二次函数与一元一次方程教案

二次函数与一元一次方程教案一、教学目标1.知识与技能目标理解二次函数与一元一次方程之间的关系。能运用二次函数的图象求一元一次方程的解。掌握通过二次函数的顶点坐标公式\((\frac{b}{2a},\frac{4acb^2}{4a})\)来分析二次函数与一元一次方程的联系。2.过程与方法目标通过观察、分析二次函数图象与\(x\)轴的交点情况，培养学生的观察能力和逻辑推理能力。经历用二次函数图象求解一元一次方程的过程，体会函数与方程相互转化的数学思想。3.情感态度与价值观目标通过探究二次函数与一元一次方程的关系，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神。让学生体会数学知识之间的内在联系，感受数学的整体性和系统性，培养学生的数学审美意识。二、教学重难点1.教学重点明确二次函数与一元一次方程的关系。会用二次函数的图象求一元一次方程的近似解。2.教学难点理解二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标就是一元一次方程的解。体会函数与方程相互转化的思想，并能灵活运用这种思想解决相关问题。三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数与一元一次方程的基本概念、关系以及解题方法。2.直观演示法：通过绘制二次函数图象，直观展示二次函数与一元一次方程的联系，帮助学生理解。3.讨论法：组织学生讨论二次函数图象与\(x\)轴交点情况，引导学生自主探究，培养学生的合作交流能力和思维能力。4.练习法：安排适量的练习题，让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.复习提问回顾二次函数的一般形式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），以及二次函数图象的性质，如对称轴公式\(x=\frac{b}{2a}\)，顶点坐标公式\((\frac{b}{2a},\frac{4acb^2}{4a})\)等。提问：一元一次方程的一般形式是什么？学生回答后，教师总结：一元一次方程的一般形式是\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)）。2.情境导入展示一个实际问题：某果园有\(100\)棵橙子树，每一棵树平均结\(600\)个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结\(5\)个橙子。问增种多少棵橙子树时，总产量最高？设增种\(x\)棵橙子树，总产量为\(y\)个。则\(y=(100+x)(6005x)=5x^2+100x+60000\)。引导学生思考：这个二次函数与我们之前学过的一元一次方程有什么关系呢？当总产量\(y\)为某一固定值时，如何求\(x\)的值呢？从而引出本节课的主题二次函数与一元一次方程。（二）探究新知（20分钟）1.二次函数与一元一次方程的关系让学生画出二次函数\(y=x^22x3\)的图象。教师巡视指导，确保学生能正确绘制图象。提问：观察图象，当\(y=0\)时，\(x\)的值是多少？学生通过观察图象可以发现，当\(y=0\)时，图象与\(x\)轴相交，交点的横坐标就是方程\(x^22x3=0\)的解。求解方程\(x^22x3=0\)，可以通过因式分解得到\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=1\)。这与从图象上观察到的结果一致。总结归纳：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象与\(x\)轴交点的横坐标就是一元一次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的解。进一步提问：那么如何通过二次函数的图象求一元一次方程的近似解呢？2.用二次函数图象求一元一次方程的近似解以方程\(x^22x3=0\)为例，再次展示二次函数\(y=x^22x3\)的图象。引导学生观察图象，当\(y\)接近\(0\)时，\(x\)的取值范围。比如，当\(y=0.5\)时，从图象上找到对应的\(x\)值。通过观察图象，发现当\(x\)约为\(2.3\)或\(0.3\)时，\(y\)接近\(0.5\)。这就是方程\(x^22x3=0.5\)的近似解，也就是一元一次方程\(x^22x2.5=0\)的近似解。总结方法：通过观察二次函数图象与直线\(y=k\)（\(k\)为常数）的交点横坐标，来确定方程\(ax^2+bx+c=k\)的近似解，也就是一元一次方程\(ax^2+bx+(ck)=0\)的近似解。（三）例题讲解（15分钟）例1：已知二次函数\(y=x^2+3x+4\)的图象如图所示。（1）求方程\(x^2+3x+4=0\)的解。（2）求当\(y=2\)时\(x\)的值。解：（1）由图象可知，二次函数\(y=x^2+3x+4\)的图象与\(x\)轴交点的横坐标为\(x_1=1\)，\(x_2=4\)。所以方程\(x^2+3x+4=0\)的解为\(x_1=1\)，\(x_2=4\)。（2）当\(y=2\)时，即\(x^2+3x+4=2\)，整理得\(x^2+3x+2=0\)。观察图象，当\(y=2\)时，图象与直线\(y=2\)的交点横坐标约为\(x_1\approx0.5\)，\(x_2\approx2.5\)。所以当\(y=2\)时，\(x\)的值约为\(0.5\)或\(2.5\)。例2：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价\(1\)元，商场平均每天可多售出\(2\)件。设每件衬衫降价\(x\)元，商场平均每天盈利\(y\)元。（1）写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式。（2）若商场平均每天要盈利\(1200\)元，则每件衬衫应降价多少元？解：（1）\(y=(40x)(20+2x)=2x^2+60x+800\)。（2）当\(y=1200\)时，即\(2x^2+60x+800=1200\)，整理得\(2x^2+60x400=0\)，两边同时除以\(2\)得\(x^230x+200=0\)。求解方程\(x^230x+200=0\)，因式分解得\((x10)(x20)=0\)，解得\(x_1=10\)，\(x_2=20\)。所以每件衬衫应降价\(10\)元或\(20\)元时，商场平均每天盈利\(1200\)元。（四）课堂练习（15分钟）1.已知二次函数\(y=2x^25x3\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点，求\(A\)、\(B\)两点的坐标，即求方程\(2x^25x3=0\)的解。2.二次函数\(y=x^2+4x3\)的图象如图所示，当\(y=1\)时，求\(x\)的值（精确到\(0.1\)）。3.某超市销售一种饮料，平均每天可售出\(100\)箱，每箱利润\(120\)元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱饮料每降价\(1\)元，每天可多售出\(2\)箱。设每箱饮料降价\(x\)元，每天销售这种饮料的利润为\(y\)元。（1）写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式。（2）要使每天销售饮料获利\(14000\)元，则每箱应降价多少元？（五）课堂小结（5分钟）1.请学生回顾本节课所学内容，包括二次函数与一元一次方程的关系，以及如何用二次函数图象求一元一次方程的解。2.教师进行总结强调：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象与\(x\)轴交点的横坐标就是一元一次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的解。通过观察二次函数图象与直线\(y=k\)（\(k\)为常数）的交点横坐标，可以确定方程\(ax^2+bx+c=k\)的近似解，也就是一元一次方程\(ax^2+bx+(ck)=0\)的近似解。在实际问题中，要善于将问题转化为二次函数与一元一次方程的关系来求解。（六）布置作业（5分钟）1.必做题已知二次函数\(y=3x^26x9\)，求方程\(3x^26x9=0\)的解，并画出函数图象，观察解与图象的关系。二次函数\(y=2x^2+5x2\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点，求\(A\)、\(B\)两点的坐标，即求方程\(2x^2+5x2=0\)的解。某工厂生产某种产品，每件产品的成本为\(30\)元，售价为\(40\)元，每天可销售\(150\)件。如果每件产品的售价每提高\(1\)元，则每天少销售\(10\)件。设每件产品的售价提高\(x\)元，每天的销售利润为\(y\)元。（1）写出\(y\)关于\(x\)的函数关系式。（2）当每天的销售利润为\(1560\)元时，每件产品的售价应定为多少元？2.选做题已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图象经过点\((1,0)\)和\((0,3)\)。（1）求二次函数的解析式。（2）当\(y=1\)时，求\(x\)的值，并说明此时方程\(x^2+bx+c=1\)的解与二次函数图象的关系。五、教学反思通过本节课的教学，学生初步理解了二次函数与一元一次方程的关系，并掌握了用二次函数图象求一元一次方程近似解的方法。在教学过程中，通过复习提问、情境导入等方