经济数学基础形成性考核册作业4参考答案

经济数学基础形成性考核册作业4参考答案一、单项选择题1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，则\(A+B=\)（）A.\(\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}5&8\\10&12\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\)答案：A解析：矩阵相加，对应元素相加，\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)。2.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(2A=\)（）A.\(\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&4\\3&8\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}2&2\\3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\6&8\end{pmatrix}\)答案：A解析：数乘矩阵，用该数乘以矩阵的每一个元素，\(2A=2\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1&2\times2\\2\times3&2\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&8\end{pmatrix}\)。3.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}\)，则\(AB=\)（）A.\(\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}31&34\\73&82\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}23&26\\55&64\end{pmatrix}\)答案：A解析：矩阵相乘，\(AB=\begin{pmatrix}1\times7+2\times9+3\times11&1\times8+2\times10+3\times12\\4\times7+5\times9+6\times11&4\times8+5\times10+6\times12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\)。4.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，则\(A^2=\)（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)答案：A解析：\(A^2=AA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times1+0\times0&1\times0+0\times(1)\\0\times1+(1)\times0&0\times0+(1)\times(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。5.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，其伴随矩阵\(A^*\)=（）A.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)答案：A解析：对于二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，伴随矩阵\(A^*=\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}\)，所以对于\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A^*=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)。6.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert=\)（）A.\((2)^{n+1}\)B.\((2)^n\)C.\(2^{n+1}\)D.\(2^n\)答案：C解析：\(\vert2A\vert=(2)^n\vertA\vert=(2)^n\times2=2^{n+1}\)。7.设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(k\)是非零常数，则\(\vertkA\vert=\)（）A.\(k\vertA\vert\)B.\(\vertk\vert\vertA\vert\)C.\(k^n\vertA\vert\)D.\(\vertk\vert^n\vertA\vert\)答案：C解析：\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。8.设矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则下列结论正确的是（）A.\(A\)中所有\(r+1\)阶子式都不为零B.\(A\)中可能有等于零的\(r\)阶子式C.\(A\)中所有\(r\)阶子式都不为零D.\(A\)中所有低于\(r\)阶子式都不为零答案：B解析：矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则\(A\)中至少有一个\(r\)阶子式不为零，所有高于\(r\)阶的子式都为零，可能有等于零的\(r\)阶子式。9.设线性方程组\(AX=0\)只有零解，则\(A\)的秩（）A.小于未知数的个数B.等于未知数的个数C.大于未知数的个数D.等于零答案：B解析：线性方程组\(AX=0\)只有零解，则系数矩阵\(A\)满秩，即\(A\)的秩等于未知数的个数。10.设线性方程组\(AX=b\)有唯一解，则相应的齐次方程组\(AX=0\)（）A.无解B.有非零解C.只有零解D.解不能确定答案：C解析：线性方程组\(AX=b\)有唯一解，则系数矩阵\(A\)满秩，那么相应的齐次方程组\(AX=0\)只有零解。二、填空题1.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，则\(AB=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)2.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，则\(A^3=\)______。答案：\(A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)3.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，则\(A\)的秩\(r(A)=\)______。答案：对矩阵\(A\)进行初等行变换，\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_24r_1}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&3&6\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_2\div(3)}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\end{pmatrix}\xrightarrow[]{r_12r_2}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}\)，所以\(r(A)=2\)。4.设线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2=1\\x_1x_2=2\end{cases}\)，其增广矩阵为______。答案：\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix}\)5.设线性方程组\(AX=b\)有解，\(A\)是\(m\timesn\)矩阵，则\(r(A)=r(\overline{A})\)，其中\(\overline{A}\)是______。答案：增广矩阵\((A\vertb)\)6.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(\vertA\vert=3\)，则\(\vertA^{1}\vert=\)______。答案：因为\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)，所以\(\vertA^{1}\vert=\frac{1}{3}\)。7.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，其逆矩阵\(A^{1}=\)______。答案：先求行列式\(\vertA\vert=1\times42\times3=2\)，伴随矩阵\(A^*=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)，则\(A^{1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^*=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。8.设线性方程组\(AX=0\)的基础解系含有\(3\)个解向量，则\(r(A)=\)______（其中\(A\)是系数矩阵，且为\(n\)阶方阵）。答案：根据\(nr(A)\)等于基础解系所含解向量的个数，已知基础解系含有\(3\)个解向量，所以\(nr(A)=3\)，则\(r(A)=n3\)。9.设线性方程组\(\begin{cases}x_1+2x_2=3\\2x_1+4x_2=6\end{cases}\)，其系数矩阵\(A=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\)10.设线性方程组\(AX=b\)有解，且\(r(A)=r(\overline{A})=r\ltn\)（\(n\)为未知数的个数），则方程组的解______。答案：有无穷多解三、解答题1.计算\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)解：\[\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}&=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\&=1\times(5\times96\times8)2\times(4\times96\times7)+3\times(4\times85\times7)\\&=1\times(4548)2\times(3642)+3\times(3235)\\&=1\times(3)2\times(6)+3\times(3)\\&=3+129\\&=0\end{align*}\]2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，求\((A+B)^T\)。解：先求\(A+B\)，\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)，则\((A+B)^T=\begin{pmatrix}6&10\\8&12\end{pmatrix}\)。3.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}7&8\\9&10\\11&12\end{pmatrix}\)，求\(AB\)。解：\[AB=\begin{pmatrix}1\times7+2\times9+3\times11&1\times8+2\times10+3\times12\\4\times7+5\times9+6\times11&4\times8+5\times10+6\times12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}58&64\\139&154\end{pmatrix}\]4.求矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&