《备考指南一轮·数学·》课件-第9章 第3讲

平面解析几何第九章第3讲圆的方程高考要求考情分析1.掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程单独考查圆的情况很少，一般与圆锥曲线结合考查，考查数学抽象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．圆的定义和圆的方程D2＋E2－4F＞0

2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)d＞r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在____________；(2)d＝r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在____________；(3)d＜r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在____________．圆外圆上圆内[特别提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：(1)当F＝0时，圆过原点．(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．1．(2019年绍兴学业考试)圆x2＋(y－2)2＝9的半径是(

)A．3

B．2

C．9

D．6【答案】A

【解析】圆x2＋(y－2)2＝9的半径为3.故选A．2．(2019年惠州学业考试模拟)已知圆C与y轴相切于点(0,5)，半径为5，则圆C的标准方程是(

)A．(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25【答案】D

【解析】由题意得圆C的圆心为(5,5)或(－5，5)，故圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.故选D．3．(2019年安徽期末)以A(－2,1)，B(1,5)为半径两端点的圆的方程是(

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝25B．(x－1)2＋(y－5)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25或(x－1)2＋(y－5)2＝25D．(x＋2)2＋(y－1)2＝5或(x－1)2＋(y－5)2＝5【答案】C

4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________________．【答案】(x－2)2＋y2＝105．(2019年哈尔滨三模)过点A(－3,2)，B(－5，－2)，且圆心在直线3x－2y＋4＝0上的圆的半径为____________．1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√重难突破能力提升2圆的方程【答案】(1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2

(2)D【规律方法】(1)方程选择原则：求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程．(2)求圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤如下：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．【跟踪训练】1．(1)已知直线kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒过圆C的圆心，且圆C的半径为2，则圆C的方程是______________．(2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为____________________．【答案】(1)(x＋2)2＋(y＋1)2＝4(2)(x－1)2＋y2＝4【解析】(1)由题意得，直线kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒过C(－2，－1)，且圆C的半径为2，所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.与圆有关的最值问题或者范围问题【考向分析】与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的考向：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题；(4)利用对称性求最值．【答案】A

与圆有关的轨迹问题

已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点的坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【规律方法】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【跟踪训练】2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP(O为坐标原点)，求点P的轨迹．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】点与圆的位置关系与圆与直线的位置关系式的应用．【考查目的】主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，体现数学运算的核心素养．【思路导引】直接利用中点坐标公式的应用和中点的关系式的应用求出结果．【答案】B【拓展延伸】

常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简便运算．(1)圆