cc

co=a（p一几？^。）<°（2.27）

第2章光纤传输基本理论

w成为虚数，包层中的场将成振荡型，而振幅不减

小，意味着光能向外辐射，这时的光场为辐射模式。

显然，w=0刚好是传导模和辐射模的分界处，将汽=0

定义为传导模的截止条件。

下面考察截止这种极端情况下特征方程的解。首

先我们引入一个有用的参量一归一化频率，定义为

2222222

V=U+co左(2.28)

第2章光纤传输基本理论

它与光纤的参数和传导光波的波长有关，在Wc=O

时，Vc=%,分别称为归一化截止频率和归一化截止相

位常数。显然，在截止条件下得到的特征函数的解利

就是所对应模式的截止条件Vc。

在截止条件下，w=0,K〃?(w)近似为

2〕

K.co)=In——8m=0

71卜(2.29)

12mI

K(①)=K(〃))=——(m-1)!(—)m>0

2co,

第2章光纤传输基本理论

可以证明，特征方程（2.23）的右端在任何值时都

为零。于是，截止时有

(2.30)

当小不为0时

(u)=0

C(2.31)

这就是截止情况下的特征方程，由此可以解出七,

确定截止条件。气是加-1阶贝塞尔函数的根。

第2章光纤传输基本理论

当加=0时，/](%)=«/](%尸0,可解出%=〃i，〃-l=0,

3.83171,7.01559,10.17347,…，这里〃》叫是一阶贝

塞尔函数的第个根，〃=1,2,3,…。显然，IT。]模的截

止频率为0,LP02模的截止频率为3.83171,这意味着当

归一化频率V小于3.83171时，LP02模不能在光纤中传

输，而LPoi模总是可以在光纤中传输的。

当加刈时，4*](%)=o,可解出％=〃怔1，〃，它是加-

1阶贝塞尔函数的第〃个根，〃=1,2,3,…。对于加=1,

%=&〃=2.40483,5.52008,8.65373,…。表2.1歹U出了

较低阶LP皿模截止时的小值。

第2章光纤传输基本理论

表2.1截止时较低阶LP.模的％值

771

1%a2

n

112.404833.83171

3.83171::5.520087,01559

37.015598.6537310.17347

第2章光纤传输基本理论

2)LP.模远离截止时的解及其物理意义

从上面对模式截止条件的分析可以看出，在光纤

中，随着归一化频率V的增大，它所截止的模式的阶数

也增加，即传播的模式增加。现在我们分析另一种极

端情况：远离截止时的情况。随着光纤归一化频率的

增加，导波的径向归一化衰减常数w越来越大，这意味

着导波在包层中径向衰减加快，导波能量往光纤纤芯

中集中，当V和w足够大时，除靠近V的几个高阶模外,

导波能量基本集中在光纤纤芯当中。我们把这种状态

称为远离截止的情况。

第2章光纤传输基本理论

根据V的定义，当V—00时，比值〃/九一00,于是那

些远离截止的较低阶模的衰减常数W—00,这时K〃,（W）

可用大宗量下的近似式表示

(2.32)

将上式代入特征方程(2.24)可得

UJ,(〃)0)K(69)

-----------------=----------------------——COf—00

J(x〃)K(co)

m'm、/

第2章光纤传输基本理论

因而远离截止时的特征方程可简化为

/g)=0(2.34)

远离截止时的特征值是加阶贝塞尔函数的根斯〃

(片1,2,3,…)。表2.2中列出了〃〃较低阶的值。

第2章光纤传输基本理论

表2.2远离截止时LP加模的M值

m

012

nX

1i2.40483；3.831715.13562

25.520087.01559:8.41724

38.6537310.1734711.61984

第2章光纤传输基本理论

综上所述，LPw模的〃值在截止时为冽-1阶贝塞尔

函数的第〃个根，在远离截止时为加阶贝塞尔函数的第〃

个根，在一般情况下应在这两者之间变化。由特征方

程式（2.24）并结合V的定义，用数值方法可作出一般

情况下M-V的关系曲线，如图2.3所示。由该图可清楚

地看出各模式的截止条件和允许的M值的范围。

第2章光纤传输基本理论

TETMc.HE..(LP,.)

0A,20,22,2,127

EHHE(LP)

2,14,131

HE(LP)

1,2v027

EH.,.HE3.,『1)

TETMHE(LP)

0,10,12,111

HE

1,15J

567

图2.3M-V关系曲线

第2章光纤传输基本理论

上面讨论了沿y方向极化的L尸模，并假定它沿圆

周方向是cos加。变化的。实际上还存在着与鸟垂直的x

方向的极化场£x。这两种极化波又都有选取si〃加。和

cos加。的自由。尽管它们有形式上的差别，但在弱导近

似下的传播常数是相同的，可用同一组标号加、〃表征,

统称为LP.模，又称之为简并模。每一个叱加〃模一般

有四重简并。当加=0时，si〃加0=0,LP（）九模只有两重简

并。图2.4给出了IP。1模和LP”模的各种可能分布。

第2章光纤传输基本理论

X

(a)(b)

图2.4LPoi和LPu模电场的可能分布

第2章光纤传输基本理论

在LP模分析法中，各LP〃?〃模的标号加、〃有明确的

物理意义，它们表示对应模场在光纤横截面上的分布

规律。由式(2.18)可知，LP加模在纤芯中的横向电场

分布为

U

Jm(—r)

E(r,3)=Asinm0-------------(2.35)

〃)

J(m'/

它沿圆周及半径方向的分布规律分别为

(P(^)=sinm0(^)=cosmO(2.36)

u

R(/)=Jm(­r)(2.37)

第2章光纤传输基本理论

显然，光场在圆周方向上的变化情况与加有关，当加=0时

ro（正弦规律）

"）='（2.38）

11,（余弦规律）

说明在圆周方向上无光场变化，在圆周方向上出现

最大值的个数为0。当加=1时

[sin0

(2.39)

[cos。

第2章光纤传输基本理论

由式（2.37）可见，光场沿径向的变化与〃有关。

下面以加=0为例加以说明。这时LPo”模的场沿径向按零

阶贝塞尔函数的规律变化。在远离截止的情况下，对

LPoi模〃=〃oi=2.4O483,它沿径向的变化规律为

2.40483

⑺「）(2.40)

R=Jm

a

第2章光纤传输基本理论

在『0处，火(0尸1；在尸。处，火(。尸0,它沿尸的变

化情况如图2.5(0所示。对LP02模"="02=5.52008,它沿

径向的变化规律为

271

L—

A

在尸0处，火(0尸1；在尸0.4357处，火⑺=0；在尸。

处，R(a)=0,它沿〃的变化情况如图2.5(b)所示，沿半径

有两个最大值。可见，〃表示沿半径最大值的个数。

第2章光纤传输基本理论

2.1.3标量场模的光功率分布

计算各模式在纤芯和包层中的功率分布是有实际

意义的。首先，从计算结果可以看出功率在纤芯中的

集中程度。另外，实际光纤中存在损耗，这些损耗分

别产生在纤芯、包层及两者的分界面上，而各部分的

衰减与各部分的传输功率成正比。因此，为了计算损

耗也需知道功率在光纤中的分布情况。

第2章光纤传输基本理论

将轴向玻印亭矢量分别在纤芯和包层横截面上积

分，就可求出纤芯和包层中传输的功率分别为

]a27i

-EHrdrd0,r<a(2.42)

p=-[[yx

2九」0

joo271

EyHJdrde,r>a(2.43)

-1。J0

第2章光纤传输基本理论

将式(2.18)和式(2.19)代入式(2.42)得到纤

芯中传输的功率为

n71aA

EHrdrdO=---------------[1—

yx

4Z-

类似地，可得包层中的传输功率为(2.44)

一n产aA乙+】(〃)乙一

(2.45)

第2章光纤传输基本理论

对弱导光纤，〃产敢=〃，并令C=-71Q2A2/4Z。，则

2

VJ।(M)/(U)

P=P+P=-c---+--1-'--/加一1',(2.46)

totaIcorecI22

CDJ(u)

m、/

光纤纤芯中光功率与总功率之比为

22

PCDJm(U)

core「1

二[I-

2

PtotaI,VJ〃7+I9\i)"J〃7—I(\u

couK(co}

——[l+------------------------------------

22(2.47)

VcoK(〃)K(〃)

第2章光纤传输基本理论

在推导上式时利用了特征函数。光纤包层中光功

率与总功率之比为

22

P,coJ(u)

一^二1--[1------------------------](2.48)

尸…广J…(……⑺

利用上式可求得包层中光功率与v的关系曲线，如图

2.6所不。

第2章光纤传输基本理论

Q=HE2〃，TE°.,TM°,Q=H*i，EH-w（叱1）

图2.6各模的包层功率与V值的关系

第2章光纤传输基本理论

下面我们讨论V—00和V逐渐减小两种情况下的光

功率分布。V一8时，LP皿模的M值对应加阶贝塞尔函数

的根。＜4(0=0,且w=V,所以尸8"尸.1=1说明光功率

完全集中在纤芯中O随着V值减小，高的模次逐渐截止,

即w―0,贝II

2

PK(①)

cove----------^―-------(2.49)

pK①)K(co)

totaI

第2章光纤传输基本理论

上式可进一步表示成

f

I0m0

PI

core:\［0八"7=1(2.50)

PtotaI|

1

11m>1

m

第2章光纤传输基本理论

2.1.4单模与多模光纤的分类及处理方法

上面我们在两种极端情况下对光纤的传输特性进

行了分析，可以看出，光纤中传输的模式数由归一化

频率决定，当归一化频率确定后，光纤中所传输的模

式数和模式分布也就确定了。

一般情况下，光纤中有许多模式，每一模式有其

特定的传播常数。由于模式之间的传播常数不同，各

模式之间将有色散，这种色散称为模间色散。光纤的

传输特性由所有能够传输的模式叠加后确定。

第2章光纤传输基本理论

根据前面的分析，当光纤的归一化频率小于LP”

模的截止频率时，光纤中将只有LP。］模能够运行，我

们将

V<Vc=2.40483(2.51)

称为光纤的单模传输条件。因为归一化频率是工

作波长和折射率分布的函数，当光纤参数确定后，只

有工作波长大于某一特定波长时，光纤才能实现单模

传输。我们称这个特定波长为光纤的截止波长，可表

示为

«Baick<

第2章光纤传输基本理论

2.2多模光纤的光传输特性

在上一节我们指出，用波动理论研究多模光纤的

传输特性非常复杂，很难得到一些简洁的、有意义的

结果。在多模光纤中，由于波长一般远小于光纤的直

径，可以用射线光学来研究它的传输特性。所谓射线

光学是波长趋于0时由波动理论近似后得到的一种描述

光波行为的理论。它的核心方程为射线微分方程，由

麦克斯韦方程在波长趋于0的情况下得到，可表示为

第2章光纤传输基本理论

ddr

[〃(尸)]=V7?(r)(2.53)

ds----------ds

这是矢量形式的射线微分方程，其中，〃是一条光

线上某代表点的矢量位置，S是该点在光线上从某固定

点量起的长度，上式右边为折射率梯度。利用该方程,

原则上就可以对各种折射率分布情况下光线的传输特

性进行描述。但实际上在折射率分布复杂的情况下解

该矢量微分方程并不容易，一般不直接使用该方程，

第2章光纤传输基本理论

而是灵活使用由该方程在一些具体条件下得到的

更简单的方程，如折射、反射定律等。下面我们利用

射线光学理论分析最常见的阶跃光纤和梯度光纤的传

输特性。

第2章光纤传输基本理论

2.2.1阶跃光纤的传输特性

阶跃折射率分布的多模光纤是结构最简单的多模

光纤，它的纤芯和包层的折射率分布都是均匀的，分

别为〃1和〃2,且〃1>〃2。通过这种光纤的光线有两种：

子午光线和斜射光线，如图2.7所示。所谓子午光线是

那些在光纤内的两次全反射中通过光纤轴线的光线，

而斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平行，也不相

交的光线。这两种光线在光纤传输过程中具有不同的

性质。

第2章光纤传输基本理论

图2.7子午光线和斜射光线

（。）子午光线及其入射条件；（b）斜射光线的概念

第2章光纤传输基本理论

1.阶跃光纤中子午光线的传输特性

在光纤中，通过光纤中心轴的任何平面都称为子

午面，而位于子午面内的光线就是子午光线。子午面

有无限多个，它在光纤端面上的投影即为光纤端面上

的直径。根据光的反射定律，如果光纤是一个均匀的

直圆柱体，子午线将始终位于一个子午面内，且在光

纤入端的入射角等于光纤出端的出射角。所以，对子

午光线的研究可在子午平面内进行。如图2.7(a)所示，

假定在某子午面内，光线以入射角。入射到光纤端面中

心再射入到光纤中，

第2章光纤传输基本理论

在光纤内，此光线与轴线的夹角为的。由式(2.53)可以

导出，在两均匀介质的分界面处有

nQsin0-nxsinaQ(2.54)

上式为描述光在两介质截面上折射行为的斯涅尔定

律，其中〃0为空气中的折射率，其值一般取1。如果要

该光线能够在光纤中传播而不折射出去，则必须满足在

纤芯、包层界面上产生全反射的条件，即

sina-cos*>—―(2.55)

第2章光纤传输基本理论

将上式代入式(2.54)就得到入射子午光线传播的条件

sin8<J.2_J(2.56)

Y12

在上式中，当等号成立时对应的入射角称为最大

入射角，以如“X表示。也就是说只有在光纤端面入射角

先配这的光线才能在光纤中传播。对光纤而言，这个可

能的最大的入射角叫做光纤的接受角，它仅与为、敢有

关。习惯上，我们将接受角的正弦值定义为光纤的数

值孔径，用N.A表示

N./=sin=业:-"I。/(2.57)

第2章光纤传输基本理论

式中,A为芯一包间相对折射率差，表示为

22

2〃]〃]

由于以小于光纤接受角进入光纤中的子午光线都

可以在光纤中传输，而这些光线所走的路径不同，这

些光线之间将出现色散，这就是我们在上节中提到的

模间色散。下面我们计算轨迹不同的光线到达光纤输

出端产生的传输时间差及相应的色散。

第2章光纤传输基本理论

在图2.7(a)中，。=0时的入射光线传播时间最短,

而传播时间最长的光线对应于配.

6max=arcsin-%(2.59)

通常用沿光纤单位长度传播时间内所产生的信号

时延展宽A工来度量模间色散。用7和弓”分别表示。为0

和am两条光线沿光纤单位长度传播的时间，则时延

展宽为

1%

/7=-X一%=%(---------1)=%(—T)…/

cos。八n、

0max2

(2.60)

第2章光纤传输基本理论

显然，时延展宽与A成正比。对多模光纤而言，A

一般为1%左右。设纤芯折射率为“1=1.5,则

T0=n1/c=5/Lis/km,当A=l%时，可算得△尸50〃s/碗，对应

的传输带宽仅为2QMHz/km。

第2章光纤传输基本理论

2.阶跃光纤中斜射光线的传输特性

入射到光纤端面的光束除了子午光线外，还有很

多斜射光线。斜射光线就是一些与光纤中心轴既不平

行，也不相交的光线。它们和光轴是异面直线，所以

对于斜射光线的讨论必须在三维空间中以矢量方法进

行。由于斜射光线与光纤中心轴不在一个平面，斜射

光线在光纤内进行一次全反射，平面的方位就要改变

一次。其光路轨迹是空间的螺旋折线，其端面上的投

影如图2.7所示。它可以是左旋折线，也可以是右旋折

线，并且这些螺旋折线和光轴是等距离的。

第2章光纤传输基本理论

在图2.8中，方向矢量为跖女。汁MJ+No左的光线入射

到光纤端面的位置尸oUXol+yo/上（八j、左为单位矢量）。

设须为表示第掰次反射点的径向矢量，而必为紧接第加

次反射前的光线方向矢量，根据反射前后光线共面的条

件有：

1)%x—0(2.61)

再由入射角等于反射角的条件有

(2.62)

"o，〃

o9A/

0'J.

0，。n）

/，JV

纤中

的斜射光线

第2章光纤传输基本理论

此外，在纤芯、包层交界面发生全反射的条件为

(2.63)

为了研究在光纤入射端什么样的斜射光线可以在光

纤中传播，我们将跖和尸。代入式（2.63）得

(2.64)

第2章光纤传输基本理论

稍作变化，上式可写成

1

(「I”

22

nIZ+M-|^^^|I^N,A(2.65)

“0°7^>rr1

lLv°°Jj

这就是说，满足上式的入射端的入射光线，都可以

成为斜射光线在光纤中传输。如果入射光线在Xo=〃，

先=0处入射，则

nxL^N.A(2.66)

第2章光纤传输基本理论

222梯度光纤的传输特性

由式（2.60）可知，阶跃光纤模间色散很大，脉冲

展宽严重，传输带宽很窄，限制了通信容量。为了尽

量减小模间色散，人们研制了梯度折射率分布的光纤。

所谓梯度折射率分布光纤是指光纤纤芯中折射率分布

是随一变化的光纤。下面我们分析梯度折射率光纤的传

输特性。

第2章光纤传输基本理论

1.梯度折射率光纤中的光线

与阶跃折射率分布光纤一样，梯度光纤中的光线

也分子午光线和斜射光线两种。由于梯度光纤中纤芯

折射率分布是随一变化的，光纤中子午光线不是直线传

播，而是曲线传播。如图2.9(a)所示。光线的弯曲是遵

循折射定律的。为了说明问题，我们将沿径向〃方向连

续变化的折射率分为不连续变化的若干层表示，如图

2.9(b)所示。假定一射线以入射角。射向光纤端面的K点,

进入纤芯后，它先是从光密介质向光疏介质传播。

第2章光纤传输基本理论

(a)(b)

图2.9

第2章光纤传输基本理论

这时，每经过一个界面，它将折离法线，其轴向

角将逐渐减小，在某一半径尸％处，射线与光轴平行。

在此以后，光线将由光疏介质向光密介质传播，每经

过一个界面，它将折向法线，其轴向角逐渐增大。这

样就形成了周期变化的子午线轨迹。显然，折射率分

布不同的光纤，有不同的射线轨迹。同一光纤中，以

不同角度入射的光线的轨迹也将不同。

第2章光纤传输基本理论

斜射光线是不经过光纤轴心的空间曲线，射线轨

迹同样按照折射定律发生弯曲，形状比较复杂。图2.10

中示出了不同光线在光纤端面上的投影。显然，斜射

光线被限制在两个圆柱面之间，这两个圆柱面被称为

焦散面。若两个焦散面重合，就得到螺旋线，它在端

面上的投影为一个圆。斜射线情况很复杂，既不容易

激励，也不容易传播（衰减大），实际上传播的光线

都是子午光线。下面的讨论仅限于子午光线。

第2章光纤传输基本理论

(a)

图2.10梯度光纤中的光线在端面上的投影

(a)子午光线；(b)斜射光线

第2章光纤传输基本理论

2.子午光线的轨迹方程

对非均匀折射率介质中光线轨迹的分析一般要利

用式(2.53)给出的射线方程。但是，采用该方程所做的

分析在数学上非常复杂。为了容易理解，在本问题中

我们直接应用折射定律给出一种简洁的分析。

第2章光纤传输基本理论

图2.H梯度光纤中子午光射线轨迹剖析

第2章光纤传输基本理论

图2.11给出了梯度光纤中的一个子午面。纤芯折

射率分布〃（力随半径〃的增加而减小。子午光线的轨迹

由〃&）决定。由于射线是弯曲的，它的轴向角2随坐标

而变化。在尸0处，射线离光纤轴的距离是勺，轴向角

为80,光纤在该点的折射率是“0，勺、几0、%表示射

线的起始状态。根据折射定律，该射线满足下列条件

H(r)cos0z=nocos0zO(2.67)

第2章光纤传输基本理论

上式表明，射线上任一点轴向角的余弦与该点

的折射率的乘积等于一个常数〃ocos2o。令No=cos6zo,

则

〃&)COS2=〃OM)(2.68)

若在图2.11中射线的轨迹上任取一单元长度ds,则

ds=7dz2+dr2(2.69)

dzdz

cos8=—

s/22(270)

ds7dz+dr

第2章光纤传输基本理论

代入式(2.68)得

n(r)dz

「——…。(2.71)

7dz+dr

经整理得

n卅

dzdr

-1222(2.72)

业⑺-〃0No

第2章光纤传输基本理论

这就是代表射线变化规律的微分方程。当光纤的

折射率分布及初始条件〃°、乂给定时，对该方程积分

就可求得射线的轨迹

〃o八N0八7

z.......二ar(2.73)

ro2/、22

(vr)7—noNo

第2章光纤传输基本理论

3.光纤的最佳折射率分布一自聚焦光纤

研制梯度折射率光纤的目的是降低多模光纤的模

间色散，那么，折射率分布〃任）为怎样的函数时，才能

使多模光纤的模间色散最小呢？当然，最好的分布应该

使各射线在Z方向的传播速度一样，从而实现自聚焦。

只要所有的子午光线都具有相同的空间周期长度，就

说明这些子午光线能够自聚焦。人们已经证明，双曲

正割型折射率分布能够实现自聚焦，即

〃（0）

〃（尸）=H（O）sec%//二---------------------（2.74）

cosAr

第2章光纤传输基本理论

式中，A是常数；〃(0)是纤芯中心处折射率。将〃⑺

代入式(2.73)就可求出子午光线的轨迹方程为

nNncosA

—arcsin

n(0)

QsAr

(2.75)

从上式可得

nNnsinAr

sinZ(Z-C)(2.76)

第2章光纤传输基本理论

由此可知，射线的轨迹是Z的周期函数。设射线的

空间周期长度为3则从上式可得

271

L=——(2.77)

A

由于A是表示光纤分布的参数，与初始条件无关，

因此£也与初始条件无关。这说明当折射率分布为双曲

正割型分布时，不同初始条件入射的子午光线有相同

的轴向速度，能得到自聚焦。

第2章光纤传输基本理论

4.抛物线分布光纤的传输特性

由于理想的双曲正割分布是难以实现的，人们设

想用平方律分布去近似它。当把双曲正割函数展开时,

发