等可能性事件的概率和数学归纳法教案

课题:等可能性事件的概率

教材：人民教育出版社的全日制普通高级中学教科书（试验修订本.必修）《数学》第二册（下

B）第十一章概率第一节（第二课时）

授课教师：安徽省无为第一中学徐朴

教学目标；

（1）知识与技能目标：了解等可能性事件的概率的意义，初步运用排列、组合的公式

和枚举法计算一些等可能性事件的概率。（2）过程和方法目标：通过学习、生活中的实际

问题的引入，让数学走进生活将生活问题由对具体事例的感性认识上升到对定义的理性认

识，可培养学生的梳理归纳能力；通过归纳定义后再加以应用可培养学生的信息迁移和类

比推理能力；通过计算等可能性事件的概率，提高综合运用排列、组合知识的能力和分析

问题、解决问题的能力。⑶情感与态度目标：营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学；随

机事件的发生既有随机性，又有规律性，使学生了解偶然性寓于必然性之中的辩证思想；

引导学生树立科学的人生观和价值观，培养学生的综合素质。

教学重点：

等可能性事件的概率的意义及其求法。

教学难点：

等号能性事件概率计算公式的重要前提：每个结果出现的可能性必须相同。

教学方法：

启发式探索法

教学手段：

计算机辅助教学、实物展示台

教具准备：

转盘一个

教学过程：

附：课前兴趣阅读：

生活中的数学

1、你做过这样的调查吗？我们班在座的同学中至少有两位同学在同一天生日的可能性

多大？

2、无为一中进行演讲比赛，参赛选手的演讲顺序通过抽签决定，抽签时有先有后，你

认为公平吗？

同学们，要想解决上面的问题，就让我们继续学习概率吧！

一、复习旧知：

抛掷一枚均匀硬币，

（1）出现正面向上；（2）出现正面向上或反面向上；（3）出现正面向上且反面向上.

各是什么事件？概率分别是多少？（学生回答）（1）随机事件，概率是1/2

（2）必然事件，概率是1

（3）不可能事件，概率是0

二、设置情境，引入新课：

同学们，你们参加过商场抽奖吗？

我们美丽的无为的大商场即将在五一黄金周进行有奖销售活动（拿出转盘，一面是

把转盘均匀6份，一面是不均匀的6份）

出示不均匀的一面

情境一：

无为商之都五一黄金周进行有奖销售活动，购满200元可进行一次摇奖，奖品如下:

1：电冰箱一台2：可口可乐一听3：色拉油250ml

4:谢谢光顾5：洗衣粉一袋6：光明酸奶500ml

你希望抽到什么？抽到电冰箱的可能性与抽到洗衣粉一袋相同吗？

出示均分6份一面

情境二：

无为百货大楼五一黄金周进行有奖销售活动，购满200元可进行一次摇奖，奖品如

下：

1：雪碧250ml一听2：可口可乐一听3：洗衣粉一袋

4:光明酸奶125ml5：康师傅方便面一盒

6：娃哈哈矿泉水一瓶

现在你觉得抽到可口可乐一听与洗衣粉一袋的可能性相同吗？抽到1的可能性是

多少呢？你是怎么的到的呢？

求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；那么能否不进行大量重

复试验，只通过一次试验中可能出现的结果求出其概率呢？

这就是今天我们要学习的等可能性事件的概率（板书课题）

三、逐层探索，构建新知：

问题1：掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有几种？

它们的概率分别为多少？

正面向上反面向上

1/21/2

问题2：在情境2摇奖中，指针指向的数字可能有几种？它们的概率分别为多少？

123456

1/61/61/61/61/61/6

这里是怎么得到概率的值的？

引导发现：

1、分析一次试验可能出现的结果n个

2、每个结果出现的可能性是相同的

（演示转盘的两面帮助学生理解每个结果出现的可能性是相同的这一前提）

问题3：在问题2中指针指向的数字是3的倍数的概率为多少呢？是偶数的概率是

多少？(学生回答)

1/21/3

(强调等可能性)

引入公式：

基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

如果一次试验由n个基本事件组成，而且所有的基本事件出现的可能性都相等，那么每一

个基本事件的概率都是l/n。

等可能性事件的概率：

如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率

P(A)=m/n

在一次试验中，等可能出现的n个结果组成一个集合I,

包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的

Card(A)

P(A)=---------------=m/n

Card(I)

跟踪练习：1、请同学们自己设计一个有关求等可能性事件的问题。2.先后抛掷2枚均匀

的硬币

(1)一共可能出现多少种不同的结果？

(2)出现“1枚正面、1枚反面”的结果有多少种。

(3)出现“1枚正面、1枚反面”的概率有多少种。

(4)出现“1枚正面、1面反面”的概率是1/3,对吗？

四、师生共做，循环上升：

例1、一个口袋内装有大小相等的1个白色和已编有

不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。

(1)共有多少种不同的结果？

(2)摸出2个黑球有多少种不同的结果？

(3)摸出2个黑球的概率是多少？

(学生举手回答或个别提问，注意从组合知识和集合两个角度分析求解)

「白黑1白黑2白黑3

V黑2黑2黑底

［黑

例题2：将骰子先高丽，次Fk

(1)一共有多少种不同的结果？

(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种？

(3)向上的数之和是5的概率是多少？

解：(1)将骰子抛掷1次，它落地时向上的数有1,2,3,4,

5,6这6种结果。根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，

一共有

6X6=36

种不同的结果。

答：先后抛掷骰子2次，一共有36种不同的结果。

(2)在上面所有结果中，向上的数之和是5的结果有

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)

4种，其中每一括号内的前后两个数分别为第1、2次抛掷后向上

的数。上面的结果可用下图表示

答：在2次抛掷中，向上的数之和为5的结果有4种

(3)由于骰子是均匀的，将它抛掷2次的所有36种结果是等可

能出现的。其中向上的数之和是5的结果(记为事件A)有4种，因此

所求的概率

第6789101112

二

567891011

次

抛45678910

掷

3456789

后

向2345678

上

1234567

的

数123456

第一次抛掷后向上的数

4]_

9

答：抛掷骰子次,向上的数之和为5的概率是1/9

变式练习：

在例2中，向上的数之积为6的概率是多少？

模拟预案：

小明说，抛掷两枚骰子，向上一面数字之和最小为2,最大为12,共有11种不同的结

果，则向上一面的数字之和为5的概率是1/11,对吗？为什么？

五.课堂小结：通过这节课的学习，同学们能不能归纳梳理本节课的主要内容？(学生

自主小结)

1、等件可能性事件的特征：

a、一次试验中有可能出现的结果是有限的；

b、每一结果出现的可能性相等。

2、求等可能性事件概率的步骤：

(1)审清题意，判断本试验是否为等可能性事件.

(2)计算所有基本事件的总结果数〃

(3)计算事件A所包含的结果数牝

(4)计算P(A)=m/n

六.课后作业：

1、必做题：P132习题11.12,3

2、选做题：P132习题11.18

结束语：同学们，上课之前大家看到了概率在生活中的应用，譬如，一年365天计算,

我们班某一位同学在今天过生日的概率是多少？根据等可能性事件的概率计算应该是

1/365,那么某两位同学在今天生日的概率是多少？我们班至少有两位同学在今天生日的概

率又是多少？等等问题，大家想不想知道，这些问题有待于我们以后进一步概率的学习。

七、说明：

为了贯彻新课程理念，这次评比我选取的内容是人教版高中数学第二册(下B)第十

一章概率中的一节《等可能性事件的概率》，概率是新课程改革新增内容，与社会生活密切

相关，在生产生活中应用及其广泛，符合新课程理念倡导的教育观。

本节课在数学教材的选取上，力求贴近生活实际，如抽奖，摸球游戏等，并且就地取

材，创设学生熟悉的感兴趣的问题情境，使学生能在轻松、愉快的教学情境中学习有用的

数学，同时也能运用数学知识来分析问题和解决问题。

教案的设计“以人为本，以学定教”，教师始终扮演的是组织者、引导者、参与者的角

色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学的课堂”，学生成为课堂学习真正的主人。

通过布置分层练习，面对全体学生，使不同的人在数学上有不同的发展，让不同的学

生在数学学习上都能成功；倡导合作式学习，通过学生小组合作设计问题、小组交流解决

问题的方式，提高学生合作学习、主动探究的能力，而且大大促进了学生对知识的理解和

灵活运用。

本节内容是随机性的思维方法，学生的辨证思维不成熟，可能存在理解不到位的现

象，反思这一点，如何加以改进，这是在后续教学中需要思考的问题。

第三届全国高中青年数学教师优秀课评选

课题：数学归纳法及其应用举例

人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修H)第二章第一节

安徽师大附中吴中才

【教学目标】

1.使学生了解归纳法，理解数学归纳的原理与实质.

2.掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题.

3.培养学生观察，分析，论证的能力，进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学

生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想.

4.努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和

课堂效率.

5.通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明)，激发学生的学习热

情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神.

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析

【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解

【教学方法】类比启发探究式教学方法

【教学手段】多媒体辅助课堂教学

【教学程序】

第一阶段：输入阶段一一创造学习情境，提供学习内容

1.创设问题情境，启动学生思维

(1)不完全归纳法引例：

明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿

子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推

出的结论显然是错误的.

(2)完全归纳法对比引例：

有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮，看看

每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完

了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几

个一仁、两仁的，总共不过一把花生.显然，二徒弟先给出答案，他比大徒弟聪明.

在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累

的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.

2.回顾数学旧知，追溯归纳意识

(从生活走向数学，与学生一起回顾以前学过的数学知识，进一步体会归纳意识，同

时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳.)

(1)不完全归纳法实例：给出等差数列前四项，写出该数列的通项公式.

(2)完全归纳法实例：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况.

3.借助数学史料，促使学生思辨

(在生活引例与学过的数学知识的基础上，再引导学生看数学史料，能够让学生多方

位多角度体会归纳法，感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨：在数学中运用

不完全归纳法常常会得到错误的结论，不管是我们还是数学大家都可能如此.那么，有没

有更好的归纳法呢？)

问题1已知。,,=(〃2-5"+5)2(w6N),

a

(1)分别求q;a2；%；4-

(2)由此你能得到一个什么结论？这个结论正确吗？

(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦

指出：思维都是在概括中完成的.心理学认为“迁移就是概括“，这里知识、技能、思维方

法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程.)

问题2费马是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当〃GN时，22'+1-

定都是质数，这是他对〃=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来，18世纪伟大的瑞士科

学家欧拉(Eider)却证明了2a+1=4294967297=6700417x641,从而否定了费马的推

测.没想到当〃=5这一结论便不成立.

问题3/(〃)=+〃+41,当〃WN时，/(〃)是否都为质数？

验证：/(0)=41,/(I)=43,/(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,/(5)=71,

/(6)=83,/(7)=97,/(8)=113,/(9)=131,/(10)=151,/(39)=1601.但

是/(40)=1681=4/,是合数.

第二阶段：新旧知识相互作用阶段——新旧知识作用，搭建新知结构

4.搜索生活实例，激发学习兴趣

(在第一阶段的基础上，由生活实例出发，与学生一起解析归纳原理，揭示递推过程.孔

子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着

良好的情感体验.)

实例：播放多米诺骨牌录像

关键：(1)第一张牌被推倒；(2)假如某一张牌倒下，则它的后一张牌必定倒下.于

是，我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下.

搜索：再举几则生活事例：推倒自行车，早操排队对齐等.

5.类比数学问题，激起思维浪花

类比多米诺骨牌过程，证明等差数列通项公式%=4+(〃-l)d：

(1)当〃=1时等式成立；(2)假设当n=k时等式成立，即%=%+(«—l)d,则

%+1=4+d=q+即〃=左+1时等式也成立.于是，我们可以下结论：等差

数列的通项公式%=%+(〃-1)"对任何N*都成立.

(布鲁纳的发现学习理论认为，“有指导的发现学习”强调知识发生发展过程.这里通

过类比多米诺骨牌过程，让学生发现数学归纳法的雏形，是一种再创造的发现性学习.)

6.引导学生概括，形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1)证明当“取第一个值%时结论正确；

(2)假设当k>n0)时结论正确，证明当〃=%+1时结论也正确.

完成这两个步骤后，就可以断定命题对从〃。开始的所有正整数〃都正确.

这种证明方法叫做数学归纳法.

第三阶段：操作阶段——巩固认知结构，充实认知过程

7.蕴含猜想证明，培养研究意识

(本例要求学生先猜想后证明，既能巩固归纳法和数学归纳法，也能教给学生做数学

的方法，培养学生独立研究数学问题的意识和能力.)

例题在数列｛4｝中，3=1,用=，^(〃GN*),先计算出，%，4的值，再推测通

项乙的公式，最后证明你的结论.

8.基础反馈练习，巩固方法应用

(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多，套用数学归纳法的证明步骤不难解答,

因此我把它作为练习，这样既考虑到学生的能力水平，也不冲淡本节课的重点.练习第3

题恰好是等比数列通项公式的证明，与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学

生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)

(1)(第63页例1)用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2M-1)=/.

(2)(第64页练习3)首项是q,公比是q的等比数列的通项公式是%

9.师生共同小结，完成概括提升

(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；

(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两

种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数

学归纳法属于完全归纳法；

(3)数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：

两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；

(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、

辩证唯物主义思想.

10.布置课后作业，巩固延伸铺垫

(1)课本第64页练习第1,2题；第67页习题2.1第2题.

(2)在数学归纳法证明的第二步中，证明〃=hH时命题成立，必须要用到〃=左时命题

成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考：

用数学归纳法证明：1+2+22+2?+…+2"T=2"-1(〃@N*)时，其中第二步采用下面

的证法：

设〃=左时等式成立，即1+2+2?+23+…+2«T=2«-1,则当〃=人+1时，

1_/+】

zi+,

1+2+2?+23+…+2*T+2*==2-1.

1-2

你认为上面的证明正确吗？为什么？

【教学设计说明】

1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作

步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,

技能的操练.为此，我设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对

归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不

仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好

的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的

重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.

2.在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加

强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引

导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的，本节课按照思维次序编排了一系列问题，

让学生投入到思维活动中来，把本节课的研究内容置于问题之中，在逐渐展开中，引导学

生用已学的知识、方法予以解决，并获得知识体系的更新与拓展.

3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可.理解数学归纳

法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明〃=左+1命题成立时必须要用到"=A时命

题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数

学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.

课题：函数的单调性

教材：人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)

授课教师：北京景山学校许云尧

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、

证明函数单调性的方法.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、

抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让

学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明.

【教学难点】根据定义证明函数的单调性.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【教学手段】计算机、投影仪.

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年

每年这一天的天气情况，下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线

图.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.

问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对

我们的生活是很有帮助的.

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.

归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还

是变小.

K设计意图》由生活情境引入新课，激发兴趣.

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性,

同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任

务首先就是建立函数单调性的严格定义.

1.借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数y=x+2,_y=-x+2,y=x2,y=JL的图象，并且观察自变量变化

X

时，函数值的变化规律？

的增大而减小.

(2)函数丁=》2,在［0,+8)上歹随X的增大而增大，在(-8,0)上》随X的增大而减小.

(3)函数y=工，在(0,+8)上y随x的增大而减小，在(-8,0)上》随x的增大而减小.

X

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个

区间而言的，是函数的局部性质.

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数吗？

预案：如果函数/(x)在某个区间上随自变量x的增大，P也越来越大，我们说函数“X)

在该区间上为增函数；如果函数/(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们

说函数/(X)在该区间上为减函数.

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.

(设计意图』从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识.

2.抽象思维，形成概念

问题1：如图是函数

个函数分别在哪个区间为增

学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，

需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

K设计意图》使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题2：如何从解析式的角度说明/(x)=/在［0,+8)上为增函数？

预案：(1)在给定区间内取两个数，例如2和3,因为22<32,所以/(x)=/在0+8)

上为增函数.

(2)仿(1),取多组数值验证均满足，所以/(x)=，在［0,+8)为增函数.

(3)任取项,彳2G［0,+8),且X1<刀2,因为X；=(X|+》2)(X［-％2)<0,即X；<，所以

/(X)=工2在［0,4-00)上为增函数.

对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问

题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量X”X2.

K设计意图』把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认

识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好铺垫.

问题3：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.

(1)板书定义

(2)巩固概念

判断题：

①已知r(x)=L因为/'(—1)</(2),所以函数/(x)是增函数.

X

②若函数/(x)满足/\2)</(3),则函数/Xx)在区间［2,3］上为增函数.

③若函数/(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数/(x)在区间(1,3)上为增函数.

④因为函数/(X)=L在区间(-00,0)和(0,+8)上都是减函数，所以/(》)=」在

XX

(~°0,0)U(0,+°°)上是减函数.

通过判断题，强调三点:

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调

（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）.

③函数在定义域内的两个区间48上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在NU6

上是增（或减）函数.

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？

（设计意图X让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断

题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

三、掌握证法，适当延展

例1证明函数/（x）=x+2在（正,一）上是增函数.

X

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.

证明：任取X],%€（后,+8）,且X1<七，设元

22

/（王）一/（》2）=（为+—）-（》2+一）求差

项

=（x,-x2）+（--—）变形

X]x2

/.2(X-x.)

=(再—U)+A2—-

X/2

(X,-X2)(l---)

项》2

=区_4卢7

X]X2

*/V2<xt<x2,断号

x]-x2<0,XjX2>2,

/gvo,即/3）</（匕），

二函数/（X）=X+2在（行,+8）上是增函数.定论

X

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

练习:证明函数/（x）=正在［0,+8）上是增函数.

问题：除了用定义外，如果证得对任意的/,马€（。乃），且匹，有"上9>0,

x2-x}

能断定函数/,（X）在区间（。力）上是增函数吗？

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数

/（X）=正在0+OO）上是增函数.

（设计意图』初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.了解等价形式进一步

发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共

同完成小结.

1.小结

（1）概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

（2）证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

（3）数学思想方法：数形结合.

2.作业

书面作业：课本第60页习题2.3第4,5,6题.

课后探究：研究函数、=i+工。>0）的单调性.

X

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一

个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据.

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）用准确的数学符号语言刻画

图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难

的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方

面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重

点和难点.

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不

同的方面确定了教学目标.重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、

证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能

力的培养和良好思维习惯的养成.

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过

创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和

计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：

（1）在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认

知过程，完成对函数单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入.

（2）在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性

的方法和步骤.

（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延

展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

课题：正弦函数、余弦函数的图象和性质（五）一一正弦函数图象的对称性

教材：人教版全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（下）

授课教师：北京市第十九中学檀晋轩

【教学目标】

1.使学生掌握正弦函数图象的对称性及其代数表示形式，理解诱导公式

sin（%一x）=sinx（xeR）与sin（2乃一x）=-sinx（xeR）的几何意义，体会正弦函数的对

称性.

2.在探究过程中渗透由具体到抽象，由特殊到一般以及数形结合的思想方法，提高学

生观察、分析、抽象概括的能力.

3.通过具体的探究活动，培养学生主动利用信息技术研究并解决数学问题的能力，增

强学生之间合作与交流的意识.

【教学重点】

正弦函数图象的对称性及其代数表示形式.

【教学难点】

用等式表示正弦函数图象关于直线x='对称和关于点（不⑼对称.

【教学方法】

教师启发引导与学生自主探究相结合.

【教学手段】

计算机、图形计算器（学生人手一台）.

【教学过程】

一、复习引入

1.展示生活实例

对称在自然界中有着丰富多彩的显现，各种对称图案、对称符号也都十分普遍（见

下图）.

初中我们已经学习过轴对称图形和中心对称图形的有关概念:

轴对称图形一一将图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合;

中心对称图形一一将图形绕一个点旋转180°,所得图形与原图形重合.

3.作图观察

请同学们用图形计算器画出正弦函数的图象

图），仔细观察正弦曲线是否是对称图形？是轴对

还是中心对称图形？

4.猜想图形性质

经过简单交流后，能够发现正弦曲线既是轴对

也是中心对称图形，并能够猜想出一部分对称轴和

心.（教师点评并板书）

如何检验猜想是否正确？

我们知道，诱导公式sin（-x）=-sinx（xeR）,刻画了正弦曲线关于原点对称,而

cos（-x）=cosx（xeR）,刻画了余弦曲线关于y轴对称.从这两个特殊的例子中我们得到

一些启发，如果我们能够用代数式表示所发现的对称性，就可以从代数上进行严格证明.

今天我们利用图形计算器来研究正弦函数图象的对称性.（板书课题）

二、探究新知

分为两个阶段，第一阶段师生共同探讨正弦曲线的轴对称性质，第二阶段学生自主

探索正弦曲线的中心对称性质.

（-）对于正弦曲线轴对称性的研究

第一阶段，实例分析一一对正弦曲线关于直线》=代对称的研究.

2

1.直观探索一一利用图形计算器的绘图功能进行探索

请同学们在同一坐标系中画出正弦曲线和直线X=—

2

的图象，选择恰当窗口并充分利用画图功能对问题进行探索

研究（见右图），在直线x=四两侧正弦函数值有什么变化规

2

律？

给学生一定的时间操作、观察、归纳、交流，最后得出

猜想：当自变量在x=&左右对称取值时，正弦函数值相

2

从直观上得到的猜想，需要从数值上进一步精确检验.

2.数值检验一一利用图形计算器的计算功能进行探索

请同学们思考，对于上述猜想如何取值进行检验呢？

教师组织学生通过合作的方式，对称地在xg左右自主选取适当的自变量，并计算函

数值,对结果进行列表比较归纳.同时为没有思路的学生准备参考表格如下:

・・・7V71.兀.「71c…

X21515+05—+1---F1.5—+2

f-I--I-f-°-?-222

・・・

sinx・・・

给学生一定的时间进行思考、操作，根据情况进行指导并组织学生进行交流，然后请

一组学生说明他们的研究过程.学生可以采用不同的数据采集方法，得到的结果如下列图表

（表格中函数值精确到0.001）：

WEditT-FactGraph♦

代肛H髭二I函i国康二1

yl=sin<x)

x__yl__

-1.929-0.936

-1.429-8.989

-0.929-0.801

-0.429-9.416

0.07070.0707

0.57070.5403

1.07079.8775

1.5707HH

2.07070.8775

2.57070.5403

3.07070.0707

3.5707-9.416

4.0707-0.801

4.5707-9.989

5.0707-0.936

5.5707-0.653

11

兀TC八_兀1711厂

X•・・--2--1.5--1--0.5---F0.5—4-1---F1.5-+2・・・

2222~22222

sinx・・・-0.4160.0710.5400.87810.8780.5400.071-0.416・・・

上述计算结果，初步检验了猜想，并可以把猜想用等式sin《7)=sin《+x)(xeR)

表示.

请同学们利用前面得到的数据，用图形计算器描点画图(见下图)，然后进行观察比较,

思考点P(2-xj)和P'(?+xj)在平面直角坐标系中有怎样的位置关系？

WEditZoomAnalysis♦*EditZoomAnalysis♦WEditZoomAnalysis♦

:闰‘朗IEH园函]鹫菖D

根据画图结果，可以看出，点P(、-xj)和尸'(、+XJ)关于直线x=5对称.这样，

正弦曲线关于直线x=5对称，可以用等式sin(2-x)=sin(]+x)(xeR)表示.

这样的计算是有限的，并受到精确度的影响，还需要对等式进行严格证明.

3.严格证明——证明等式sin(y-x)=sin(y+x)对任意xeR恒成立

请同学们思考，证明等式的基本方法有哪些？所要证的等式左右两端有何特征？有可

能选用什么样的公式？

预案一：根据诱导公式sin(%-a)=sina,有sin《-x)=sin[万一弓+x)]=sin《+x).

预案二:根据公式sin咚一x)=cosx和sin《+x)=cosx,有sin'-x)=sin(殳+x).

预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，无

论a取任何实数，角生-a和弓+a的终边总是关于y轴对称

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(见右图)，他们的正弦值恒相等.

这样我们就证明了等式sin(y—x)=sin咚+X)对任意

xeR恒成立，也就证明了正弦曲线关于直线》=匹对称.

2

事实上，诱导公式sin(%-x)=sinx也可以由等式sine-x)=sin咚+x)推出，即这两个

等式是等价的.因此，正弦曲线关于直线x=生对称，是诱导公式sin(%-x)=sinx(xeR)

2

的几何意义.

阶段小结：我们从几何直观获得启发，又通过数据计算进一步检验，得出正弦曲线关于

直线x对称可以用等式sin('-x)=sin(5+x)(xeR)表示，通过对这一等式的严格证

明，证实了我们猜想的正确性.上述等式与诱导公式sin(〃-x)=sinx(xeR)的等价性，

使我们对这一诱导公式有了新的理解.

第二阶段，抽象概括一一探索正弦曲线的其他对称轴.

师生、生生交流，步步深入.

问题一：正弦曲线还有其他对称轴吗？有多少条对称轴？对称轴方程形式有什么特

点？

可以发现，经过图象最大值点和最小值点且垂直于x轴的直线都是正弦曲线的对称轴

(教师利用课件演示)，则对称轴方程的一般形式为：X=-+k7T(左€Z).

2

问题二：能用等式表示“正弦曲线关于直线x=&+左〃(左eZ)对称”吗？

2

根据前面的研究，上述对称可以用等式sing+左左-x)=sing+A7T+x)(左eZ,xeR)

表示.

请学生证明上述等式，然后组织学生交流证明思路.

「jrjrrr

证明预案：sin(y-\-kn-x)=sinpr一(万一%乃+x)]=sin(j•-•丘万+x)

乃7C

-sin[2上4+(--k7T+x)]=sin(y+左乃+x).

(二)对于正弦曲线中心对称性的研究

我们已经知道正弦函数歹=sinx(xeR)是奇函数，即sin(-x)=-sinx(xeR),反映

在图象上，正弦曲线关于原点对称.那么，正弦曲线还有其他对称中心吗？请同学们参照轴

对称的研究方法，小组合作进行研究.

第一阶段，对正弦曲线关于点(4,0)对称的研究.

1.直观探索一一从图象上探索在点(匹0)两侧的函数值的变化规律.

2.数值检验一一在x=〃左右对称地选取一组自变量，计算函数值并列表整理.

3.严格证明--证明等式sin(%-x)=-sin(%+x)对任意xeR恒成立.

预案一：根据诱导公式sin(2%-a)=-sina,有sin(%-x)=sin[2%-(〃+x)]

=-sin(%+x).

预案二：根据诱导公式sin(〃-x)=sinx和sin(〃+x)=-sinx，有

sin(%-x)=-sin(〃+x).

预案三：根据正弦函数的定义，在平面直角坐标系中，

任何实数，角〃-a和%+a的终边总是关于x轴对称(见

他们的正弦值互为相反数.

事实上，等式sin(%-x)=-sin(%+x)与诱导公式

sin(2%-x)=-sinx是等价的.这样，正弦曲线关于点(%,0)对称，是诱导公式

sin(2^-x)=-sinx(xeR)的几何意义.

第二阶段，探索正弦曲线的其它对称中心.

请同学尝试解决下列三个问题:

1.归纳正弦函数图象对称中心坐标的一般形式.

正弦函数图象对称中心坐标的一般形式为：(左1,0)(左eZ)(教师利用课件演示).

2.用等式表示“正弦曲线关于点(AT,0)(kwZ)对称”.

上述对称可以用等式sin(痴'-x)=-sin(br+x)(%eZ,xeR)表示.

3.证明归纳出的等式.(根据课堂情况可以由学生课后完成证明)

三、课堂小结

1.课堂小结

(1)知识上：得出了正弦函数图象对称轴方程和对称中心坐标的一般形式，研究了对

称性的代数表示形式，并利用诱导公式完成了严格的理论证明.在研究的过程中，对诱导公

式sin(乃-x)=sinx与sin(2%-x)=-sinx(xeR)有了新的理解，感受了正弦函数的对称

性以及数和形的辨证统一.

(2)方法上：直观f抽象，特殊—一般，体验了观察一归纳一猜想一严格证明的研究

方法.

2.作业

(1)总结课上的研究过程和方法，尝试研究余弦函数图象的对称性，并结合自己的

研究过程和结论写出研究报告，与其他同学交流收获.

(2)找一个一般函数，如》=“+5出-。为常数且aeR,研究它的图象及对称性；

并与正弦函数的图象及对称性进行比较.

(3)思考：如何用等式表示函数/(X)关于直线x=a对称，以及关于点(a,6)对称？