《备考指南一轮 数学》课件-第2章 第1讲

第二章第1讲[A级基础达标]1．(2019年福州期中)设n∈N，eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)与eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)的大小关系是()A．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＞eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)B．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＜eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)C．eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＝eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1)D．不能确定【答案】B【解析】因为当n∈N时，(eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1))2－(eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2))2＝eq\r(n2＋5n＋4)－eq\r(n2＋5n＋6)＜0，所以eq\r(n＋4)＋eq\r(n＋1)＜eq\r(n＋3)＋eq\r(n＋2)，即eq\r(n＋4)－eq\r(n＋3)＜eq\r(n＋2)－eq\r(n＋1).故选B．2．(2019年赤峰期中)若M＝2a2－3a＋5，N＝a2－a＋4，则M与N的大小关系为()A．M≥N B．M＞NC．M＜N D．M≤N【答案】A【解析】M－N＝2a2－3a＋5－(a2－a＋4)＝a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以M≥N.故选A．3．(2019年浙江期中)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0C．ac＞bc D．eq\f(b,a)≤eq\f(b＋c,a＋c)【答案】B【解析】由a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0.因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B．4．(2019年汉中期末)设实数a＞b＞0，c＞0，则下列不等式一定正确的是()A．0＜eq\f(a,b)＜1 B．ca＞cbC．ac－bc＜0 D．lneq\f(a,b)＞0【答案】D【解析】①因为a＞b＞0，所以eq\f(a,b)＞1，故A错误；②当c＝1时，ca＝cb，故B错误；③ac－bc＝(a－b)c＞0，故C错误；④因为a＞b＞0，所以lna＞lnb，所以lneq\f(a,b)＞0，故D正确．故选D．5．(2019年龙岩期末)a＝1.010.01，b＝ln2，c＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(\r(6),6)，则a，b，c从小到大的关系是________．【答案】c＜b＜a【解析】a＝1.010.01＞1.010＝1，eq\f(1,2)＝lneq\r(e)＜lneq\r(4)＝b＝ln2＜lne＝1，c＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(\r(6),6)＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\f(1,\r(6))＝eqlog\s\do8(\f(1,6))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))eq\s\up4(\f(1,2))＝eq\f(1,2)，所以c＜b＜a.故答案为c＜b＜a.6．已知π＜α＋β＜eq\f(5π,4)，－π＜α－β＜－eq\f(π,3)，则2α－β的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,8)))【解析】令x＝α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,4)))，y＝α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,3)))，则α＝eq\f(x＋y,2)，β＝eq\f(x－y,2).所以2α－β＝x＋y－eq\f(x－y,2)＝eq\f(x＋3y,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，\f(π,8))).7．(2020年兰州月考)如果a＞b，给出下列不等式：①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②a3＞b3；③eq\r(a2)＞eq\r(b2)；④2ac2＞2bc2；⑤eq\f(a,b)＞1；⑥a2＋b2＋1＞ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序号是________．【答案】②⑥【解析】①eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)不一定成立，例如取a＝2，b＝－1；②利用函数y＝x3在R上单调递增，可知a3＞b3，正确；③eq\r(a2)＞eq\r(b2)不一定成立，例如a＝1，b＝－2；④2ac2＞2bc2不一定成立，例如取c＝0；⑤eq\f(a,b)＞1不一定成立，例如取a＝2，b＝－1；⑥a2＋b2＋1＞ab＋a＋b化为(a－1)2＋(b－1)2＞(a－1)(b－1)，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－1－\f(1,2)b－1))2＋eq\f(3,4)(b－1)2＞0.因为b＝1时，a＞1，所以左边恒大于0，成立．综上，填②⑥.8．若实数a≠1，比较a＋2与eq\f(3,1－a)的大小．【解析】因为a＋2－eq\f(3,1－a)＝eq\f(－a2－a－1,1－a)＝eq\f(a2＋a＋1,a－1)，所以当a＞1时，a＋2＞eq\f(3,1－a)；当a＜1时，a＋2＜eq\f(3,1－a).[B级能力提升]9．(2019年株洲期中)三个数log2eq\f(1,5)，20.1,20.2的大小关系是()A．log2eq\f(1,5)＜20.1＜20.2 B．log2eq\f(1,5)＜20.2＜20.1C．20.1＜20.2＜log2eq\f(1,5) D．20.1＜log2eq\f(1,5)＜20.2【答案】A【解析】log2eq\f(1,5)＜log21＝0,20.2＞20.1＞20＝1，所以log2eq\f(1,5)＜20.1＜20.2.故选A．10．(2020年厦门月考)已知实数x，y满足logeq\f(1,2)x＞0＞logeq\f(1,2)y，则以下说法正确的是()A．eq\f(1,x2＋1)＜eq\f(1,y2＋1) B．sinx＜sinyC．eq\f(1,x－1)＞eq\f(1,y－1) D．eq\f(lnx＋1,x)＞eq\f(lny＋1,y)【答案】D【解析】因为logeq\f(1,2)x＞0＞logeq\f(1,2)y，所以0＜x＜1＜y，所以0＜x2＜1⇒1＜x2＋1＜2⇒y2＞1⇒y2＋1＞2，所以eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)，A错误．正弦函数具有周期性，所以sinx与siny不能比较，B错误．因为0＜x＜1＜y，所以－1＜x－1＜0，y－1＞0，所以eq\f(1,x－1)＜eq\f(1,y－1)，C错误．故选D．11．(2019年驻马店期末)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＜|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2.其中正确不等式的序号是()A．①② B．②③C．③④ D．①②④【答案】D【解析】若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则a＜0，b＜0，且a＞b.①a＋b＜0，ab＞0，故①正确；②a＜0，b＜0，且a＞b，显然|a|＜|b|，故②正确；③由②得a＞b，故③错误；④由于a＜0，b＜0，故eq\f(b,a)＞0，eq\f(a,b)＞0，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b时取“＝”，又a＞b，则eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2，故④正确．故选D．12．(2019年启东中学调研)已知△ABC的三边分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则eq\f(c,a)的取值范围为______．【答案】(0,2)【解析】由已知及三角形的三边关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,1＋\f(b,a)>\f(c,a)，,1＋\f(c,a)>\f(b,a)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<\f(b,a)＋\f(c,a)≤3，,－1<\f(c,a)－\f(b,a)<1，))两式相加得0＜eq\f(2c,a)＜4，所以eq\f(c,a)的取值范围为(0,2)．13．(2019年青岛模拟)设a，b为正实数，现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b＜1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b＜1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，则|a－b|＜1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①④【解析】对于①，由条件可得a＞1，b＞0，则a＋b＞1，又a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，所以a－b＜1，故①正确．对于②，令a＝2，b＝eq\f(2,3)，则eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，但a－b＝eq\f(4,3)＞1，故②错误．对于③，令a＝4，b＝1，则|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，但|a－b|＝3＞1，故③错误．对于④，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，由条件可得，a，b中至少有一个大于等于1，则a2＋ab＋b2＞1，则|a－b|＜1，故④正确．综上，真命题有①④.14．已知实数x，y满足1＜x＜2＜y＜3.(1)求xy的取值范围；(2)求x－2y的取值范围．【解析】(1)因为1＜x＜2＜y＜3，所以1＜x＜2,2＜y＜3，则2＜xy＜6，所以xy的取值范围(2,6)．(2)由(1)得1＜x＜2,2＜y＜3，则－6＜－2y＜－4.所以－5＜x－2y＜－2，所以x－2y的取值范围是(－5，－2)．[C级创新突破]15．(多选题)(2020年肥城市校级月考)下列四个选项中，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的有()A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0【答案】ABD【解析】eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)＜0⇔ab(a－b)＞0.A中，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；B中，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；C中，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；D中，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．故选ABD．16．(一题两空)(2019年兴庆区校级模拟)比较大小：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－eq\s\up4(\f(2,3))________1；②0.8－2________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))－eq\s\up4(\f(1,3)).【答案】＞＞【解析】①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))－eq\s\up4(\f(2,3))＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))0＝1，所