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文档简介
8.3.2圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法.2.会求与圆柱、圆锥、圆台、球有关的组合体的表面积和体积.矩形面积公式:圆面积公式:圆周长公式:扇形面积公式:棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和,也就是展开图的面积.
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(一)圆柱、圆锥、圆台的表面积
与多面体一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和.不同之处在于,围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面,利用的展开图,可以得到它们的表面积公式.1.圆柱的展开图是什么?怎么求它的表面积?设圆柱的底面半径为r,母线长为l,圆柱的侧面展开图是矩形O
2.圆锥的展开图是什么?怎么求它的表面积?设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥的侧面展开图是扇形
2πrSOlr•3.参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧面展开图是什么,它的表面积是什么?设r′、r分别是上、下底面半径,l是母线长,
OO’圆台的侧面展开图是扇环
讨论1:圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系?你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?圆柱、圆锥、圆台的表面积
几何体圆柱圆锥圆台直观图表面积知识归纳(二)圆柱、圆锥、圆台的体积
我们以前学习圆柱、圆锥的体积公式,即
由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
h
讨论2:
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?讨论3:
结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式,你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?讨论3:结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式,你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?几何体柱体锥体台体直观图体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系上底扩大上底缩小S为底面面积,h为柱体高S分别为上、下底面面积,h为台体高S为底面面积,h为锥体高知识归纳(三)球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数.事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是R
类比利用圆的周长求圆的面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥形”.OABDCOABCD讨论4:小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式?
当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于半径R.设O-ABCD是其中的一个“小锥体”,它的体积OABDCOABCD
由于球的体积就是n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此,球的体积
由此,我们得到了球的体积公式
球的表面积和体积R
球的表面积、体积公式:设球的半径为R,知识归纳
一个浮标的表面积为解:
所以给1000个这样的浮标涂防水漆需涂料
【例2】如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.解:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
拓展:证明球的表面积等于圆柱的侧面积.
【例3】如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上,求球的表面积和体积.解:由正方体内接于球得,球的直径等于正方体的对角线长.
拓展:如图,正方体的各个顶点都在球上(球内接正方体)若球的半径为R,求正方体的表面积和体积.分析:正方体内接于球,则由球和正方体都是中心对称图形可知,它们中心重合,则正方体对角线与球的直径相等.
解:
A⑵如图,设上底面半径为r,下底面半径为R,母线长为l,高为h.
解:
∴将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB=1,高为BC=2的圆柱减去一个底面半径
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