导数压轴小题归类-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题2-3导数压轴小题归类

目录

讲高考....................................................................................1

题型全归纳...............................................................................6

【题型一】公切线求参.............................................................6

【题型二】“过点”切线条数.......................................................9

【题型三】切线法解题............................................................12

【题型四】恒成立“同构型”求参..................................................16

【题型五】恒成立“虚根”型求参..................................................18

【题型六】恒成立“整数解”求参..................................................21

【题型七】换元求参型............................................................24

【题型八】选择主元求参型........................................................26

【题型九】多参放缩型............................................................29

【题型十】多参韦达定理型........................................................32

【题型十一】构造函数求参........................................................35

【题型十二】极值点偏移型........................................................39

专题训I练........................................................................43

讲高考

1.(2022•全国•统考高考真题)当x=1时，函数="lnx+2取得最大值一2,则/'(2)=()

X

A.—1B.—C.!D.1

22

【答案】B

【分析】根据题意可知"1)=-2,/'(1)=0即可解得0,6,再根据尸(x)即可解出.

【详解】因为函数定义域为(0,+司，所以依题可知，/(1)=-2,r(i)=o,而

/'(X)，-乌，所以b=-2,a-b=0,即。=一2力=一2,所以八切=-2+之，因此函数/(x)

XXXX

在(0,1)上递增，在(1,+⑹上递减，尤=1时取最大值，满足题意，即有f'(2)=T+g=-g.

故选：B.

2.(2021•全国•统考高考真题)若过点6)可以作曲线y=e，的两条切线，则()

ba

A.e<aB.e<b

C.Q<a<ebD.Q<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，

结合图形确定结果；

解法二：画出曲线夕="的图象，根据直观即可判定点(凡与在曲线下方和无轴上方时才可以

作出两条切线.

【详解】在曲线>=/上任取一点尸«,d),对函数y=e"求导得y'=e、，

所以，曲线y=e工在点P处的切线方程为v-e'=e'(xT),即尸e'尤+(l—)e',

由题意可知，点(a,b)在直线y=e'x+(lT)e'上,可得b=a£=(a+l-t)£,

令/(/)=,+1T)或,则

当时，此时函数/⑺单调递增，

1

当f＞a时，r（/）＜0,此时函数/⑺单调递减，

所以，&）鹏=仆）=巴

由题意可知，直线y=b与曲线＞=/«）的图象有两个交点，则111ax=e",

当，＜a+l时，/。）＞0,当C+1时，/（/）＜0,作出函数/⑴的图象如下图所示:

由图可知，当0＜6＜e"时，直线7=6与曲线＞=1（。的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线y=，的图象如图所示，根据直观即可判定点（。,。）在曲线下方和x轴

上方时才可以作出两条切线.由此可知0＜e".

2

【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函

数的增长特性进行估计,解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上,

直观解决问题的有效方法.

x2—2ax+

,若关于X的不等

{尤一alnx,尤>1,

式/(尤彦0在五上恒成立，则。的取值范围为

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[l,e]

【答案】C

【解析】先判断时，--2依+2°20在(-00,1]上恒成立；若x-alnx'O在(1,+°0)上恒

成立，转化为。44在(1,+8)上恒成立.

Inx

【详解】V/(0)>0,即心0,

(1)当时，f(x)=x2-2ax+2a=(x—a)2+2a-a2>2a-a2=a(2-a)>0,

当a〉l时，/(l)=l>0,

故当a20时，必一2"+24N0在(-00」]上恒成立；

若x—alnx20在(1,+8)上恒成立，即a<-—在(1,+8)上恒成立，

Inx

令g(x)=4，贝Ug'(x)=^^，

Inx(Inx)

当x>e,函数单增，当0<x<e,函数单减，

故g(x)的=g(e)=e,所以aVe.当aN0时，/-2ax+2a20在(-℃」]上恒成立；

综上可知，。的取值范围是[0,司，

故选C.

【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合

分析.

4.(•四川•高考真题)设直线h,12分别是函数f(x尸图象上点Pi，P-2处的

切线，h与b垂直相交于点P,且h,L分别与y轴相交于点A,B,则4PAB的面积的取值

范围是

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+oo)D.(l,+oo)

【答案】A

【详解】试题分析：设月(国』11七)小仁,-In%)(不妨设西则由导数的几

何意义易得切线小右的斜率分别为左=(，e由已知得

后他=-1，，网迎=1,，%=—切线4的方程分别为>TnX]切线4的方程为

再再

1(1、

y+lnx2=(x—工2),即y—lnX]=-xjx----.分别令x=0得

x2<\)

^(0,-l+lnx1),5(0,l+lnxl).又4与右的交点为

x

尸=\\yA-yBWP\=^7<^=\,：^<s^AB<i,故

〈1十1।,乙J.IJCj1十

选A.

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

5.(2021•全国•统考高考真题)设若％=〃为函数/(同=。(》-。)2(%-6)的极大值点，

则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a1

3

［答案］D

【骞析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，

对，进行分类讨论，画出/(X)图象，即可得到。,6所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若。=6,则/■(x)=a(x-/为单调函数，无极值点，不符合题意，故

有x=a和x=6两个不同零点，且在尤=。左右附近是不变号，在x=6左右附近是变

号的.依题意，x=a为函数/(x)=q(x_a)2(x_/>)的极大值点，,在x=a左右附近都是

小于零的.

当心。时，由x>b,/(x)<0,画出/(x)的图象如下图所示：

当。>0时，由x>6时，/(x)>0,画出的图象如下图所示:

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解

答.

6.(2022•全国•统考高考真题)已知、=再和分另U是函数/(%)=2优一ex?(Q〉0且Q)

的极小值点和极大值点.若再<々，则。的取值范围是____________.

【答案】U

【分析】法一：依题可知，方程21na-优-2ex=0的两个根为项,三，即函数y=lna•优与函

数〉=ex的图象有两个不同的交点，构造函数g(x)=lna-a)利用指数函数的图象和图象

4

变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得

出答案.

【详解】［方法一］:【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为/'(x)=21nad-2ex,所以方程21nad-2ex=0的两个根为不，电，

即方程=ex的两个根为，

即函数y=Ina⑶*与函数>=ex的图象有两个不同的交点，

因为分别是函数〃x)=2优-eV的极小值点和极大值点，

所以函数/(X)在(-00,西)和仁,+8)上递减，在(占户2)上递增，

所以当时(-8,西)(丹+00),r(x)<0,即〉=ex图象在y=lnad上方

当石(占户2)时，/'(x)>0,即>=6》图象在>=lnad下方

。>1,图象显然不符合题意，所以0<a<l.

令g(x)=Ina-ax,则g'(x)=In2a-a',0<a<1,

设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x°,lnad。)，

则切线的斜率为g'(%)=ln2a.淖，故切线方程为〉-Ina-*=h?a.优。(x-%,

则有-Inad。=-尤olr?。.*,解得/=白，则切线的斜率为耐止温；=ein2°，

综上所述，0的取值范围为

［方法二］:【通性通法】构造新函数，二次求导

/'(%)=21no•/-2ex=0的两个根为西,巧

因为4%分别是函数/⑺=2/-e/的极小值点和极大值点，

所以函数/(x)在(-8,西)和(知+<»)上递减，在(国,工2)上递增，

设函数g(x)=/1X)=2(a'」na-ex),则g［x)=2屋(Ina)2-2e,

若a>l,贝Ug'(尤)在R上单调递增，此时若g'(无。)=0,则/'(x)在

(-00,%)上单调递减，在(尤0,+8)上单调递增，此时若有X=X］和X=Z分别是函数

/(x)=2优-夕2(。>0且的极小值点和极大值点，则再>迎，不符合题意；

若0<a<l,贝Ug'(x)在R上单调递减，止匕时若9(无。)=0,则尸(x)在(-s,x°)上单调递增，

在(/，+°0)上单调递减，令g'(x())=O,则*=Q：)2,此时若有x=X］和x=%分另U是函数

5

/(x)=24x-ex2(a>0且aW1)的极小值点和极大值点，且再<%，则需满足，(%)>0,

广(%)=2(a&lna-eXo)=21j——exj>0,即/1皿>1故

T

lna«=xolna=ln—^>1,所以

(Ina)e

【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小

题小做”，是该题的最优解；

法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即

可，该法属于通性通法.

7.(2021•全国•统考高考真题)已知函数/0)=w'-1|巧<0/2>°，函数〃x)的图象在点

/(七,/(再))和点8(%,/(々))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于河，N两点，则战^

取值范围是.

【答案】(0,1)

【分析】结合导数的几何意义可得%+%=0,结合直线方程及两点间距离公式可得|/河|=而百.归|,

忸N|=Jl+e2也3,化简即可得解.

x—e”,x<0

【详解】由题意，f(x)=\e-]\=lx]>0，则/'(x)=

x

e9x>0

xx

所以点和点5卜2，淖一1),kAM=-e',kBN=e\

所以—e*,e"=—1,Xj+x2=0，

所以A,M:y—1+cX}——e”(x—/),M(0,cX}匹—cx'+1),

所以=Jx：+(e』xj=V1+e2x,.㈤，

同理忸M=d源区|，

故答案为：(0,1)

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+%=0,消去一个变量后，运算即可得解.

题型全归纳

【题型一】公切线求参

【讲题型】

例题L若两曲线尸2」与尸al.4存在公切线，则正实数a的取值范围为()

A.(0,2e]B.(0,e]C.[2e,+oo)D.(e,2e]

[答案]A

【彳析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲

线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.

6

【详解】设1户；一1),8(》2，如%2-1),必'=2/%'=(尢=2%#2=：

切线：y_(x；_1)=2%(%—石)，即,=2再％_%；_1

胡：y一(〃加工2-D=—(1-，即y~—x-Q+Qinv?_1,

"^2^"2.

a

2项=—2/\

<x2,:.a=4X2(l-lnx2J

—Xy-]=_ci+alnx2—1

令f(x)-4A:2(1-Inx),/(x)=8A(1-ln^+4x2^—

=Sx-8xlnr-4x=4x-8xlnx=4x(1-21nx)=0,x=Ve

〃x)在(0,—)上单调递增，在(右,+可上单调递减，

所以/(初侬=/(/)=2e,；.ae(0,2e]

故选：A.

例题2.已知直线/与曲线/(x)=e“和g(x)=lnx分别相切于点/(再,必)，有以下

命题：(1)4405>90。(0为原点)；(2)Xje(-l,l)；(3)当再<0时，％-再>2(行+1).

则真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

J_

【解析】先利用导数求斜率得到直线/的方程，可得出「gXi一=兀，分类讨论为的

Xx

e(1-%1)=111%2-1

符号，计算化简万•丽=-d)并判断其符号即得命题①正确；由「一X2

eXx(1一号)=1口%2-1

结合指数与对数的互化，得到镇=咛＞0,即得为的范围，得命题②错误；构造函数

□/、rM+1，研究其零点玉d-2,再构造函数〃(x)="£-x并研究其范围，即得

F(x)=eXx__1—

国一1

到'2-再="刘一再＞2行+2,得到命题③正确.

【详解】•."(x)=e"所以直线/的斜率匕=N,直线/的方程为

y-eXl=eXi(x-xj,即〉二e*x+(l-xje*,同理根据g(x)=lnx可知，直线/的方程为

x1

1,、€'=--1

y=—x+(\nx2-\),故J%2,得为=ln-=_lnx2.

x,2

"e(1-Xj)=lnx2-1

命题①中，若占=0,由靖=(可得x?=l,此时等式N(1-%)=ln%T不成立，矛盾;

x,xxx

X]R0时，OA-OB=xtx2+yty2=xte~+e'•(-Xj)=Xj^e~'-e'),因此，

若占＜0,则一X]＞0＞X],有"』一4＞0,止匕时方•丽＜0；

若芭＞0,贝卜王＜0＜玉，有广--＜0，此时而.砺＜0.

所以根据数量积定义知，cosN/O3＜0,即//。8＞90°,故①正确；

7

1

e=—Inx—1—x-1x+1

命题②中，由</得—=—!—>0,得再<-1或%>1,故

[e』(lf)=lnx「lII%T

②错误；

.Y%+1

命题③中，因为9-西-X]="*-X],由②知，S1=---为<-1或占>1,

X1一]

故当王<0时，即不<-1,设尸(x)=d-幺士则尸'(x)=e』+2>0,故

x「l(网-1)

尸(x)在(一8,-1)是增函数，WF(-2)=e-2-1<0,F[~|]=e故

尸(x)=e$一产=0的根因为%-网=e*-七=ef一七，故构造函数

再一1I2)

/z(x)=e「x,“-2,-£|,则"3=-0一、-1<0,故〃(x)在上单调递减，所以

A(x)=e-x-x>g^-|^|=eH|>5+1>2^2，故％>2(&+1),故③正确.

故选：C.

【讲技巧】

⑴以曲线上的点(xo,yu。))为切点的切线方程的求解步骤：

①求出函数次X)的导数/(X);

②求切线的斜率f(xo)；

③写出切线方程厂加0)=/(xo)(x-xo),并化简.

%=/&)

(2)如果已知点(x/,竺)不在曲线上，则设出切点(X。，以)，解方程组〔再一X。得切

点(X0,次))，进而确定切线方程.

【练题型】

1..若函数〃x)=3x+』-3(x>0)的图象与函数g(x)=/xe、的图象有公切线/,且直线/与直

X

线〉=-gx+2互相垂直，则实数，=()

A.—B.e2C.—或2^/^D.一或4八

eee

【答案】D

【分析】根据垂直性质可得勺=2,再求导根据导数的几何意义可得切线/的方程为y=2x-l,

再设函数g(x)=fxe*与直线/切于点列式求解即可

【详解】由题知，k,=2,令八x)=3-1=2,又x>0,解得x=l,因为=所以

切线/的方程为y=2x-l.g'(x)=t(x+l)ex,

设函数g(x)=txe*与直线/切于点(%,%),

8

x

一——二te°

mJ2/-1=52x-12%=1

故2°即一^~=—p2x；—%—1=0,解得1或

12=/(x+1)ex°

0^-=tQX°Xox0+1t=-

、e

po+l

/=一，.故选：D

/=4Ve

2.直线+t与曲线y=6相切，且与圆/+产=/(/•>())相切，则r=()

A.-B.—C.3D.立

553

【答案】B_

【分析】先由直线与曲线y=«求出乙再由直线与圆相切即可求出厂

【详解】设直线+f在曲线>=五上的切点为(％,萩卜

则/'国)=左=；,解得%=1,故切点坐标为(1,1),

将(1,1)代入直线y=(x+f中，解得好；，

所以直线方程为y=；x+g,即x-2y+l=0,

又x-2y+l=0与圆x2+丁=/(厂>0)相切，

则尸="一；+”=且,故选：B

V55

3..若函数/(x)=f+l与g(x)=2alnx+l的图象存在公共切线,则实数0的最大值为

)

A.-B.eC.D.e2

2

【答案】B

【分析】分别设公切线与「卜)=，+1和C:g(x)=2alnx+1的切点(无1，尤;+1),

(x2,2alnx2+l),根据导数的几何意义列式，再化简可得。=2*-2*山马，再求导分析

/z(x)=2x2-2x2-Inx(x>0)的最大值即可

【详解】/'(x)=2x,g'(x)=/，设公切线与/'(x)=Y+l的图象切于点(4呼+1),与曲

线C:g(x)=2alnx+1切于点(工2,2〃111工2+1),

...2寸幺=伽1眸+1)-(片+l)=2aln为一f,故,=「，所以2寸当地口，

工X

x2x2_X]X2-X]2-1

x1=2x2-2x2-lnx2,*.*a=x1x2,故。=2%；-2x；ln%2,

设h{x}=2x2-2x2-Inx(x>0),贝ljh\x)=2x(1-2Inx),

・，・,(%)在(0,J)上递增,在(加,+oo)上递减，^(x)max=/z(Ve)=e,

・,.实数〃的最大值为eo故选：B.

【题型二】“过点”切线条数

【讲题型】

9

例题L若过点(小〃)(加<0)可作曲线》=-丁三条切线，贝!|()

A.0<n<—m3B.n>—m3C.n<0D.Q<n--m3

【答案】A

【分析】设切点为0,-r)，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点(加,〃)(机<0),转

化为方程有3个根，构造函数g(/)=2--3加--〃，利用导数可知函数的极值，根据题意列

出不等式组求解即可.

【详解】设切点为卜,一户)，

由y=-x3=>y'=-3x2，故切线方程为>+/=-3「(x-f),

因为(%〃)(加<0)在切线上，所以代入切线方程得2/一3冽产-〃=0,

则关于/的方程有三个不同的实数根，

令g(f)=2/一3机/一〃，贝1J=6——6%.=0=1=〃7或/=0,

所以当/€(一℃,机)，(0,+司时，g'(t)>0,g(。为增函数,

当/e(-加,0)时，g'(t)<0,g⑺为减函数,

且:-一00时，g(Z)->-oo,ff+8时，g〃)f+OO,

8")极大值=8(〃7)=---”>°

所以只需，解得0<n<-m3故选:A

g(')极小值=g(0)=T<。

例题2.已知函数/(x)=lnx,若过点尸80)存在2条直线与曲线y=/(x)相切，请写出满足

条件的一个，值：.

【答案】y##0.5(不唯一)

【分析】先求得切线方程，根据切线过点(/,0),得到Uxo-x/nx。，令〃(x)=xrlnx,

根据过点尸90)存在2条直线与曲线y=y(x)相切，利用导数法求解.

【详解】解：设切点坐标为(％,历%),因为/(x)=lnx,所以，则

所以切线方程为：yTnx。=，■-/),因为切线过点(/,0)，所以-Inxo='1-Xo),即

%工0

=x0-x0Inx0,令/z(x)=%-xlnx,贝lj,

当0v%<1时,,当x>1时,,

且当Xf0时，“X)—0,当Xf+8时，8,所以当X=1时，函数“X)取得极大值

"1)=1,因为过点尸(%,0)存在2条直线与曲线歹=/(x)相切，

所以0</<1,故答案为：y(不唯一)

【讲技巧】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一

定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公

共点.

【练题型】

L已知函数/(X)=2X+3,过点M(2,a)作/(x)的切线，切线恰有三条，则。的取值范围是

10

【答案】4＜。＜1?7

4

【分析】根据切点，可得切点处的切线方程，根据两点间斜率公式可得。的表达式，构造函

43

数8。)=-3+三+4(方0)，利用导数处理g(x)的单调性，根据单调性和极限值画图，根

XX

据图像即可求解.

【详解】设切点为卜,2*+*],/'(x)=2-;，所以切线斜率左=/'(占)C2

=2-不，所以

%；2-xx

4343

化简得-二+=+4,即该方程有3个解，即>与g(x)=-二+三+4(%。0)有3个

不再xx

交点.

g，(x)=l|_A=叱如，所以g(x)在(-*0),(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减，且

XXX

173Y-4

当Xf+8,g(x)t4；g(2)=丁；当x—,g(x)=——+4->-00；

4x，

3Y-4

当x-»0\g(尤)=——+4^+co；当xf-8,g(x)—4,所以g(尤)的草图为.

所以要保证3个交点，即4＜。＜二.故答案为：4＜。＜二.

44

2.已知函数/'(x)=x3-6/+9x-2,过点P(0,2)作曲线y=/(x)的切线，则可作切线的最多

条数是.

【答案】3

【分析】分析可得“0,2)不是切点，设切点-6工。2+9毛-2),根据导数的几何意义,

求得切线的斜率匕根据点。(%,年一6年+9%-2)和点尸(0,2)坐标，可求得切线斜率后，

联立即可得答案.

【详解】：点尸(0,2)不在函数了=/(无)的图象上，.•.点尸(0,2)不是切点，

2

设切点为0(x°,-6x0+9x0-2)(x0^0),

由/卜)=/一6工2+9苫-2,可得/'(无)=3X2-12X+9,

则切线的斜率后=/'(x。)=3x；-12尤。+9,

11

—6X02+9XQ-2-2

3XQ-12XQ+9=

%

解得％o=-1或/=1+6或%o=1-百，故切线有3条.

故答案为：3.

3.已知函数〃x)=g(x+D(2/-8xT.过点/(-1,〃-1))作曲线了=/(%)两条切线，两切线

与曲线了=/。)另外的公共点分别为8、C,则A/3C外接圆的方程为___________.

【答案】/+/-7x-3y-8=0(或(x-j=三)

【分析】求")的导数，设切点为(％,/(%)),根据直线点斜式方程求出切线方程，将/的

坐标代入求出切点坐标，联立切线方程和月。)求得8、C坐标，设△/BC外接圆方程为

/+/+为+为+/=(),代入/、B、C三点坐标得方程组，解方程组即可得到圆的方程.

【详解】•••/(x)=g(x+l)(2--8x-l),

/(X)=；(2x?-8x-l)+g(x+l)(4x-8)=g(2x?-8x-l+4x2-8x+4x-8)

=1(6X2-12X-9)=|(2X2-4X-3).

则/(TO),设y=/(x)切线的切点为(％,/(%)),

则切线方程为：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),

;切线过4(-1,0)，/.-/(/)=/'(%0)(-1-%0)

即§(工0+1)(2%：一8/-1)=§(2x；-4x0-3^)(x0+1)

当/w—1时，—8x0-1=3(2片一4/一3),即4x：—4'o—8=0,即—2=0,解得4=2.

=/(-1)=；(2+4-3)=1,/(2)=1(2+1)(8-16-1)^-3,

r(2)=|(8-8-3)=-l.

①当切点为/(-1,0)时，切线方程为y=x+i,

y=x+1

x=-1x=5

由<y=g(x+l)(2d-8x-l解得尸。或(，则不妨设5(5,6)；

>二6

②当切点为(2,-3)时，切线为了=一(x+l),Bpy——x—1,

x=-1x=2

由，解得…或、，则不妨设C(2,-3)；

>=一3

故N(-1,O),3(5,6),C(2,-3),设△/BC外接圆为/+，+m+£》+尸=0,

1-Z)+F=OD=-7

则4+9+20-3E+尸=0,解得，E=-3,

25+36+5D+6E+b=0尸=一8

...所求圆的方程为/+「-7x-3y-8=0.

故答案为：x2+y2-7x-3y-8=0.

【题型三】切线法解题

12

【讲题型】

Q~XV<0

例题L已知过原点的直线与函数/■(%)=,'一八的图像有两个公共点，则该直线斜率的取

］nx,x>0

值范围()

A.(-s,-eju{：}B.{-e}U(O,j

C.卜e,：1D.(-co,-e)u1。,j

【答案】B

【分析】画出函数图象并分别求出xWO和x>0两段图象的切线方程，由交点个数即可求出

斜率的范围.

【详解】设过原点与/(x)=lnx相切的于点区,lnxj,

f\x)=~,则斜率为工，此切线方程为y-ln玉=’(彳-西)，

X再石

将原点带入得再=2,即斜率为］当斜率左中,］时函数“X)与过原点的直线有两个公

共点，

设过原点与/(%)=尸(％(0)相切的于点(程心2),

f\x)=-e~x,则斜率为—ef，此切线方程为歹-。/=_©丑(％一工2)，

将原点带入得/=T，即斜率为-e,

当斜率左=—e时函数/(%)与过原点的直线有两个公共点，故选：

例题2.已知函数/(%)=h(x+1)-Inx,若/(x)40有且只有两个整数解，则左的取值范围

是()

(ln5ln2、

B*［方/

pn2ln3~|(ln2ln3］

c-BmD,E团

【答案】C

【分析】将问题化为©x+l)V皿有且只有两个整数解，利用导数研究g(x)=皿的性质,

%X

并画出g(x)与y=©x+l)的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求人的范围.

【详解】由题设，/(x)定义域为(0,+<»),则/(x)VO可得©x+l)《皿，

13

人/、Inx,/、1-lnx

令g(x)=-----,贝ljg(x)=——,

XX

所以0<x<e时g'(x)>0,即g(x)递增，值域为(—2)；

e

x>e时g'(x)<0,即g(x)递减，值域为(0一)；

e

而歹=左(、+1)恒过(-1,0),函数图象如下：

x

若交点的横坐标为再<%，贝收〈西42<3<％<4,

所以<4左W—^―,即■〈左〈■.故选：C

【点睛】关键点点睛：首先转化为左+有且只有两个整数解，导数研究函数性质，

x

再应用数形结合法判断g(x)=也、v=©x+l)交点横坐标范围，即可求参数范围.

X

【讲技巧】

涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以

用切线分隔(分界)思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，

【练题型】

1.已知函数/(x)=eln尤,尤e[l,e).若了=/(无)的图象与龙轴有且仅有两个交点，则

实数。的取值范围是()

A.[l,e]B.(0,e]C.[l,e2-2e]D.(0,e2-2e]

【答案】D

【分析】将V=/(x)的图象与x轴有且仅有两个交点，转化为函数了=elnx与y=|x-a|的图

象在[l,e]上有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数。的取值范围.

【详解】/(x)=elnx-|x-a|,、©口述,]的图象与x轴有且仅有两个交点，

等价于函数了=eln尤与了=|x-a|的图象在[132]上有且仅有两个交点.

当直线>=x-(^y=elnx的图象相切时，

e

令V=—=1,得％=6,即切点为(e,e),此时a=o；

X

2

当y=x-a的图象过点(ez,2e)时，fl=e-2e-

所以要使函数V=elnx与y=|x-a|的图象在xe[l,e]上有且仅有两个交点,

贝懦ae(0,eJ2e].

14

y

21

2..已知a＞0,b＞0,直线V=%+a与曲线＞=e""一26+1相切，贝!j—+7■的最小值为

ab

【答案】8

【分析】设直线＞=1+。与曲线＞=£1-力+1相切于点(%,%),根据导数的几何意义先求

出与,进而得到关系a+26=l,再由均值不等式可得出答案.

【详解】设直线k工+。与曲线歹=--26+1相切于点(后,%)

由函数y=e'T-2b+1的导函数为V=ej则左=/仁而=炉户=1

解得%=1

所以X)=1+。=2—2力，即〃+26=1

nil21/~\＜2.4ba.,^~b'ao

贝U-I—=(Q+2b—I—|=4+—F-24+2、I-_x-=8

ab\ab)ab\ab

当且仅当4竺b=a?,即1=：1时取得等号.

故答案为：8

3..对任意的xeR,若关于x的不等式四+以即11小+口(机＞0)恒成立，则加的最小

值为__________.

【答案】3##0.5

【分析】将问题转化为k椁x+矶的图象在函数ksin(2x+F|的图象上方相切，利用函数

的导数和切线的斜率的关系，求出切点坐标即可得解.

【详解】因为关于x的不等式|氐+小sin[2x+力(心0)恒成立，

由图可知当正数根最小时，直线乂=百》+加与%=sin12x+.J在口内相切.

对函数为=sin,+j求导得到为'=2cos12x+力.令左=%'=2cos12x+力=J5，解得

15

x=0.所以%=sin(2x0+g,所以切点的坐标为(0,；；

把点代入乂=&+机得：加=g.故答案为：

【题型四】恒成立“同构型”求参

【讲题型】

例题L若关于x的不等式/，a>aln"对于任意xw(0,+8)恒成立.则实数。的取值范围是

【答案】(0,/)

【分析】利用同构将不等式转化为xF>竺/"竺，再构造函数设“x)=xe)研究函数的单

ee

调性，求出函数的最小值，即可得到答案；

【详解】易知。>0,将原不等式变形可得：靖>4色竺匚nxe、>竺方竺，

eee

设g)=xj则"(x)=(x+l)e，

,1-

例题2.已知当工“时,不等式x。+——QX2aInx恒成立,则正实数a的最小值为.

【答案】1

e

【分析】将问题转化为e：_inlvx"_lnx"，设"x)=x-lnx,根据函数的单调性求出

令〃(x)=xlnx(xe[e,+oo)),利用导数求出其最小值，从而可求出实数。的取值

xinx

范围，进而可求得正实数。的最小值

一2111

【详解】由题意得，原不等式可变形为-alnx,即/Vx。Tnx"，

设/(x)=x-lnx,则当x±e时，f恒成立，由/(x)=x-lnx,得

当0<x<l时,r(x)<0,当X>1时,/-(X)>0,,所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+到上

单调递增，

因为2e,。>0,所以[>i，x">l，因为/*)在(L+◎上单调递增，所以要使1

只要「

两边取对数得，因为xNe,所以。之一