《备考指南一轮·数学·》课件-第3章 第8讲

函数第三章第8讲函数与方程高考要求考情分析1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解高考中，主要考查函数零点的区间和零点个数的判断以及利用零点的特征求参数的取值范围，难度较大，考查逻辑推理和直观想象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(x)＝0x轴零点f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝02.二次函数图象与零点的关系(x1,0)，(x2,0)(x1,0)2103.二分法对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)·f(b)<0一分为二零点【答案】B【解析】由所给的函数值的表格可以看出x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)在(2,3)内有零点．2．(教材习题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3【答案】B3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(

)A．y＝cosx

B．y＝sinxC．y＝lnx

D．y＝x2＋1【答案】A4．(2019年西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围是________．【答案】[5,10)【解析】令f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1,2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.所以方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围是[5,10)．5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(

)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

)(5)若函数f(x)在[a，b]内单调，图象连续不断且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

(5)√重难突破能力提升2函数零点的确定与求解【考向分析】求解函数零点的个数及零点存在的区间的确定是高考的热点问题，常常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、数形结合思想的应用，题型以选择题、填空题为主．常见的考向：(1)函数零点所在的区间；(2)函数零点个数的判断；(3)求函数的零点．【解析】方法一(利用零点存在性定理)：因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln2－1<0，f(3)＝ln3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2,3)上．故选C．方法二(数形结合)：函数f(x)＝x＋lnx－3的零点所在区间转化为g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．作出h(x)和g(x)的图象如图所示，可知f(x)的零点在(2,3)内．【解析】f(x)＝lgx－sinx的零点个数，即函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数．画出两函数的图象如图所示，由图可知函数y＝lgx的图象和函数y＝sinx的图象的交点个数为3.故选C．【规律方法】(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．函数零点的应用【规律方法】(1)解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可．破解此类题的关键点：①转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；②列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；③下结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围．(2)已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：①构造方程或函数(反解参数)；②利用零点区间，求解函数的值域或不等式；③确定参数范围．二次函数的零点问题【规律方法】解决与二次函数有关的零点问题：(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．【跟踪训练】2．已知函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5＋a，a∈R.(1)若方程f(x)＝0有一正根和一个负根，求a的取值范围；(2)当x＞－1时，不等式f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年杭州模拟)设x1，x2分别是函数f(x)＝xax－1和g(x)＝xlogax－1的零点(其中a＞1)，则x1＋2x2的取值范围是(

)A．[2，＋∞)

B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)

D．(3，＋∞)【考查角度】函数零点与函数图象的关系，涉及函数单调性等知识点．【考查目的】考查应用意识，体现直观想象和数学抽象的核心素养．【拓展延伸】1．函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．2．判断函数零点个数的方法(1)直接求零点；(2)零点的存在性定理；(3)