《备考指南一轮·数学·》课件-第4章 第3讲 第1课时

导数及其应用第四章第3讲导数的综合应用高考要求考情分析1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决某些简单的实际问题高考中将利用导数研究函数性质、极值、最值以及不等式证明、函数零点、恒成立等诸多问题结合在一起考查，注重对函数与方程、分类讨论、数形结合及转化与化归等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和核心素养的考查，难度较大栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．2.导数在综合应用中使用转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(

)A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C3．已知定义在实数集R内的函数f(x)满足f(1)＝3，且f(x)的导数f′(x)在R内恒有f′(x)<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)1．利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到“a<f(x)恒成立”，要根据f(x)的值确定a的范围中端点能否取到．2．实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释.

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(

)(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(

)(3)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(

)第1课时导数在不等式中的应用

重难突破能力提升2构造函数证明不等式【规律方法】1.证明不等式的基本方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)；②∀x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)．对于减函数有类似结论．(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．2．证明f(x)<g(x)可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式，通常能减少运算量，使得问题顺利解决．利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式【规律方法】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题．(2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立，从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．不等式恒成立或有解问题【规律方法】(1)破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围．(2)利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围．【规律方法】(1)含参数的能成立(存在型)问题的解题方法①a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；②a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.(2)含全称、存在量词不等式能成立问题①存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；②任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】利用导数研究函数的极值和最值、解决不等式问题．【考查目的】考查运算求解和推理论证能力，体现数学运算和逻辑推理的核心素养．【思路导引】(1)对函数求导，分类讨论根据函数有唯一极小值点的条件，求出实数a的范围；(2)对所要证明的式子进行变形，构造函数，利用导数研究新构造函数的单调性进而可证．【拓展延伸】恒(能)成立问题的转化策略若f(x)在区间D上有最值，则(1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；∀x∈