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文档简介
2024-2025高三省级联测考试数学试卷班级_____姓名_____注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数型复合函数定义域及二次函数值域化简,再由交集运算即可求解;【详解】根据题意,由,得,所以集合,易知,,故选:B.2.若复数满足,其中是虚数单位,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出复数的代数形式,利用复数相等求出,再利用复数乘法求解.【详解】设,则,因此,则,,即,所以.故选:A3.已知向量,满足,,,则向量与的夹角为()A.30° B. C. D.135°【答案】C【解析】【分析】由平方,结合,求得及,即可求解;【详解】由已知得,即,即又,两式联立可得:,则向量与的夹角为故选:C.4.高相同的圆柱与圆台的体积分别为,,且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项,则与的关系为()A. B. C. D.不确定【答案】A【解析】【分析】利用圆台体积公式,结合等差中项,可通过基本不等式转化到圆柱的体积即可得到判断.【详解】设圆台的上、下底面积分别为,,圆柱的底面积为,高为,根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项,,,,故选:A.5.已知,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦的和差角公式化简等式得到,再由正切的和差角公式求得.【详解】由已知,即则,∴,故选:C.6.已知函数是上的增函数,且关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出,再由函数的单调性可得出,结合参变量分离法可得出实数的取值范围.【详解】因为函数与均是增函数,所以,函数是上的增函数只需满足,即,解得,由得,即恒成立,所以,当时,函数取得最大值,所以,,即,因此,实数的取值范围是.故选:D.7.已知函数在上单调递减,在上单调递增,且圆内恰好包含的三个极值对应的点,则的取值范围是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数单调性得到函数的对称轴,由函数单调区间得到周期的范围,从而得到的值得到函数解析式,由图像得到距离最大和距离最小的点,则可以求出半径的范围.【详解】由已知在处取得最小值,,,解得,∵函数在上单调递减,,即,,当时,,,符合条件,.由图像知轴右侧包含两个极值对应的点,左侧包含一个极值对应的点,的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离,小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离,即,故选:B.8.已知函数,则是()A.偶函数,有最小值 B.偶函数,有最大值C.奇函数,在上单调递增 D.奇函数,在上单调递减【答案】B【解析】【分析】由偶函数的性质结合对数的运算可判断为偶函数,换元法令结合对数的运算和复合函数的单调性可得有最大值.【详解】函数的定义域为R,,,故函数为偶函数.令,则,,所以,由复合函数的单调性可得在上单调递减,处取得最大值,故选:B.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于利用对数的运算性质化简和换元法化简.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设,则下列结论正确的是()A. B.若,则的最小值为4C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指数函数,幂函数单调性比较大小,利用基本不等式比较大小即可.【详解】对于A,,由指数函数单调递增,,即,故A正确;对于B,,等号成立条件,由于,显然等式不成立,故最大值比0小,所以最小值不可能为4,故B错误;对于C,由已知,,,即,故C正确;对于D,,由幂函数单调递增,,即,故D正确,故选:ACD.10.已知函数,则下列结论正确的是()A.若在上单调递减,则的最大值为1B.当时,C.当时,D.存在直线,使得与的图象有4个交点【答案】BCD【解析】【分析】对于A,求导确定单调性即可判断;对于BC,构造函数求导,确定单调性可判断;对于D,画出得图象,由图象可判断.【详解】解:,由,解得,的最大值为,故A不正确;当时,,即.设,则,在处取得最小值,故B正确;当时,,即.由B选项的过程知,在时,,在上单调递减,,故C正确;画出的图象如图,可知存在直线,使得与的图象有4个交点,故D正确,故选:BCD.11.已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线,其渐近线分别为与轴,其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为,其离心率为,双曲线的实轴长为,离心率为,则下列结论正确的是()A. B.点是的一个顶点C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的离心率公式即可判断A;求出即可判断C;求出双曲线的对称轴方程,再与其联立,即可判断BD.【详解】如图1,当双曲线为焦点在轴上的标准方程时,过双曲线的右顶点作轴的垂线交渐近线于点,则,,故A正确;由题意知,双曲线中,渐近线即,其斜率为,如图2,它与轴夹角的正切值,解得或(舍),,由A选项可知,,故C正确;顶点是对称轴(实轴)和双曲线的交点,,∴对称轴为,与双曲线在第一象限交于,,故B不正确,D正确.图1图2故选:ACD.【点睛】关键点点睛:理解“对勾函数”的图象的特征是解决本题的关键.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若抛物线上一点到其焦点的距离为5,则_____.【答案】2【解析】【分析】由抛物线得定义得到,求解即可;【详解】由抛物线的定义得,解得或(舍),故.故答案为:213.已知数列中,,,,则的前项和_____.【答案】【解析】【分析】由,得,得到等差数列,进而可求解;【详解】由,得,是首项为,公差为1的等差数列,,,,为等差数列,.故答案为:14.已知集合,是集合的含两个元素的子集,且,则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为_____.【答案】【解析】【分析】首先求出,中两元素之差的绝对值相等时的个数,再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】当,中两元素之差绝对值均为1时,的个数为;当,中两元素之差的绝对值均为2时,的个数为;当,中两元素之差的绝对值均为3时,的个数为;当,中两元素之差的绝对值均为4时,的个数为;故满足条件的共有(个);故其概率为.故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解答的关键是分,中两元素之差的绝对值均为、、、时的个数.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图,在直四棱柱中,底面是边长为2的正方形,是的中点,且.(1)求四棱柱的外接球的表面积;(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由四棱柱的外接球直径就是其体对角线,即可求解;(2)建系,求得平面法向量,代入夹角公式即可求解;【小问1详解】取的中点,连接,,底面是正方形,且该四棱柱是直四棱柱,平面,又平面,,,,都在平面内,平面,又平面,,,,即,.四棱柱的外接球直径就是其体对角线,外接球半径,故四棱柱的外接球的表面积.【小问2详解】建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的法向量为,则令,得:,,而平面就是平面,其一个法向量是,设平面与平面的夹角为,则,平面与平面夹角的余弦值为.16.已知椭圆的一个顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于另一点,且.(1)求椭圆的方程;(2)已知点在椭圆上,过向直线引垂线交于点,若,求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)由,确定坐标,代入椭圆方程,进而求解;(2)设:,联立椭圆方程,求得,.再由得到,进而可求解;【小问1详解】设,,.,设,则,解得:,,代入椭圆的方程,得,整理得,又,,,故椭圆的方程为.【小问2详解】由(1)知,易知直线的斜率存在,设直线的方程为,,代入椭圆方程中,整理得,,.,且,即,又,易知:,,,解得,直线的方程为或.17.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,D为边上一点.(1)若,,求的值;(2)若,是角的平分线,且,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)设,可得,,在中应用正弦定理即可求解;(2)由余弦定理可得,根据,结合面积公式即可求解.【小问1详解】设,所以,,在中,由正弦定理得,所以,即,解得,即;【小问2详解】由余弦定理得,即,由,得,又因为,所以,所以,解得或(舍),故.18.已知,曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.(1)求a,b的值;(2)当时,求证:.【答案】(1),(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先计算交点得出,再根据导函数得出斜率结合斜率乘积计算求解;(2)应用分析法结合基本不等式得出,再化简证明,最后构造函数求导证明即可.【小问1详解】交点的横坐标为t,,即,又,将代入,得,,由,得,,若,则为无理数,,则,.小问2详解】由(1)知,,要证成立,可试证在时成立,即证上成立.设,则,当时,单调递增;当时,单调递减,在处取得最大值,即在上恒成立,原不等式成立【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造函数,再根据导函数得出函数单调性进而得出最值即可证明.19.已知函数.(1)求函数图象的对称中心;(2)设方程的两个实数根为,,求证:为常数;(3)在数列中,,,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)应用分式型函数的对称中心及平移计算求解;(2)应用解析式计算求解证明即可;(3)先
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