《备考指南一轮·数学·》课件-第3章 第9讲

函数第三章第9讲函数模型及其应用高考要求考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等模型)在社会生活中的广泛应用函数的实际应用问题，常常以选择题、填空题的形式出现，如果出现在解答题中，便是和导数结合在一起考查，考查数学建模和数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型：(2)三种函数模型的性质：递增函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)内的增减性单调______单调______单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与______平行随x的增大逐渐表现为与______平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax递增y轴x轴2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：1．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：则对x，y最适合的拟合函数是(

)A．y＝2x

B．y＝x2－1C．y＝2x－2

D．y＝log2x【答案】Dx0.500.992.013.98y－0.990.010.982.002．下所示是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(

)3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，每月的进货在当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．【答案】64．(2019年枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．【答案】4.24【解析】因为m＝6.5，所以[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．(4)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)的增长速度．(

)(5)指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)的增长速度越来越快．(

)(6)指数函数模型，一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题．(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×

(6)√重难突破能力提升2一次函数、二次函数模型

据气象中心观察和预测：发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位：km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；【规律方法】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略：(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大者(最小者)．【跟踪训练】1．(2020年商丘二中检测)如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．【跟踪训练】2．某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？指数函数、对数函数模型的应用(2)(2019年唐山模拟)某人计划购买一辆轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．【答案】(1)C

(2)4

【解析】(1)由题意知，lgA－lg0.001＝4，即lgA＝1，解得A＝10.故选C．(2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.0634>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．【规律方法】掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．“绿水青山就是金山银山”的环境保护理念已经逐渐深入到老百姓的意识中，保护环境，人人有责，各化工厂对污水的处理也加大了投入．某化工厂每一天中污水污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0,1)．规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a的取值范围为________．【考查角度】利用函数模型解决实际问题．【考查目的】考查应用意识和转化能力，体现了数学建模的核心素养．【思路导引】根据题目提供的数学模型，利用换元法将原函数关系式转化为一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解．【拓展延伸】1．实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．【真题链接】

1．(2016年四川)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(

)(参考数据：lg1.12≈0.05