北师大版五年级数学下册典型例题第四单元：长方体和正方体的表面积增减变化问题“提高型”专项练习(原卷版+解析)

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第四单元：长方体和正方体的表面积增减变化问题“提高型”一、填空题。1．将4个大小相同的正方体粘成一个长方体后，表面积减少54平方厘米，那么这个长方体的表面积是()，体积是()。2．把一根长5米的长方体木料横截成两段，表面积增加0.08平方米，原来这根木料的体积是()立方米。3．一根8米长的方钢，把它截成3段时，表面积增加了64平方厘米，原来方钢的体积是()立方厘米。4．用棱长2cm的小正方体。拼成一个更大一些的正方体，拼成的大正方体的棱长总和最小是()cm，表面积最小是()，体积最小是()。5．一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成()个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加()cm2。

6．从一个大正方体木块上截下三个小正方体（如图），剩下立体图形的表面积比原来大正方体减少了8cm2，照这样大正方体共可以截出27个小正方体。原来大正方体的体积是()cm3。

7．一个长方体，它的高减少4分米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少9600平方厘米。原来的长方体的体积是()立方分米。8．一段长方体木材长4分米，把它横截成4段后，表面积增加了6平方分米，这段木材原来的体积是()立方分米。9．将一个长7厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是()立方厘米。10．一块长方体木块，从下部和上部分别截去高为1厘米和3厘米的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了80平方厘米，原来长方体木块的体积是()立方厘米。二、解答题。11．把一根长60厘米的长方体木料锯成大小一样的3段，表面积比原来增加了100平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？12．一根25米的长方体木料，把它平均锯成4段，表面积增加了48平方分米。这根木料的体积是多少立方米？13．用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？14．一个长方体木料的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米。把它锯成一个最大的正方体后，剩下木料的体积（不计损耗）是多少立方厘米？15．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，得到两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积分别增加了16平方厘米，24平方厘米，32平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？16．网购已经成为人们生活中一种十分普遍的现象，淘宝店铺也相应的增加。有人在张叔叔店铺下单3本书，他要将这3本书包装在一起寄给买家，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计）17．一个长方体，用与底面平行的方式从上部截取一部分后变成了一个正方体，这时表面积减少了336平方厘米，原来的长方体体积是多少？18．一套《中华德育故事》共8本，每本的长、宽、高分别是22厘米，16厘米和0.8厘米。钧钧买了一套《中华德育故事》要寄给希望小学。包装这套书，至少需要多少包装纸？19．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的4个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米。那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米？20．把一个长方体的高截去2厘米，表面积就减少24平方厘米，剩下的部分是一个正方体，原来长方体的体积是多少立方厘米？2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第四单元：长方体和正方体的表面积增减变化问题“提高型”一、填空题。1．将4个大小相同的正方体粘成一个长方体后，表面积减少54平方厘米，那么这个长方体的表面积是()，体积是()。【答案】162平方厘米108立方厘米【分析】如图：，表面积减少的部分为6个正方形面的面积，用54÷6，求出1个小正方形的面积，再根据正方形面积公式：面积＝棱长×棱长，进而推出小正方体的棱长；这个长方体的长是正方体棱长的4倍，宽和高与正方体棱长相等，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。【详解】54÷6＝9（平方厘米）3×3＝9，正方体棱长为3厘米；长方体的长是3×4＝12（厘米），宽是3厘米，高是3厘米。表面积：（12×3＋12×3＋3×3）×2＝（36＋36＋9）×2＝（72＋9）×2＝81×2＝162（平方厘米）体积：12×3×3＝36×3＝108（立方厘米）将4个大小相同的正方体粘成一个长方体后，表面积减少54平方厘米，那么这个长方体的表面积是162平方厘米，体积是108立方厘米。2．把一根长5米的长方体木料横截成两段，表面积增加0.08平方米，原来这根木料的体积是()立方米。【答案】0.2【分析】长方体木料沿横截面截成2段，表面积增加了2个横截面，已知表面积增加0.08平方米，用0.08÷2即可求出1个横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面积×长，用0.08÷2×5即可求出长方体木料的体积。据此解答。【详解】0.08÷2×5＝0.2（立方米）这根木料原来的体积是0.2立方米。【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意表面积增加了哪些面。3．一根8米长的方钢，把它截成3段时，表面积增加了64平方厘米，原来方钢的体积是()立方厘米。【答案】12800【分析】把长方体方钢截成3段后，表面积比原来增加了64平方厘米，增加的是这个长方体方钢4个横截面的面积，用64除以4，即可求出长方体横截面的面积，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，进行解答即可。【详解】8米＝800厘米64÷4×800＝16×800＝12800（立方厘米）即原来方钢的体积是是12800立方厘米。【点睛】此题考查长方体的体积公式的计算应用，抓住长方体的切割特点，求出长方体的底面积是解决本题的关键。4．用棱长2cm的小正方体。拼成一个更大一些的正方体，拼成的大正方体的棱长总和最小是()cm，表面积最小是()，体积最小是()。【答案】489664【分析】如果正方体棱长为1，13＝1，则最小的正方体只含有1个棱长为1的小正方体；棱长为2，23＝8，则1个大正方体至少含有8个棱长为1的小正方体；因为每条棱上有2个小正方体，且小正方体的棱长为2cm，则拼成的大正方体棱长为2×2＝4（cm）；据此根据正方体棱长公式：12a、表面积公式：6a2、体积公式：a3，分别求得拼成的大正方体棱长总和最小是多少，表面积最小是多少，体积最小是多少。【详解】2×2＝4（cm）4×12＝48（cm）42×6＝96（cm2）43＝64（cm3）用棱长2cm的小正方体。拼成一个更大一些的正方体，拼成的大正方体的棱长总和最小是（48）cm，表面积最小是（96），体积最小是（64）。【点睛】考查了正方体的棱长的应用、表面积及体积的计算；需要熟悉正方体的特征，且注意题目里小正方体棱长不是1cm，是2cm。5．一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成()个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加()cm2。

【答案】860【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了2层，每层4个，共8个小长方体；每切一刀增加2个面，即增加了前后左右上下共6个面，增加的部分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。【详解】一个表面积是60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加60cm2。【点睛】关键是看懂图示，具有一定的空间想象能力。6．从一个大正方体木块上截下三个小正方体（如图），剩下立体图形的表面积比原来大正方体减少了8cm2，照这样大正方体共可以截出27个小正方体。原来大正方体的体积是()cm3。

【答案】216【分析】通过观察图形发现：减少的面积是小正方体的2个面的面积，用8÷2求出小正方体1个面的面积是4cm2；根据正方形的面积＝边长×边长，即4＝2×2，可以求出小正方体的棱长是2cm；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用2×2×2求出1个小正方体的体积是8cm3，用8×27求出原来大正方体的体积。【详解】8÷2＝4（cm2）4＝2×22×2×2＝8（cm3）8×27＝216（cm3）所以原来大正方体的体积是216cm3。【点睛】解决此题关键是通过观察图形明确减少的面积是哪些面的面积。7．一个长方体，它的高减少4分米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少9600平方厘米。原来的长方体的体积是()立方分米。【答案】360【分析】9600平方厘米＝96平方分米，如果长方体的高减少4分米，则长方体的侧面积减少，根据侧面积＝底面周长×高，据此可知侧面减少的面积除以减少的高度，即可求出长方体的底面周长，因为高减少4分米，就成为一个正方体，说明长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长公式，用底面周长除以4即可求出底面的长和宽，再加上4即可求出长方体原来的高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出原来长方体的体积。【详解】9600平方厘米＝96平方分米96÷4＝24（分米）24÷4＝6（分米）6＋4＝10（分米）6×6×10＝360（立方分米）原来的长方体的体积是360立方分米。【点睛】本题主要考查了长方体表面积公式和体积公式的灵活应用，要注意表面积减少了哪些面是解答本题的关键。8．一段长方体木材长4分米，把它横截成4段后，表面积增加了6平方分米，这段木材原来的体积是()立方分米。【答案】4【分析】长方体木材沿横截面截成4段，表面积增加了6个横截面，已知表面积增加6平方分米，用6÷6即可求出1个横截面的面积，再根据长方体的体积＝横截面积×长，用6÷6×4即可求出长方体木材的体积。据此解答。【详解】6÷6×4＝4（立方分米）原来长方体木材的体积是4立方分米。【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意表面积增加了哪些面。9．将一个长7厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是()立方厘米。【答案】125【分析】长方体截成一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的宽，即正方体棱长是5厘米，根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。【详解】5×5×5＝25×5＝125（立方厘米）将一个长7厘米，宽5厘米，高6厘米的长方体截成一个最大的正方体，这个正方体的体积是125立方厘米。【点睛】明确正方体的棱长等于长方体最短的那条边是解答本题的关键。10．一块长方体木块，从下部和上部分别截去高为1厘米和3厘米的长方体后，变成一个正方体，表面积减少了80平方厘米，原来长方体木块的体积是()立方厘米。【答案】225【分析】这个长方体木块，从下部和上部分别截去1厘米和3厘米长方体后，便成为一个正方体，可知这个长方体的底面是一个正方形，这个长方体上、下部减少的面展开再拼在一起是一个宽为1＋3＝4（厘米）的长方形，用减少的面积除以4就是这个长方形的长，再除以4就是这个长方形底面边长，底边长加上4，即可求出长方体的高，再根据长方体的体积公式：V＝abh，可求出原长方体的体积。【详解】80÷（3＋1）÷4＝80÷4÷4＝20÷4＝5（厘米）5×5×（5＋3＋1）＝25×9＝225（立方厘米）即原来长方体的体积是225立方厘米。【点睛】本题是考查图形的切拼问题、长方体、正方体周长与体积的计算。这个长方体上、下部减少的面展开再拼在一起是一个长方形。二、解答题。11．把一根长60厘米的长方体木料锯成大小一样的3段，表面积比原来增加了100平方厘米。这根木料原来的体积是多少立方厘米？【答案】1500立方厘米【分析】把长方体木料锯成大小一样的3段，锯了（3－1）＝2次，增加了2×2＝4个截面，即增加的表面积相当于这根长方体木料的4个底面积，用增加的面积除以4，可得长方体木料的底面积。根据长方体体积公式：V＝Sh，将数据代入即可求出木料原来的体积。【详解】由分析可得：（3－1）×2＝2×2＝4（个）100÷4×60＝25×60＝1500（立方厘米）答：这根木料原来的体积是1500立方厘米。【点睛】本题考查了长方体体积的计算，关键明白100平方厘米是4个底面积的和，从而求出一个截面的面积，再计算该长方体木料的体积。12．一根25米的长方体木料，把它平均锯成4段，表面积增加了48平方分米。这根木料的体积是多少立方米？【答案】2立方米【分析】把一根木料锯成4段，要锯3次，每锯一次增加两个面的面积，所以共增加6个面的面积，已知表面积增加了48平方分米，除以6求出一个面的面积，即这根木料的底面积，根据长方体的体积公式，用底面积乘25，即可求出这根木料的体积。【详解】（4－1）×2＝3×2＝6（个）48平方分米＝0.48平方米0.48÷6×25＝0.08×25＝2（立方米）答：这根木料的体积是2立方米。【点睛】此题主要考查立体图形切割的特点以及长方体的体积的计算方法，关键是弄清增加了几个面的面积。13．用4个完全一样的小正方体积木拼成一个长方体（如下图所示），表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少？拼成的这个长方体的底面积是多少？【答案】8立方厘米；16平方厘米【分析】如图，拼成一个长方体后，表面积减少了8个小正方形的面积，用32除以8可求出其中一个小正方形的面积为4平方厘米，所以小正方形的边长为2厘米，即小正方体的棱长为2厘米，根据正方体的体积公式即可求出每个小正方体的体积；长方体的长和宽都为（2＋2）厘米，利用长乘宽即可求出拼成的这个长方体的底面积。【详解】32÷8＝4（平方厘米）因为2×2＝4（平方厘米）所以小正方体的棱长是2厘米。2×2×2＝8（立方厘米）（2＋2）×（2＋2）＝4×4＝16（平方厘米）答：每个小正方体的体积是8立方厘米，拼成的这个长方体的底面积是16平方厘米。【点睛】此题主要考查立体图形的拼接，熟练运用正方体的体积和长方体的底面积公式，弄清减少的是几个面的面积是解题的关键。14．一个长方体木料的长是5厘米，宽是4厘米，高是3厘米。把它锯成一个最大的正方体后，剩下木料的体积（不计损耗）是多少立方厘米？【答案】33立方厘米【分析】由题意可知，把这个长方体锯成一个最大的正方体，则该正方体的棱长为3厘米，根据长方体的体积公式：V＝abh，正方体的体积公式：V＝a3，据此分别求出正方体和长方体的体积，然后用长方体的体积减去正方体的体积即可。【详解】5×4×3－（3×3×3）＝20×3－27＝60－27＝33（立方厘米）答：剩下木料的体积（不计损耗）是33立方厘米。【点睛】本题考查长方体和正方体的体积，明确正方体的棱长相当于长方体的高是解题的关键。15．一个长方体按以下方法分别割成了两个长方体，得到两个长方体的表面积之和比原来长方体的表面积分别增加了16平方厘米，24平方厘米，32平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？【答案】72平方厘米【分析】观察图形可知，把这个长方体分别与左右面平行，上下面平行，前后面平行切，每切一次就增加两个切面的面积，把增加的切面的面积相加，就是这个长方体的表面积，据此解答。【详解】16＋24＋32＝40＋32＝72（平方厘米）答：原来长方体的表面积是72平方厘米。【点睛】本题考查长方体的切割方法，关键是明确增加了哪两个切面的面积。16．网购已经成为人们生活中一种十分普遍的现象，淘宝店铺也相应的增加。有人在张叔叔店铺下单3本书，他要将这3本书包装在一起寄给买家，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计）【答案】将3本书的40×20的这个面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，这样最节约包装纸；5200平方厘米【分析】根据题意，要想最节约包装纸，就是3本书的最大面积重合摞起来进行包装；摞起来后，长方体的长是40厘米，宽是20厘米，高是（10×3）厘米；根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出至少需要多少面积的包装纸。【详解】将3本书的40×20的这个面相粘合，得到的大长方体的表面积最小，这样最节约包装纸。长：40厘米；宽：20厘米；高：10×3＝30（厘米）（40×20＋40×30＋20×30）×2＝（800＋1200＋600）×2＝（2000＋600）×2＝2600×2＝5200（平方厘米）答：至少需要5200平方厘米的包装纸。【点睛】本题考查长方体表面积公式的应用，关键明确书的最大面积摞起来最节省包装纸。17．一个长方体，用与底面平行的方式从上部截取一部分后变成了一个正方体，这时表面积减少了336平方厘米，原来的长方体体积是多少？【答案】3920立方厘米【分析】长方体的高减少6厘米，后变成正方体，说明长方体的底面是个正方形，减少的表面积就是高为6厘米的长方体的四个侧面的面积和，由于底面是正方形，高都是6厘米，所以这4个侧面相等，一个侧面积等于：336÷4＝84平方厘米；一个侧面积＝底面边长×6，底面的边长等于：84÷6＝14厘米；底面是一个正方形，原来长方体的长和宽都等于14厘米。原来长方体的高等于14＋6＝20厘米，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；代入数据，即可解答。【详解】原长方体的长、宽：336÷4÷6＝84÷6＝14（厘米）高：14＋6＝20（厘米）体积：14×14×20＝3920（立方厘米）答：原来的长方体体积是3920立方厘米。【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是根据题意求出原长方体的长和宽。18．一套《中华德育故事》共8本，每本的长、宽、高分别是22厘米，16厘米和0.8厘米。钧钧买了一套《中华德育故事》要寄给希望小学。包装这套书，至少需要多少包装纸？【答案】1190.4平方厘米【分析】每本书的长为22厘米，宽为16厘米，高为0.8厘米，则长方体中长和宽所在的面面积最大，把8个长方体最大的面重合在一起需要的包装纸面积最少，大长方体的长为22厘米，宽为16厘米，高为（0.8×8）厘米，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出需要包装纸的面积，据此解答。【详解】（22×16＋22×0.8×8＋16×0.8×8）×2＝（352＋17.6×8＋12.8×8）×2＝（352＋140.8＋102.4）×2＝595.2×2＝1190.4（平方厘米）答：至少需要1190.4平方厘米包装纸。【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的应用，掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。19．有一个长方体，先后沿不同方向切了三刀（如图），切完第一刀后得到的2个小长方体的表面积之和是4