《备考指南一轮·数学·》课件-第3章 第2讲

函数第三章第2讲函数的单调性与最值高考要求考情分析1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性函数单调性在历年考试中经久不衰，在高考中比例会有上升趋势，主要考查函数单调性的判断、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题，以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现，考查直观想象和数学抽象的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.函数的单调性(1)单调函数的定义：f(x1)<f(x2)增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)

上升下降增函数减函数区间D

2.函数的最值f(x)≤M

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意的x∈I，都有________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.对于任意的x∈I，都有________；存在x0∈I，使得f(x0)＝M.结论M为最大值M为最小值f(x)≥M

2．(2019年石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是(

)A．f(m)>f(1)

B．f(m)<f(1)C．f(m)≥f(1)

D．f(m)≤f(1)【答案】A【解析】因为f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则m－1>0，所以m>1，所以f(m)>f(1)．4．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．【答案】(－∞，0)

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．(

)(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．(

)(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)内是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(

)重难突破能力提升2确定函数的单调性(区间)【答案】(1)D

(2)见解析【规律方法】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接．(2)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(3)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．求函数的(值域)最值【规律方法】求函数值域或最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．【答案】(1)A

(2)16函数单调性的应用【考向分析】函数单调性结合函数图象以及函数其他性质的应用是近几年高考命题的热点．试题常以选择题、填空题的形式出现，考查比较函数值大小、求最值、解含“f

”符号的不等式等问题，试题难度中档．常见的命题方向：(1)比较大小；(2)解不等式；(3)求参数范围．【规律方法】函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小时，应将自变量转化到同一个单调区间内进行比较．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f

”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】减函数的定义，一次函数、二次函数的单调性，分段函数的单调性的判断．【考查目的】考查应用意识和运算求解能力，体现数学运算的核心素养．【拓展延伸】1．函数单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接.2．函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰(单谷)”函数一定存在最大值(最小值).3．函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．(4)图象法：利用图象研究函数的单调性.

【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)

D．(4，＋∞)【答案】D【解析】由x2－2x－8＞0得x∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令t＝x2－2x－8，则y＝lnt，x∈(－∞，－2)时，t＝