河南省确山县高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行 （1）教学设计 北师大版选修2-1

河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行（1）教学设计北师大版选修2-1主备人备课成员设计意图同学们，咱们今天来聊聊向量在立体几何中的应用，特别是垂直和平行这两个概念。咱们先从课本中的例子入手，一步步深入，让向量成为我们解决立体几何问题的利器！🌟在课堂上，我会通过生动的实例和互动讨论，让大家对向量的垂直和平行性质有更深刻的理解。让我们一起在数学的海洋中畅游，感受向量的魅力吧！💫核心素养目标培养学生运用向量语言描述空间几何关系的表达能力；提升学生运用向量解决立体几何问题的逻辑推理能力；增强学生空间想象和抽象思维能力；激发学生探究空间几何问题的兴趣，培养科学探究精神。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生们在此之前已经学习了平面几何中的向量基本概念，包括向量的加减、数乘、坐标表示等，以及向量的基本运算规则。此外，他们也对空间直角坐标系有一定的了解，能够进行简单的空间点的坐标运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学尤其是几何部分的学习兴趣较为浓厚，尤其是那些对逻辑推理和空间想象能力较强的学生。他们的学习风格各异，有的学生偏好通过图形直观理解问题，有的则更倾向于逻辑推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习空间向量与立体几何时，学生可能会遇到以下困难：一是空间想象能力的不足，难以直观理解空间图形的构造和性质；二是向量运算的复杂性和准确性要求，学生可能在计算过程中出现错误；三是将向量方法应用于解决立体几何问题时，可能难以建立合适的向量模型。针对这些挑战，教学中需要通过多样化的教学策略和实例来帮助学生克服。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版选修2-1教材，以便随时查阅相关内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的空间向量与立体几何的图片、图表，以及相关的教学视频，以增强直观教学效果。

3.教室布置：设置分组讨论区，便于学生进行互动学习；在黑板上预留空间，用于展示解题步骤和关键公式。教学流程1.导入新课

-详细内容：首先，我会通过展示一些日常生活中常见的立体几何图形，如房屋的立面图、建筑物的结构图等，引导学生回顾平面几何中向量的知识，并引出空间向量与立体几何的关系。接着，我会提问：“同学们还记得平面几何中向量的哪些性质？这些性质在立体几何中会如何体现？”以此激发学生的思考，为新课的引入做好铺垫。

2.新课讲授

-详细内容：

1.讲解向量的垂直与平行性质：我会通过实例讲解向量垂直与平行的定义，如两个向量的点积为零时，它们垂直；两个向量的方向相同或相反时，它们平行。同时，我会展示如何利用向量的坐标表示进行判断。

2.分析向量垂直与平行的应用：以课本中的例题为基础，讲解如何利用向量的垂直与平行性质解决立体几何问题，如求两直线间的距离、判断两平面是否垂直等。

3.介绍向量与立体几何的性质关系：通过对比分析，使学生理解向量在立体几何中的重要作用，以及如何将向量方法应用于解决实际问题。

3.实践活动

-详细内容：

1.学生独立完成课本中的练习题：让学生尝试利用向量的垂直与平行性质解决立体几何问题，巩固所学知识。

2.小组合作完成拓展练习：将学生分成小组，每组完成一道具有一定挑战性的立体几何问题，如求异面直线间的距离。通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

3.学生展示解题过程：每组选派一名代表展示本组的解题过程，其他小组进行点评，教师进行总结。

4.学生小组讨论

-3方面内容举例回答：

1.向量的垂直与平行性质在解决立体几何问题中的应用：如如何利用向量判断两直线是否平行，如何求两平面间的距离等。

2.向量与立体几何的性质关系：如向量在立体几何中的地位，以及向量方法在解决立体几何问题中的优势。

3.学生在学习过程中遇到的困难和问题：如空间想象能力不足、向量运算错误等。

5.总结回顾

-内容：首先，我会回顾本节课所学内容，强调向量的垂直与平行性质在立体几何中的应用。然后，我会举例说明本节课的重难点，如如何利用向量方法解决立体几何问题，以及如何培养学生的空间想象能力。最后，我会鼓励学生在课后继续学习，巩固所学知识。

用时：导入新课（5分钟）、新课讲授（15分钟）、实践活动（15分钟）、学生小组讨论（10分钟）、总结回顾（5分钟）

总计：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-空间向量的基本运算：介绍空间向量的加减、数乘、点积、叉积等基本运算，以及这些运算在立体几何中的应用。

-空间直角坐标系与向量：探讨空间直角坐标系中向量的坐标表示，以及如何利用坐标表示进行向量运算。

-向量与平面：分析向量与平面之间的关系，包括向量与平面的垂直、平行以及向量在平面上的投影等概念。

-向量与直线：讨论向量与直线之间的关系，如向量与直线的垂直、平行，以及向量在直线上的投影等。

-立体几何中的向量应用：展示向量在解决立体几何问题中的应用实例，如计算空间距离、确定空间图形的位置关系等。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《高等数学》中的向量与空间几何章节，可以为学生提供更深入的理论知识。

-观看教育视频：推荐一些在线教育平台上的立体几何与向量教学视频，帮助学生更好地理解抽象概念。

-实践操作：鼓励学生利用计算机软件（如MATLAB、GeoGebra等）进行向量运算和立体几何图形的绘制，增强空间想象能力。

-小组合作研究：组织学生进行小组合作，共同解决一些复杂的立体几何问题，培养学生的团队协作和问题解决能力。

-参加竞赛活动：鼓励学生参加数学竞赛，如美国数学竞赛（AMC）或国际数学奥林匹克（IMO），通过竞赛提升数学思维和解决问题的能力。

-撰写学习报告：要求学生就立体几何与向量的某一主题撰写学习报告，通过写作加深对知识的理解和记忆。

-制作教学课件：让学生尝试制作关于空间向量与立体几何的PPT或教学课件，通过制作过程巩固所学知识，并提高教学表达能力。典型例题讲解例题1：已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，求向量AB的坐标表示。

解：向量AB的坐标表示为：

AB=(4-1)i+(5-2)j+(6-3)k

=3i+3j+3k

=3(1,1,1)

例题2：已知平面α的法向量为n=(1,-2,3)，点P(1,2,3)，求点P到平面α的距离。

解：点P到平面α的距离公式为：

d=|n·P|/|n|

其中，·表示向量的点积，|n|表示向量n的模。

计算点积和向量n的模：

n·P=1*1+(-2)*2+3*3=1-4+9=6

|n|=√(1^2+(-2)^2+3^2)=√(1+4+9)=√14

代入公式计算距离：

d=|6|/√14=6/√14=3√2/√7

例题3：已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，点C(7,8,9)，求直线AB和直线AC的夹角。

解：首先，求出向量AB和向量AC：

AB=(4-1)i+(5-2)j+(6-3)k=3i+3j+3k

AC=(7-1)i+(8-2)j+(9-3)k=6i+6j+6k

然后，利用向量夹角公式计算夹角：

cosθ=(AB·AC)/(|AB|*|AC|)

AB·AC=3*6+3*6+3*6=54

|AB|=√(3^2+3^2+3^2)=√27=3√3

|AC|=√(6^2+6^2+6^2)=√108=6√3

代入公式计算夹角：

cosθ=54/(3√3*6√3)=1/2

θ=arccos(1/2)=60°

例题4：已知平面α的法向量为n=(1,-2,3)，点P(1,2,3)，求过点P且与平面α垂直的直线方程。

解：过点P且与平面α垂直的直线方程可以表示为：

x-1=-1/1*(y-2)=-1/(-2)*(z-3)

化简得：

x+y-2=0

y+2z-6=0

例题5：已知空间直角坐标系中，点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，点C(7,8,9)，求三角形ABC的面积。

解：首先，求出向量AB和向量AC：

AB=(4-1)i+(5-2)j+(6-3)k=3i+3j+3k

AC=(7-1)i+(8-2)j+(9-3)k=6i+6j+6k

然后，利用向量叉积求三角形ABC的面积：

S=1/2|AB×AC|

计算叉积：

AB×AC=i(3*6-3*6)-j(3*6-3*6)+k(3*6-3*6)

=0i-0j+0k

=(0,0,0)

由于叉积为零，说明AB和AC共线，因此三角形ABC退化为一条线段，面积为0。内容逻辑关系①本文重点知识点：

-向量的坐标表示

-向量的垂直与平行性质

-向量在立体几何中的应用

②关键词：

-点积（内积）

-叉积（外积）

-法向量

-空间直角坐标系

-向量运算

③重点句子：

-“向量的坐标表示是解决立体几何问题的关键。”

-“向量的垂直与平行性质是判断空间图形关系的基础。”

-“利用向量可以简化立体几何问题的计算。”作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本第二章空间向量与立体几何2.4节后的练习题，包括判断题、选择题和解答题。

-判断题：判断以下说法是否正确，并说明理由。

-如果两个向量的点积为零，则这两个向量垂直。

-如果两个向量的叉积为零，则这两个向量共线。

-选择题：选择正确的答案。

-已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则向量AB的坐标表示是：

A.(3,3,3)

B.(3,3,-3)

C.(3,-3,3)

D.(3,-3,-3)

-解答题：解答以下问题。

-求点P(2,3,4)到平面α:x+2y-3z=0的距离。

-已知直线L的方程为x=2t,y=t,z=t+1，求直线L与平面α:x+2y-z=0的交点。

2.拓展练习：

-设计一个立体几何问题，利用向量方法解决，并写出解题步骤和答案。

-选择一个与生活相关的立体几何问题，运用向量知识进行解释和分析。

作业反馈：

1.及时批改作业，确保每个学生都能得到及时的反馈。

2.对作业中的错误进行分类，包括计算错误、概念混淆、解题步骤错误等。

3.在反馈中给出清晰的错误原因分析，例如：“计算错误：在求向量AB时，忘记将B点的坐标减去A点的坐标。”

4.针对不同的错误类型，给出具体的改进建议，例如：“概念混淆：请复习向量点积的定义和性质。”

5.对于优秀的作业，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。

6.对于有共同问题的作业，可以在下一节课上进行集体讲解，帮助学生共同克服困难。

7.定期与学生交流作业情况，了解他们的学习进度和困惑，提供个性化的辅导建议。

8.鼓励学生之间相互检查作业，培养团队合作和互助学习的精神。反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.创设情境教学：在讲解空间向量与立体几何时，我会尝试通过创设实际情境，如建筑物的结构设计、地图上的方向定位等，让学生在实际问题中感知向量的应用，提高学习的趣味性和实用性。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体资源，如动画、视频等，展示空间几何图形的动态变化，帮助学生更好地理解向量的垂直与平行性质，以及向量在立体几何中的应用。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生空间想象力不足：部分学生在空间几何的学习中，由于缺乏直观的感知和想象，难以理解空间图形的性质和关系。

2.教学方法单一：在教学方法上，我可能过于依赖传统的讲授法，缺乏多样化的教学手段，导致学生参与度不高。

3.评价方式单一：目前的评价方式主要依赖于作业和考试，缺乏对学生学习过程和实际应用能力的全面评价。

反思改进措施（三）改进措施

1.强化空间想象力训练：通过引入实际案例、开展小组合作等活动，让学生在具体问题中锻炼空间想象力，如利用三维模型或虚拟现实技术进行空间图形