人教版九年级数学下册27章相似-教案

人教版九年级数学下册27章相似----教案一、教学目标1.知识与技能目标理解相似图形的概念，能识别相似图形。掌握相似多边形的性质，会根据相似多边形的性质进行简单的计算和证明。理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法和性质，并能运用这些知识解决相关的实际问题。2.过程与方法目标通过观察、比较、分析等活动，培养学生的观察能力、逻辑推理能力和类比思想。经历探索相似三角形判定方法和性质的过程，体会数学知识之间的内在联系，提高学生的探究能力。3.情感态度与价值观目标让学生在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，激发学生学习数学的兴趣。通过相似图形在实际生活中的应用，培养学生用数学眼光观察生活，用数学思维分析生活现象的意识。二、教学重难点1.教学重点相似多边形的性质及相似三角形的判定方法和性质。运用相似三角形的知识解决实际问题。2.教学难点相似三角形判定方法的证明及灵活运用相似三角形的判定和性质解决问题。三、教学方法讲授法、直观演示法、讨论法、探究法相结合四、教学过程27.1图形的相似1.导入新课展示一些生活中相似的图形，如不同尺寸的五星红旗、同型号的汽车图片等，引导学生观察这些图形之间的关系，从而引出相似图形的概念。提问：同学们，在生活中你们还见过哪些形状相同但大小可能不同的图形呢？2.探究新知相似图形的概念让学生观察教材中给出的几组图形，思考它们的形状有什么特点。教师总结：形状相同的图形叫做相似图形。强调：相似图形只与形状有关，与大小、位置无关。相似图形的性质引导学生再次观察相似图形，探究相似图形对应角、对应边的关系。通过测量、比较等活动，得出相似图形对应角相等，对应边成比例。例如，对于两个相似的三角形，它们的三个角分别相等，三条边的长度对应成比例。3.课堂练习给出一些图形，让学生判断哪些是相似图形，并说明理由。如：两个等边三角形、两个矩形、两个正方形等。答案：两个等边三角形是相似图形，因为它们形状相同，对应角都是60°，对应边成比例；两个正方形是相似图形，因为它们形状相同，对应角都是90°，对应边成比例；两个矩形不一定是相似图形，因为它们对应边不一定成比例。4.课堂小结让学生回顾相似图形的概念和性质。教师总结：相似图形是形状相同的图形，相似图形对应角相等，对应边成比例。5.布置作业教材课后练习题第1、2题。27.2相似三角形1.导入新课复习相似图形的概念和性质，提问：相似图形在三角形中是怎样体现的呢？从而引出相似三角形的课题。展示两个相似的三角形，让学生观察它们的对应角和对应边的关系。2.探究新知相似三角形的概念类比相似图形的概念，得出相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。表示方法：如果△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF，读作"△ABC相似于△DEF"。强调：相似三角形对应顶点的字母写在对应的位置上。相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。例如，若△ABC∽△DEF，且AB:DE=BC:EF=AC:DF=k，则k就是这两个相似三角形的相似比。提醒学生注意：相似比是有顺序的，若△ABC与△DEF的相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k。相似三角形的性质引导学生根据相似三角形的定义，探究相似三角形的性质。得出：相似三角形对应角相等，对应边成比例。用几何语言表示为：因为△ABC∽△DEF，所以∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB/DE=BC/EF=AC/DF。3.课堂练习已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，AB=3，DE=6，求∠D、∠E、∠F的度数及BC的长。答案：因为△ABC∽△DEF，所以∠D=∠A=50°，∠E=∠B=60°，∠F=180°50°60°=70°。又因为AB/DE=BC/EF，即3/6=BC/EF，设BC=x，则3/6=x/EF，EF=2x。4.课堂小结让学生回顾相似三角形的概念、相似比和性质。教师总结：相似三角形是对应角相等，对应边成比例的三角形，相似比是对应边的比，相似三角形具有对应角相等，对应边成比例的性质。5.布置作业教材课后练习题第3、4题。27.2.1相似三角形的判定1.导入新课复习相似三角形的概念和性质，提问：如何判断两个三角形是否相似呢？有没有简单的方法？从而引出相似三角形判定的探究。展示一些形状不同的三角形，让学生思考怎样判断它们是否相似。2.探究新知平行线分线段成比例定理教师通过多媒体展示一组平行线截两条直线的图形，引导学生观察并测量相关线段的长度。得出：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。例如，如图，若l₁∥l₂∥l₃，则AB/BC=DE/EF，AB/AC=DE/DF，BC/AC=EF/DF。强调：定理中的"对应线段"是指被平行线所截得的线段。平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。例如，在△ABC中，若DE∥BC，则AD/DB=AE/EC，AD/AB=AE/AC，DB/AB=EC/AC。相似三角形的判定定理判定定理1：三边成比例的两个三角形相似。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明：在AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC，且AD/AB=AE/AC=DE/BC。因为AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，AD=A'B'，所以AE=A'C'，DE=B'C'，所以△ADE≌△A'B'C'，所以△ABC∽△A'B'C'。判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB/A'B'=AC/A'C'，∠A=∠A'。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明：在AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC，且AD/AB=AE/AC。因为AB/A'B'=AC/A'C'，AD=A'B'，所以AE=A'C'，又因为∠A=∠A'，所以△ADE≌△A'B'C'，所以△ABC∽△A'B'C'。判定定理3：两角分别相等的两个三角形相似。已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。求证：△ABC∽△A'B'C'。证明：因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，所以∠C=∠C'。在AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B，AD=A'B'，又因为∠B=∠B'，所以∠ADE=∠B'，所以△ADE≌△A'B'C'，所以△ABC∽△A'B'C'。3.课堂练习已知在△ABC和△DEF中，AB=3，BC=4，AC=5，DE=6，EF=8，DF=10，判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。答案：因为AB/DE=3/6=1/2，BC/EF=4/8=1/2，AC/DF=5/10=1/2，所以AB/DE=BC/EF=AC/DF，根据三边成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。已知在△ABC和△A'B'C'中，AB=6，AC=4，∠A=60°，A'B'=3，A'C'=2，∠A'=60°，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由。答案：因为AB/A'B'=6/3=2，AC/A'C'=4/2=2，且∠A=∠A'=60°，所以AB/A'B'=AC/A'C'，∠A=∠A'，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ABC∽△A'B'C'。4.课堂小结让学生回顾平行线分线段成比例定理及其推论，以及相似三角形的三个判定定理。教师总结：平行线分线段成比例定理是相似三角形判定的基础，相似三角形的判定定理为我们判断两个三角形是否相似提供了有效的方法。5.布置作业教材课后练习题第58题。27.2.2相似三角形应用举例1.导入新课复习相似三角形的判定方法和性质，提问：相似三角形在生活中有哪些实际应用呢？从而引出本节课的内容。展示一些利用相似三角形解决实际问题的图片，如测量金字塔高度、河宽等，激发学生的兴趣。2.探究新知利用相似三角形测量高度例如，在测量金字塔高度的问题中，讲解如何构造相似三角形来求解。已知：在金字塔前竖一根竹竿，测量竹竿的高度为h₁，影子长度为l₁，同时测量金字塔的影子长度为l₂。求：金字塔的高度h₂。解：因为同一时刻，太阳光线是平行的，所以可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例，即h₁/h₂=l₁/l₂，所以h₂=h₁×l₂/l₁。利用相似三角形测量河宽例如，讲解如何测量河宽的方法。已知：在河的对岸选定一个目标点A，在河这边选一点B，使AB与河岸垂直，再选一点C，使BC与河岸垂直，然后在BC的延长线上选一点D，使∠ADB=∠ACB。求：河宽AB。解：因为∠ADB=∠ACB，∠B=∠B=90°，所以△ABD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例，即AB/CB=BD/AB，所以AB²=CB×BD，AB=√(CB×BD)。3.课堂练习小明想测量一棵树的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时影长为1.5m，在同时刻测量这棵树的影长时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求这棵树的高度。答案：设树高为xm。因为同一时刻物体的长度和影长成正比，所以可得(x2)/9=1/1.5，1.5(x2)=9，1.5x3=9，1.5x=12，x=8。所以这棵树的高度为8m。如图，为了测量池塘两岸A、B两点间的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=20m，∠ACB=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，测得CD=20√2m，求AB的长。答案：因为CD是∠ACB的平分线，∠ACB=90°，所以∠ACD=∠BCD=45°。又因为∠A=∠A，所以△ACD∽△ABC，所以AC/AB=AD/AC。在Rt△ACD中，AC=20m，CD=20√2m，根据勾股定理可得AD=20m。设AB=xm，则20/x=20/20，x=20。所以AB的长为20m。4.课堂小结让学生回顾利用相似三角形解决实际问题的方法和步骤。教师总结：通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质建立比例关系，从而解决实际问题中的测量高度、河宽等问题。5.布置作业教材课后练习题第911题。27.2.3相似三角形的周长与面积1.导入新课复习相似三角形的概念、判定方法和性质，提问：相似三角形的周长和面积有什么特点呢？从而引出本节课的内容。展示两个相似三角形，让学生思考它们的周长和面积之间的关系。2.探究新知相似三角形的周长比设△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，即AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k。则△ABC的周长为AB+BC+AC，△A'B'C'的周长为A'B'+B'C'+A'C'。所以△ABC的周长/△A'B'C'的周长=(AB+BC+AC)/(A'B'+B'C'+A'C')=k。得出：相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形的面积比设△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，过点A作AD⊥BC于点D，过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'。因为△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，又因为∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'。则AD/A'D'=A