山东省德州市平原中英文实验中学2025届高三暑假第二次阶段性测试数学试题试卷

山东省德州市平原中英文实验中学2025届高三暑假第二次阶段性测试数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．23 B．21 C．35 D．322．在中所对的边分别是，若，则（）A．37 B．13 C． D．3．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝()．A． B． C． D．54．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．605．已知非零向量满足，，且与的夹角为，则（）A．6 B． C． D．36．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或7．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为()A． B． C． D．8．已知函数fx=sinωx+π6+A．16,13 B．19．已知复数，则（）A． B． C． D．210．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在（单位：元）的同学有34人，则的值为（）A．100 B．1000 C．90 D．9011．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A．多1斤 B．少1斤 C．多斤 D．少斤12．已知，，，则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数x,y满足(2x-y)2+4y14．若,则=______,=______.15．满足约束条件的目标函数的最小值是.16．若实数x,y满足不等式组x+y-4≤0,2x-3y-8≤0,x≥1,则目标函数三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，且满足，证明：.18．（12分）如图，在直三棱柱中，分别是中点，且，.求证：平面；求点到平面的距离.19．（12分）如图，在正四棱锥中，，点、分别在线段、上，．（1）若，求证：⊥；（2）若二面角的大小为，求线段的长．20．（12分）椭圆：的离心率为，点为椭圆上的一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为椭圆的下顶点，求证：对于任意的实数，直线的斜率之积为定值.21．（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪元，送餐员每单制成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分送餐员每单抽成元，超过单的部分送餐员每单抽成元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数3839404142甲公司天数101015105乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的天送餐单数中随机抽取天，求这天的送餐单数都不小于单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由.22．（10分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在编号01，02，…，39，40内的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重复的第5个编号为21.故选：B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.2．D【解析】

直接根据余弦定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．3．C【解析】试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，选C考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模4．D【解析】

根据频率分布直方图中频率＝小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴样本容量（即该班的学生人数）是60（人）.故选：D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率的应用问题，属于基础题5．D【解析】

利用向量的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可．【详解】解：非零向量，满足，可知两个向量垂直，，且与的夹角为，说明以向量，为邻边，为对角线的平行四边形是正方形，所以则．故选：．【点睛】本题考查向量的几何意义，向量加法的平行四边形法则的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．6．D【解析】

由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.7．A【解析】

根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知，，，则解得，由可得，答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功8．A【解析】

将fx整理为3sinωx+π3，根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时，又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得：ω∈本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.9．C【解析】

根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.10．A【解析】

利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率，再结合支出在（单位：元）的同学有34人，即得解【详解】由题意，支出在（单位：元）的同学有34人由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为．故选：A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.11．C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列则由等差数列的性质得，故选C12．C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】，所以，即.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：2x-y2+4y当2x-y=2y，即x=328故答案为：2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案.14．10【解析】

①根据换底公式计算即可得解；②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.【详解】①由题：,则；②由①可得：.故答案为：①1，②0【点睛】此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.15．-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD，代入计算，知为最小.16．12【解析】

画出约束条件的可行域，求出最优解，即可求解目标函数的最大值．【详解】根据约束条件画出可行域，如下图，由x+y-4=02x-3y-8=0，解得目标函数y=3x-z，当y=3x-z过点(4,0)时，z有最大值，且最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．证明见解析【解析】

将化简可得，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为，，所以，又，所以，当且仅当时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.18．（1）详见解析；（2）.【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）取中点为,则,证得平面,利用等体积法求解即可.【详解】（1）因为，，，是的中点，，为直三棱柱，所以平面，因为为中点，所以平面，，又,平面（2），又分别是中点，.由（1）知，,又平面,取中点为,连接如图,则，平面，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、等体积法求点到面的距离；考查逻辑推理能力和运算求解能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题.19．（1）证明见解析；（2）．【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC、BD交点为O，则以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明＝0即可证明垂直；（2）设＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量为，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得．试题解析:(1)连结AC、BD交于点O，以OA为x轴正方向，以OB为y轴正方向，OP为z轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA＝AB＝，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因为＝0，所以MN⊥AD(2)解：因为M在PA上，可设＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．设平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一组解为x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可取＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD的法向量为＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，从而M，N，所以MN＝＝．考点：用空间向量法证垂直、求二面角．20．（1）；（2）证明见解析【解析】

（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得，，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值．【详解】（1）因为，所以，①又椭圆过点，所以②由①②，解得所以椭圆的标准方程为.（2）证明设直线：，联立得，设，则易知故所以对于任意的，直线的斜率之积为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．21．（1）；（2）①分布列见解析，；②小张应选择甲公司应聘.【解析】

（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，可得（A）的值．（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，可得当时，，以此类推可得：当时，当时，的值．当时，的值，同理可得：当时，．的所有可能取值．可得的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为，日工资为元，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．所以的分布列为228234240247254．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为，所以甲公司送餐员的日平均工资为元，因为，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（1）见解析；（2）.【解析】

（1）取的中点，连接、，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）以点为坐标原点，、、