重难点03 二次函数的最值问题（2种命题预测+19种题型总+专题训练+10种解题方法）（解析版）-2025年中考数学重难点突破

第三章函数重难点03二次函数的最值问题（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）【题型汇总】类型一代数最值题型01定轴定区间最值问题解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=-b2）若m≤-b2a≤n，n+b2a＞-3)若m≤-b2a≤n，n+b2a＜-4)若m≤x≤n＜-b2a时，如图④，当，当5)若-b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2-2x-1，则当0≤x≤3A．-2 B．-1 C．0 D．2【答案】D【分析】把抛物线y=x2-2x-1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，再分别求出x=0【详解】解：∵y=x∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为-2，当x=0时，y=x2-2x-1=-1，当x=3∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2-6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a【答案】3或-1/-1或3【分析】本题考查二次函数的最值问题，分a>0,a<0，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵y=ax∴对称轴为直线x=--6a当a>0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵2≤x≤5，∴当x=5时，函数值最大为：25a-30a+6a=3，∴a=3，当a<0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵2≤x≤5，∴当x=3时，函数有最大值为：9a-18a+6a=3，∴a=-1；故答案为：3或-1．3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax-22+aa<0，当-4≤x≤1时，y的最小值为-74，则【答案】-2【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当x=-4时，y=-74，据此代值计算即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为y=ax-2∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，∴离对称轴越远函数值越小，∵当-4≤x≤1时，y的最小值为-74，∴当x=-4时，y=-74，∴a-4-2解得a=-2，故答案为：-2．4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象（1）求抛物线解析式；（2）当-2<x<2时，求函数值y的范围；【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x的范围得到y的最值．【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，∴0=a-b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；（2）抛物线的对称轴为直线x=--22×11＞0，则开口向上，又∵-2<x<2，∴当x=1时，y取最小值，即ymin=-4；当x=-2时，y取最大值，即ymax=5，∴y的范围是-4≤y＜5．【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．题型02利用对称轴与图像解决图系关系问题解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=a（1）若a=-1,则函数y的最大值为．（2）若当-1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为．【答案】41或-【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．（1）由题意可知此时二次函数为y=-x（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线x=1，再分类讨论当a>0时和当a<0时，结合二次函数的图象和性质求解即可．【详解】解：（1）当a=-1时，该二次函数为y=-x∵a=-1<0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为4．故答案为：4；（2）∵y=ax∴该二次函数的对称轴为直线x=1．当a>0时，抛物线开口向上，∴当-1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1<x≤4时，y随x的增大而增大．∵x轴上x=4到x=1的距离比x=-1到x=1的距离大，∴当x=4时，y有最大值，∴5=a4-1解得：a=1；当a<0时，抛物线开口向下，∴当x=1时，y有最大值，最大值为-4a，∴5=-4a，解得：a=-5综上可知a的值为1或-5故答案为：1或-56．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=a(x-2)2-a(a≠0)，当-1≤x≤4时，y的最小值为-4，则aA．12或4 B．4或-12 C．-43或4【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．分两种情况讨论：当a>0时，-a=-4，解得a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，9a-a=-4，解得a=-1【详解】解：y=a(x-2)2-a顶点坐标为(2,-a)，当a>0时，在-1≤x≤4，函数有最小值-a，∵y的最小值为-4，∴-a=-4，∴a=4；当a<0时，在-1≤x≤4，当x=-1时，函数有最小值，∴9a-a=-4，解得a=-1综上所述：a的值为4或-1故选：B．7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．题型03定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=-b2a，相对于1）轴在区间左侧：如图①，当-b2a＜m，对称轴在区间的左侧，那么在区间内，y随着x的增大而增大，所以，当x=m时，y取值最小值；当x=n2）轴在区间中间：如图②③，当m≤-b2a≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=-b2a时，y取得最小值，m、n两个数谁离对称轴远，就在谁处取得3）轴在区间右侧：如图④，当-b2a＞m，对称轴在区间的右侧，那么在区间内，y随着x的增大而减小，所以，当x=m时，y取值最大值；当x=n时，y取得最小8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a-b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(-1,2)，当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为-2，此时m的取值范围是-3≤m≤-1．其中正确结论的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴-b2a=-1，c=1②：结合图象发现，当x=-1时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当x=1时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1∴-b2a=-1∴ab＞0，∴abc＞从图中可以看出，当x=-1时，函数值大于1，因此将x=-1代入得，-12⋅a+-1⋅b+c＞∵-b2a=-1，∴b=2a，从图中可以看出，当x=1∴a+b+c＜0，∴3a+c＜∵二次函数y=ax2+bx+c∴设二次函数的解析式为y=ax+12+2，将(0,1)解得a=-1，∴二次函数的解析式为y=-x+1∴当x=1时，y=-2；∴根据二次函数的对称性，得到-3≤m≤-1，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax-4(a>0)，当m<x≤0时，函数y值的最大值为-4，则m的取值范围【答案】-4≤m<0【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出0,-4对称点-4,-4，根据二次函数的性质求出m的取值范围．【详解】解：二次函数的对称轴x=-4a令y=0，y=-4，∴点0,-4关于直线x=-2的对称点为-4,-4，如图：∵a>0，∴开口向上，∵当m<x≤0时，函数y值的最大值为-4，∴-4≤m<0，故答案为：-4≤m<0．10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=-x2-2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y的最小值为1【答案】-1-3/【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当x<-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a≥-1；若a<-1，即可求解．【详解】解：y=-x∴当x<-1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，若a≥-1，当a⩽x⩽12时，y随x此时当x=12时，函数值y最小，最小值为若a<-1，当x=a时，函数值y最小，最小值为1，∴-a解得：a=-1-3或-1+综上所述，a的值为-1-3故答案为：-1-【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或-3-【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝-x（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝-x2c=-3-36-6b+c=-3，解得：b=-6（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝-x2-6x-3∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下，

又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为-m∴-m2-6m-3+（-3∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴-(m+3)2∴m＝-3-10或m＝-3+综上所述，m＝-2或-3-10【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．题型04定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=-x2-2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是A．m≥-1 B．m≤2 C．-3≤m≤-1 D．0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得当x=-1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数【详解】解：由题意，∵y=-x∴当x=-1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故选：C．13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数y=-x（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．【答案】（1）3,4；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）t=3-3或3【分析】（1）把二次函数y=-x（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．（3）分t＜0；0≤t<3；t≥3三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．【详解】（1）∵y=-x2+6x-5=-x-32（2）∵顶点坐标为3,4，∴当x=3时，y最大值=4∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x=1时，y最小值∵当3<x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x=4时，y最小值∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0．（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论．①当t+3<3时，即，t<0，y随着x的增大而增大．当x=t时，n=-t∴m-n=-t∴-6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去）．②当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4．i）当0≤t≤32时，在x=t时，∴m-n=4--∴t2-6t+9=3，解得t1ii）当32<t<3时在x=t+3时，∴m-n=4--∴t2=3，解得，t1③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x=t时，m=-t当x=t+3时，n=-t+3∴m-n=-∴6t-9=3，解得t=2（不合题意，舍去）．综上所述，t=3-3或3【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为1,-4，且图象经过点3,0，0,-3．(1)求二次函数的表达式(2)将二次函数的图象向右平移mm>0个单位，图象经过点1,-154，求(3)在由（2）平移后的图象上，当n-2≤x≤n+1时，函数的最小值为-3，求n的值．【答案】(1)y=(2)m=(3)-12【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．（1）根据题意设二次函数解析式为y=ax-12-4，再代入一个其图象（2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m的值；（3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为-3时，x的值，根据二次函数图像性质，可知x的取值在x2=12左侧或在【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为1,-4，设二次函数解析式为：y=ax-1∵二次函数图象经过点3,0，0,-3，∴-3=a0-1解得：a=1，∴二次函数解析式为y=x-1（2）解：将二次函数的图象向右平移mm>0个二次函数解析式为y=x-1-m∵平移后二次函数图象经过点1,-15∴-15解得：m1=1∴m的值为12（3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为y=x-32当函数取值为-3时，则有-3=x-解得：x1=5∵当n-2≤x≤n+1时，函数的最小值为-3，∴x的取值为x2=1①当x的取值为x2则有n+1=1解得：n=-1②当x的取值为x1则有n-2=5解得：n=9∴n的值为-12或15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线y=2a-3x2+4a+2(1)求抛物线的函数关系式；(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当t≤x≤t+3时，则m-n=3t，求t的值．【答案】(1)y=-(2)t的值为9-352【分析】本题考查了求二次函数关系式，二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握相关知识点，具有分类讨论的思想．（1）根据抛物线的对称轴为直线x=3，得出-4a+222a-3（2）根据抛物线的性质得出当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，再进行分类讨论：①当t+3<3即t<0时，y随x的增大而增大，x=t时，y有最小值n，x=t+3时，y有最大值m，即可解答；②当t>3时，x=t时，y有最大值m，x=t+3时，y有最小值n，即可解答；③当0≤t≤3时，t≤3≤t+3≤6，x=3时，y有最大值为5，则n=5-3t，当0≤t≤32时：-t2+6t-4=5-3t【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴-4a+2解得：a=1，经检验，a=1是分式方程的解，∴抛物线的函数关系式为：y=-x（2）解：y=-x∴对称轴为x=3，∴当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，①当t+3<3即t<0时，y随x的增大而增大，x=t时，y有最小值n，x=t+3时，y有最大值m，∴-t又m-n=3t，整理得-t+3解得t=1，又t<0，∴不符合题意，舍去；②当t>3时，x=t时，y有最大值m，x=t+3时，y有最小值n，∴-t又m-n=3t，整理得-t+3解得t=3，又t>3，∴不符合题意，舍去；③当0≤t≤3时，t≤3≤t+3≤6，∴x=3时，y有最大值为5，∴m=5，又m-n=3t，∴n=5-3t，当0≤t≤32时：解得t1=9+3当32<t≤3解得：t3=0（舍去），∴t的值为9-352或综上，t的值为9-352或题型05动轴定区间16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数y=-x（1）当m=3时，该二次函数图象的顶点坐标为；（2）当-1≤x≤3时，函数有最小值m2，则m的值为【答案】3,180或2【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标；（2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题．本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键．【详解】（1）当m=3时，y=-x2+6x+9=-（2）抛物线对称轴为直线x=--2m①当m=1时，且在-1≤x≤3时有最小值，根据二次函数对称性，当x=-1或x=3时，函数有最小值，不妨当x=-1时，最小值为m2，即可得到：-1-2m+9=m2，解得：m=2②当m>1时，且在-1≤x≤3时有最小值，则x=-1时，最小值为m2即可得到：-1-2m+9=m2，解得：m=2或–4，所以③当m<1时，且在-1≤x≤3时有最小值，则x=3时，最小值为m2即可得到：-9+6m+9=m2，解得：m=0或6，所以综上所述：m的值为0或2．17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=-x2+2ax-a2+2（a为常数，且a≠0），当-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为A．－6 B．4 C．-6或0 D．0或-2【答案】D【分析】根据题意可知二次函数y=-x2+2ax-a2+2=-x-a2本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当-3≤x≤1时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．【详解】解：二次函数y=-∴该函数的对称轴为直线x=a，函数的最大值为2，当a>1时，x=1时，函数有最大值y=-1-ax=-3时，函数有最小值y=--3-a∵当-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴-1-a解得：a=18(舍去当a<-3时，x=-3时，函数有最大值y=--3-ax=1时，函数有最小值y=-1-a∵当-3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴--3-a解得：a=-178(舍去当-3≤a≤1时，x=-3时，函数有最小值y=--3-a2+2∴2--解得：a=0或-6(舍去)，当-3≤a≤1时，x=1时，函数有最小值y=-1-a2+2∴2--解得a=-2或4(舍去)，∴a=0或-2，故选：D．18．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0，c<0），当-5≤x≤0时，-11≤y≤5，则c【答案】-10【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．由题意可知，函数图象的对称轴为x=-b2<0，求出x=-5，x=0，x=-b2时函数值，分两种情况：当-b2≤-5<0时，此时，当-5≤x≤0时，y随x增大而增大；当-5<-b2<0时，即b<10，此时，当-5≤x≤-b2【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0∴函数图象的对称轴为：x=-b当x=-5时，y=25-5b+c，当x=0时，y=c，当x=-b2时，①当-b2≤-5<0时，此时，当-5≤x≤0时，y∴25-5b+c=-11c=5，与c<0②当-5<-b2<0此时，当-5≤x≤-b2时，y随x增大而减小，当-b2<x≤0∴c-b24或c-b24=-1125-5b+c=5，则c=5b-20解得：b=18或2，当b=18时，c=5b-20=70>0，不符合题意；当b=2时，c=5b-20=-10，符合题意；综上，c的值为-10，故答案为：-10．题型06动轴动区间的最值问题19．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数y=-x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；(2)若m-1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p，最小值为q，且p-q=3k，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)k=13【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．（1）由m+n=1得n=1-m，代入得函数解析式为y=-x（2）确定抛物线的对称轴为直线x=m，开口向下，最大值为m2+n，再分两种情况当0<k<1时，当k≥1时，求出【详解】（1）证明：∵m+n=1，∴n=1-m，∴y=-∵Δ∴该函数图像与x轴必有两个不同的交点；（2）∵二次函数y=-x2+2mx+n（m∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-把x=m代入y=-x2+2mx+n∴抛物线的顶点坐标为m,m∴当m-1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p=若0<k<1，则x=m-1时函数有最小值，且函数最小值，q=-(m-1)∴p-q=m2若k≥1，则x=m+k时函数有最小值，且函数最小值q=-∴p-q=m2+n-m2综上所述，k=13或20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m（m为常数，m<0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x【答案】-2-22/【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x=m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，顶点坐标为-m当m<-m2<m+2-m当m+2≤-m2，即将x=m+2代入y=x2+mx+2m令2m解得m=-2+22（舍去）或m=-2-2故答案为：-2-22【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，能利用分类讨论思想解答．题型07动轴动区间参数取值范围问题21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，点Px1,(1)当h=1时，求抛物线的对称轴；(2)若对于0≤x1≤2，h+4≤x2【答案】(1)直线x=1(2)当a>0时，h的取值范围为h≤-5或h≥7；当a<0时，h的取值范围为-2≤【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）将h=1代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得；（2）根据题意分两种情况讨论：a>0和a<0，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得．【详解】（1）解：当h=1时，抛物线的表达式为y=ax∴y=ax-1∴抛物线的对称轴为直线x=1．（2）解：∵抛物线y=ax2-2ahx+ah2+1=ax-h2∴点Qx2,y2一定在对称轴的右侧，x=h-4时的函数值与由题意，分以下两种情况：①当a>0时，若点P在对称轴的右侧，要使对于0≤x1≤2，h+4≤则h+5≤0，解得h≤-5；若点P在对称轴的左侧，要使对于0≤x1≤2，h+4≤则h-5≥2，解得h≥7；②当a<0时，要使对于0≤x1≤2，h+4≤则h+4≥2h-4≤0解得-2≤h≤综上，当a>0时，h的取值范围为h≤-5或h≥7；当a<0时，h的取值范围为-2≤h≤22．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-(1)求抛物线的顶点坐标（用含n的代数式表示）；(2)点Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若对于x1，x2，都有y1【答案】(1)(n,-n)(2)①y1的最小值是-2，②n≤1或者【分析】（1）y=-x2+2nx-n2-n=-(（2）①y=-x2+2nx-n2-n=-(x-n)2-n，根据a=-1<0得抛物线开口向上，当n-2<n<n+1，当x1=2时，y1有最大值2，即可得n=-2，所以-4≤x1≤-1，此时，y=-(x+2)2

②y=-x2+2nx-n2-n=-(x-n)2-n的对称轴为x=n，即可得当x>n时，y随x的增大而减小，当n+1≤3-n时，y1≥y2，当x<n时，y随x【详解】（1）解：y=-x2则抛物线的顶点坐标为(n,-n)；（2）解：①y=-x∵a=-1<0，∴抛物线开口向上，∵n-2<n<n+1，∴当x1=2时，y12=-n，n=-2，∴-4≤x此时，y=-(x+2)2+2对称轴为x=-2，在x<-2时，y随x的增大而减小，∴当x1=-4时，y1有最小值：②∵y=-x2+2nx-∴当x>n时，y随x的增大而减小，当n+1≤3-n时，y1当x<n时，y随x的增大而增大，当n-2≥3-n时，y1即n+1≤3-n，解得，n≤1，n-2≥3-n，解得，n≥5综上，n的取值范围：n≤1或n≥5【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．类型二几何最值问题题型01二次函数中的线段最值问题平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.1）铅垂线段的求法-横坐标相同23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B(1)求抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)3(3)94，(4)存在，P10,0，P26-3【分析】（1）由直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A(-1,0)、C(0,-3)，将A(-1,0)、C(0,-3)代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCH=1（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D32,0，M32,-32，由勾股定理求出OM=BM=322【详解】（1）解：∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A(-1,0)，C(0,-3)，∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)∴1-b+c=0c=-3解得b=-2c=-3∴抛物线的解析式为y=x（2）解：设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，∴y=x-3；∵y=x∴抛物线的顶点H(1,-4)，当x=1时，y=1-3=-2，∴F(1,-2)，∴FH=-2-(-4)=2，∴S（3）解：设Ex,x2-2x-30<x<3∴ME=x-3-(x∴当x=32时，ME（4）解：存在．如图3，由（2）得，当ME最大时，则D32,0∴DO=DB=DM=3∵∠BDM=90°，∴OM=BM=(点P1、P2、P3、P当点P1与原点O重合时，则P1M=BM=当BP2=BM=∴P当点P3与点D重合时，则P3M=当BP4=BM=∴P综上所述，P10,0，P26-3【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．24．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=-13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．【答案】(1)A-2,0,B6,0,C(2)3【分析】（1）分别令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段BC所在直线的函数表达式；（2）根据题意，结合（1）线段BC所在直线的函数表达式，设点P的坐标为m,-13m2+43【详解】（1）解：在y=-1令x=0，则y=4，∴点C的坐标为0,4，令y=0，则-1即x2解得：x=-2或x=6，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为-2,0，点B的坐标为6,0，设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=-2∴线段BC所在直线的函数表达式为y=-2（2）解：∵点P在抛物线y=-1∴设点P的坐标为m,-1∵PM⊥x轴交BC于点N，∴点N的坐标为m,-2∵点P在线段BC上方的抛物线上，∴0<m<6且PN=PM-NM=-1∵-13<0∴当m=3时，PN有最大值，线段PN长的最大值为3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2(2)①当m=52时，PD有最大值为94；②当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD【分析】（1）把0,0，A4,0，B1,3代入y=ax2+bx+ca≠0求解即可，利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令（2）①根据P、D的坐标求出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，△PBD∽△AOC两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把0,0，A4,0，B1,3代入得c=016a+4b+c=0解得a=-1b=4∴二次函数的解析式为y=-x设直线AB解析式为y=mx+n，则4m+n=0m+n=3解得m=-1n=4∴直线AB解析式为y=-x+4，当x=0时，y=4，∴C0,4（2）解：①设Pm,-m2∴PD=-=-=-m-∴当m=52时，PD有最大值为②∵A4,0，C∴AO=CO=4，又∠AOC=90°，∴∠ACO=∠AOC=45°，又PD⊥x轴，∴PD∥∴∠PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，如图，∴∠BPD=∠AOC=90°，∴BP∥∴P的纵坐标为3，把y=3代入y=-x2+4x解得x1=1，∴m=3，∴-m∴P的坐标为3,3；当△PBD∽△AOC时，如图，过B作BF⊥PD于F，则BF=m-1，∠PBD=∠AOC=90°，又∠BDP=45°，∴∠BPD=45°=∠BDP，∴BP=BD，∴PF=DF，∴BF=1∴m-1=1解得m1=2，∴-m∴P的坐标为2,4综上，当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD与△AOC相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．2）水平相等的求法-纵坐标相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=-12x+m2+1与二次函数(1)当m=0时，求两个函数图象的交点坐标．(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．(3)如图，当m=-1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．①当PQ∥y轴时，求PQ②当PQ∥x轴时，求PQ的最小值．【答案】(1)(0,1)或1(2)m<-(3)①716；②【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；（1）当m=0时，一次函数为y=-12x+1，（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；（3）当m=-1时，一次函数为y=-12x+2①设Pa,-12a+2②设Pa-1【详解】（1）解：（1）当m=0时，一次函数为y=-12x+1联立方程组y=-解得x1=0，∴交点坐标为0,1或12（2）由y=-得x∵两个函数图象没有交点，∴Δ得m<-（3）当m=-1时，一次函数为y=-12x+2①∵PQ∥y轴设Pa,-∴PQ=∴当a=-34时，②设P∵PQ∥∴-∴a=2b²+4b+2∴PQ=a-b=∴当b=-34时，27．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）过点A-1,0、B3,0

(1)求抛物线的表达式：(2)点P为第四象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于E，F为直线BC上一点，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此时点(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点M，使∠BMP的度数最大，若存在，请写出M点的坐标，并做详细解答．【答案】(1)y=(2)EF的最大值为27216(3)M【分析】（1）用待定系数法，将点A，点B坐标代入y=ax（2）先证明△FHP≌△AOC，得出FHPH=COAO=3，设Pm,m2-2m-3，求出Em2（3）利用圆周角定理判断出当△BPM的外接圆与对称轴相切时，∠BMP的度数最大，然后设M1,n，O'x,y【详解】（1）解：将点A-1,0，点B3,0代入0=a⋅-12+b⋅故抛物线的解析式为：y=x（2）解：当x=0时，y=-3，∴C0,-3∴CO=3，∵A-1,0，∴AO=1，BO=3，设直线BC解析式为y=kx+b则3k+b'=0∴直线BC解析式为y=x-3，过点F作FH⊥EF于H，

∴∠FHP=∠AOC=90°，又∠FPE=∠CAB，∴△FHP≌△AOC，∴FHPH设Pm,∵PE∥∴点E的纵坐标为m2代入y=x-3，得m2-2m-3=x-3，解得∴Em∴PE=m-m∵BO=CO=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵PE∥∴∠BEP=∠OBC=45°，∴△EFH是等腰直角三角形，∴FH=EH，EF=2∴EHPH∴PH=1∵PE=PH+EH=1∴EH=3∴EF=2∴当m=32时，EF取最大值为此时m2∴EF的最大值为27216，（3）解：∵y=x∴对称轴为x=1，作△BPM的外接圆，记为⊙O

∵点M在对称轴上运动，∴对称轴与⊙O设⊙O'与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点M'，连接BM'，PM'，BN，O则∠BMP=∠BNP，由∠BNP>∠BM∴∠BMP>∠BM∴当⊙O'与对称轴相切时，此时O'设M1,n，O'∵MO∴x-12整理得n2解得n1=-10-∴M【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，（3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置．28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)y=-(2)PD+PE的最大值为498，点P的坐标为(3)符合条件的N点坐标为：N0,4或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线AC的解析式，设Pm,-m2-2m+3，则PE=-m（3）先求得抛物线的顶点P-1，4，对称轴为x=-1，分当点N在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，当点N在x轴负半轴上时，证明△CMG∽△NCO，求得CG=-13t，再证明△CMG≌△PNH，求得点【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点B(1,0)，与-1+b+c=0解得b=-2抛物线的解析式为：y=-x（2）解：当y=0时，0=-x解得x1=-3，∴A(-3,0)，设直线AC的解析式为：y=kx+nk≠0把A-3,0，C0,3代入得：解得k=1∴直线AC的解析式为y=x+3，设Pm,-∵PE∥∴点E的纵坐标为-m又∵点E在直线AC上，∴-m2-2m+3=x+3∴E-∴PE=-m∵PD∥y轴，∴PD=-m∴PD+PE=-m∵-2<0，-3<m<0，∴当m=-54时，PD+PE有最大值，最大值为当m=-54时，∴点P的坐标为-5答：PD+PE的最大值为498，点P的坐标为-（3）解：y=-x则抛物线的顶点P-1，4情况一：当点N在y轴上时，P为抛物线的顶点，∵四边形PMCN为矩形，∴N与P纵坐标相同，∴N0,4情况二：当点N在x轴负半轴上时，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为G，过P作x轴的垂线，垂足为H，设Nt,0，则ON=-t∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP，∴∠MCG+∠OCN=90°，∵∠ONC+∠OCN=90°，∴∠MCG=∠ONC，又∵∠CGM=∠CON=90°，∴△CMG∽△NCO，∴CGON∵抛物线对称轴为x=-1，点M在对称轴上，C0,3∴MG=1，OC=3，∴CG-t=1∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°，∴∠CMG=∠PNH，∴△CMG≌△PNH，∴NH=MG=1，HP=CG=-1∴OH=ON+NH=-t+1，∴点P的坐标为t-1,-1∵点P在抛物线上，∴-1解得t1=1-∴N1-综上所述：符合条件的N点坐标为：N0,4或N【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．3）斜线段的求法-化斜为直

29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C(1)求a，(2)若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y=ax2+bx+3于点E(3)若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，【答案】(1)a=-(2)DE的最大值为25(3)点D的坐标为-32【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）过点E作EF⊥x轴，将EF的长度用二次函数表示，即可求出EF最大值，从而求得线段DE的最大值；（3）分两种情况进行讨论，求出点D的坐标．【详解】（1）解：由题意可得点A的坐标为-3,0，∴-b解得a=-2（2）解：过点E作EF⊥x轴于点F，当x=0时，y=3，∴点C的坐标为0,3，OC=3，当y=0时，x1=-3，∴点B的坐标为92∴OA=OC，∠CAO=45°，∵DE∥AC，∴∠EDB=45°，∴△DEF为等腰直角三角形，DE=2∵点E在抛物线y=-2∴设Em,-∴EF=-2∵-2∴当m=34时，EF的最大值为∴DE的最大值为258（3）解：设Em,-情况一：当CE∥AD时，过点E作EF⊥x轴于点F，AC=DE=32∵DE=2EF，∴2×解得m1=0（舍去），∴OF=32，∴DO=32，情况二：当CD∥AE时，过点E作EF⊥x轴于点F，AC=DE=32∵DE=2EF=2∴2×解得m1=-9∴F6,0，D综上所述，点D的坐标为-32,【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数与四边形结合，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．30．（2024·山东日照·二模）如图，抛物线y=ax2+bx-4a≠0与x轴交于点A，B-1,0，与y轴交于点C，且OA=OC，点Dm,0是线段OA上一动点，过点D作DP⊥x轴交直线AC于点(1)求抛物线的解析式：(2)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求出PQ的最大值；(3)试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为y=(2)存在最大值2(3)存在点P，点P的坐标为3,-4或2,-6【分析】（1）利用线段的长度求得点A坐标，再利用待定系数法解答即可；（2）求得直线AC的解析式，利用DP⊥x轴，Dm,0，表示出点Em,m-4，Pm,m2（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论：①当∠PCE=90°时，过点E作EF⊥y轴于点F，利用等腰直角三角形的判定与性质求得EP，从而得到关于m的方程，解方程求得m值，则结论可得；②当∠EPC=90°时，此时CP∥x轴，点P的纵坐标为-4，从而得到关于m的方程，解方程求得【详解】（1）解：对于y=ax2+bx-4a≠0，令∴C0,-4∴OC=4，∵OA=OC，∴OA=4，∴A4,0∵抛物线y=ax2+bx-4a≠0与x∴a-b-4=0解得：a=1b=-3∴抛物线的解析式为y=x（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+n，∴解得：k=1,∴直线AC的解析式为y=x-4．∵DP⊥x轴，D∴Em,m-4，P∴PE=m-4-m∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵PE∥y轴，∴∠CEP=∠OCA=45°，∵PQ⊥AC，∴△PQE为等腰直角三角形，∴PQ=∵-22∴当m=2时，PQ存在最大值22（3）解：存在点P，使得△CPE为直角三角形，3,-4或2,-6，理由如下：由（2）知：∠CEP=45°≠90°，Dm,0，Pm,∴PE=m-4-m∴分两种情况讨论：①当∠PCE=90°时，过点E作EF⊥y轴于点F，如图，∵OA=OC，OA∥EF∴∠CEF=∠CAO=∠CEP=45°，∴CE=2∵EP=2∴EP=2m，∴-m解得：m=0（舍去）或m=2．∴P2,-6②当∠EPC=90°时，此时CP∥x轴，∴点P与点C的纵坐标相同为-4，∴m解得：m=0（舍去）或m=3，∴P3,-4综上，存在点P，点P的坐标为3,-4或2,-6．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．31．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN=2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM【答案】(1)y=-(2)存在，最大值是982(3)3-172【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．（1）两点式直接求出函数解析式即可；（2）过点P作PE⊥x轴，交BC于点D，设Pm,-m2+2m+3，根据三角函数得到PQ=PD⋅cos（3）设Mt,-t+3，得到xN=t，求出点N恰好在抛物线上且MN=2【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A∴y=-x+1∴y=-x（2）存在；∵y=-x∴当x=0时，y=3，∴C0,3∵B3,0∴OC=3=OB，∴∠OBC=45°，设直线BC的解析式为：y=kx+3，把B3,0代入，得：k=-1∴y=-x+3，过点P作PE⊥x轴，交BC于点D，设Pm,-m2∴PD=-m∵PQ⊥BC，∴∠PQD=90°=∠PEB，∵∠PDQ=∠BDE，∴∠DPQ=∠OBC=45°，∴PQ=PD⋅cos∴当PD最大时，PQ最大，∵PD=-m-∴当m=32时，PD的最大值为94，此时PQ∴P3（3）设Mt,-t+3，则：x当点N恰好在抛物线上时，则：Nt,-∴MN=-t+3+t当MN=2时，则：t2解得：t=3+172∵线段MN与抛物线有交点，∴点M的横坐标的取值范围是3-172≤4）距离最值问题32．（2024·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过A-2,0，B0,4两点，直线x=3与x(1)求抛物线的解析式；(2)在线段OC上是否存在点F，使得∠BFG是直角？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Pm,n为抛物线上的动点，0<m<3，过P作x轴的垂线交直线BC于点D，求当P点到直线BC的距离最大时m【答案】(1)y=-(2)在线段OC上不存在点F，使得∠BFG是直角，见解析(3)m的值为73【分析】（1）将A、B两点代入函数解析式，得到方程组，解方程组即可．（2）设OF=t，则FC=3-t，由△BOF∽△FCG得出BOFC=OF（3）过点P作PQ⊥BC于Q，由余弦的定义得，PQPD=cos∠DPQ=cos∠DCM=OCBC即PQPD=35，则PQ=35【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+c经过A∴4a-2+c=0c=4解得a=-∴抛物线的解析式为：y=-1（2）解：由题意得：∠GCF=∠FOB=90°，若在线段OC上是存在点F，使得∠BFG是直角，则∠GFC=∠FBO∴Rt∴∵B0,4∴OB=4当x=3时，y=-1∴CG=5设OF=t，则FC=3-t∴∴∵∴方程无解，即在线段OC上不存在点F，使得∠BFG是直角．（3）解：∵0<m<3，∴点Pm,n为抛物线B、G过点P作PQ⊥BC于Q，∴∠PDQ+∵PD⊥x轴，∴∠CDM+∵∠CDM=∴∠DCM=在Rt△BOC中，OB=4，OC=3∴BC=42∴PQPD=cos∠DPQ=∴PQ=3∴当PD的值最大时，P点到直线BC的距离最大，∵n=-1∴Pm,-设直线BC的解析式为y=kx+b，由题意得：b=4解得k=-∴直线BC的解析式为y=-当x=m时，y=-4∴D∴PD=∴当m=730<m<3时，PD即：当P点到直线BC的距离最大时，m的值为73【点睛】本题考查了二次函数待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，二次函数求最值等问题，熟练利用转化思想和方程思想是解决函数综合题的关键．33．（2024·山西晋中·二模）综合与探究如图，直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=-12x2+bx+c经过B(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点P，使点P到直线BC的距离最大，求出点P的坐标及点P到直线BC的距离最大值；(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点Q，使得以点Q、B、C为顶点的三角形与△PBC面积相等？若存在，请直接写出符合的点Q【答案】(1)y=-(2)点P的坐标为2,3，点P到直线BC的距离最大值为4(3)Q2+22【分析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数中的线段最值、二次函数面积问题．（1）由直线y=-12x+2B（2）首先设Pm,-12m2+32m+2，过点P作PD⊥BC交BC于D，PE⊥x轴交BC于点E，交x轴于点F，即可表示出PE（3）作PM∥BC交y轴于M，作M关于点C的对称点N，再作NG∥BC，则【详解】（1）∵直线y=-12x+2与x轴交于点B，与y∴点C0，2∵抛物线y=-12x2+bx+c∴0=-1解得：c=2b=∴抛物线的解析式是y=-1（2）过点P作PD⊥BC交BC于D，PE⊥x轴交BC于点E，交x轴于点F，∵C0，2∴BC=2设Pm,-12∴PE=-1∵S△PBC∴PD=PE⋅OB∴当m=2时，PD=45∴点P的坐标为2,3，点P到直线BC的距离最大值为45（3）作PM∥BC交y轴于M，作M关于点C的对称点N，再作NG∥BC，则直线NG到BC的距离等于直线∵以点Q、B、C为顶点的三角形与△PBC∴NG与抛物线的交点即为所求点Q，∵直线BC解析式为y=-1∴设直线PM解析式为y=-1把P2,3代入y=-12x+n得∴M0,4∵C0，2，M关于点C∴N0,0∵NG∥∴直线NG解析式为y=-1联立y=-12xy=-1∴Q2+22,-5）线段比最值问题34．（2022·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A-2,0、B6,0两点，与y轴交于点C0,4，顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；(2)当PMAM的值最大时，求点P的坐标及PM(3)如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．【答案】(1)y=-13(2)P3,5；最大值为(3)H13,3、H【分析】（1）由待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可；（2）作AN∥CO交直线BC于点N，作PQ∥CO交直线BC于点Q，得：AN∥PQ，得到△PQM∽△ANM，PMAM=PQAN，待定系数法求出直线BC的表达式，点N的坐标是-2,163，求出AN=163，求（3）先说明C四边形ACEF最小，就是CE+AF最小；作AA'∥EF，且AA'=EF=2，连接EA'，如图4，则CE+AF=CE+A'E；作点C关于对称轴的对称点C'4,4，连接C'A'交对称轴于点E'，则点E运动到点E'时，C四边形ACEF最小；待定系数法求出直线A'C'的表达式，得到E2,10【详解】（1）解：由抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A-2,0、B6,00=4a-2b+c0=36a+6b+c解得：a=-1∴y=-1对称轴：直线x=-2+6∴yD∴点G的坐标为2,16（2）解：如图3，作AN∥CO交直线BC于点N，作PQ∥CO交直线BC于点∴△PQM∽△ANM，∴PMAM设直线BC的表达式为y=kx+b，∴0=6k+b4=b解得k=-2即y=-2∵A-2,0∴把x＝﹣2代入y=-23x+4得y∴点N的坐标是-2,16∴AN=16∴求PMAM的最大值，就是求PQAN的最大值，即求设Pp,-13∴PQ=-=-=-1当p=3时，PQ最大值时3，P3,5∴PMAM的最大值=PQAN（3）解：∵在Rt△AOC中，∠AOC=90°，∴AC=A∴C四边形∴C四边形ACEF最小，就是作AA'∥EF，且AA'=EF=2，连接EA'，如图∴四边形AA'EF是▱；∴A'E=AF，∴CE+AF=CE+A'E；作点C关于对称轴的对称点C'4,4，连接C'A'交对称轴于点E'，则点E运动到点E'时，C设直线A'C'的表达式为y=k∴2=-2k解得k=1即y=1∴E2,以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，∴H13,3、H2【点睛】此题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，作出正确的辅助线是解题的关键．35．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A-2,0，B(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，请直接写出点P【答案】(1)y=(2)D2,8或(3)3,-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设D2,t，则BD2=16+t2，BC（3）过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，由PF∥AE，可得△PMF∽△AME，MPAM=PFAE，设Pt,【详解】（1）解：解：∵抛物线y=ax2+bx+c过A-2,0、∴4a-2b+c=036a+6b+c=0解得：a=14∴抛物线解析式为y=1（2）解：∵抛物线解析式为y=∴抛物线的对称轴为直线x=2，设D2,t∴BD2=2-62当∠DBC=90°时，则DB∴t2解得：t=8，∴D2,8当∠DCB=90°时，则D16+t解得t=-7，∴D2,-7综上所述：D2,8或D（3）解：如图，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，∴PF∥AE∴△PMF∽△AME，∴MPAM=设直线BC的解析式为y=kx+d，∴6k+d=0d=-3，解得k=12∴直线BC的解析式为y=12设Pt,14t∴PF=12∵A-2,0，∴E-2,-4，∴AE=4，∴MPAM=∴当t=3时，MPAM有最大值916∴此时P的坐标为3,-15【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想．题型02二次函数线段和、差最值1）线段和最小问题图形条件如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.结论当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长.当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.36．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A-1,0，C0,3两点，并交x轴于另一点B，点M(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接AH、DH，求【答案】(1)该抛物线的表达式为y=-x(2)AH+DH的最小值为13【分析】本题考查待定系数法求解析式和利用轴对称求最小值；（1）利用待定系数法求解抛物线表达式即可；（2）利用轴对称求最小值即可，AH+DH的最小值为BH+DH即BD，通过勾股定理求解即可．【详解】（1）把A-1,0，C0,3代入y=-解得：c=3∴该抛物线的表达式为y=-x（2）由（1）得：抛物线的表达式为y=-∴对称轴x=1，顶点M1,4∴B(3,0)设直线AM解析式为y=kx+m，将M1,4，A-1,0代入得：k+m=4∴直线AM解析式为y=2x+2，∴当x=0时，y=2∴D(0,2)∵点A关于对称轴的对称点为点B(3,0)∴AH+DH的最小值为BH+DH即BD∴.BD=∴AH+DH的最小值为1337．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B，C-2，(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q是抛物线对称轴l上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；(3)如图2，若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求12PK+PD的最大值及此时点【答案】(1)y=(2)1,-32(3)最大值为258，此时点P的坐标为【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式等等：（1）先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）连接CQ，AQ，BQ，由对称性可得CQ=BQ，则CQ+AQ=BQ+AQ，故当A，B，Q三点共线时，此时BQ+AQ的值最小，即此时AQ+CQ的值最小，最小值即为AB的长，由对称性求出B4，0，再求出点A的坐标为0，-2，即可得到直线AB的表达式为y=12（3）设Pp,14p2-12p-20<p<4，则【详解】（1）解：∵顶点坐标为1，∴设抛物线的表达式为y=ax-1将C-2，0代入y=a解得a=1∴抛物线的表达式为y=1（2）解：如图，连接CQ，∵点B与点C关于对称轴对称，∴CQ=BQ，∴CQ+AQ=BQ+AQ，∴当A，B，Q三点共线时，此时BQ+AQ的值最小，即此时AQ+CQ的值最小，最小值即为AB的长，∵顶点坐标的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵C-2∴B4在y=14x2∴点A的坐标为0，设直线AB的表达式为y=mx+nm≠0将点B4，0，A0，解得m=1∴直线AB的表达式为y=1将x=1代入y=12x-2∴点Q的坐标为1，∵OA=2，OB=4，∴AB=4∴AQ+CQ的最小值为25（3）解：由（2）知抛物线的对称轴为直线x=1，B4，0，直线AB设Pp,令12x-2=1∴Dp,0，K∴PK=-12p∴1∵-12<0∴当p=32时，12PK+PD的值最大，最大值为25838．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)37(3)存在，Q1,3或Q1,1【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点D关于x轴的对称点D'，连接D'M，D'M与x轴的交点即为点H（3）分DM，DP，MP分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c∴-1-b+c=0c=3，解得：b=2∴y=-x（2）∵y=-x∴M1,4设直线AM:y=kx+m(k≠0)，则：-k+m=0k+m=4，解得：k=2∴AM:y=2x+2，当x=0时，y=2，∴D0,2作点D关于x轴的对称点D'，连接D则：D'0,-2，∴当M,H,D'三点共线时，MH+DH有最小值为

∵D'0,-2，∴D'即：MH+DH的最小值为：37；（3）解：存在；∵y=-x∴对称轴为直线x=1，设Pp,t，Q当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：①DM为对角线时：1+p=0+1t+n=4+2

∴p=0t+n=6当p=0时，t=3，∴n=3，∴Q1,3②当DP为对角线时：0+p=1+12+t=4+n

∴p=22+t=4+n当p=2时，t=-2∴n=1，∴Q1,1③当MP为对角线时：1+p=0+14+t=2+n

∴p=0n-t=2当p=0时，t=3，∴n=5，∴Q1,5综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q1,3或Q1,1或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．2）线段差最大问题图形条件如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.结论当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线y=ax²+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A(-1，(1)求抛物线与直线AC的解析式；(2)点P在抛物线的对称轴上，且使得PA-PC的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；(3)在（2）的条件下，已知点D是线段AC上(不含端点A，C)的一个动点，过点D作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，求线段DF的最小值．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，直线AC的解析式为y=3x+3(2)1,2(3)12【分析】（1）运用待定系数法求一次函数、二次函数解析式，即可作答．（2）先作图，根据内心定义，得出直线BC或直线AC1与对称轴的交点即为Q点，求出直线BC的解析式为y=-x+3，代入（3）运用分类讨论，①当直线l经过点A，C1时，则根据勾股定理得在Rt△DEF中，则有DF=23a2+a2=139【详解】（1）解:∵抛物线y=ax²+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A(-1，∴a-2+c=0解得a=-1∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3当x=0时，y=3∴点C的坐标为0，设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A，C的坐标代入，得-m+n=0解得m=3∴直线AC的解析式为y=3x+3，（2）解：由y=-x²+2x+3可知：对称轴为直线x=-b连接AC并延长交于对称轴，交点即为点P，此时PA-PC的值最大，把x=1代入y=3x+3，解得y=6∴点P的坐标为(1，设点C关于直线x=1对称的点为C1要使得△PMN的内心始终在对称轴上，根据对称性，直线l必经过BC或经过AC即直线BC或直线AC1与对称轴的交点即为设点直线BC的解析式为y=mx+n把点B(3，0)和点C的坐标0得0=3m+n解得m=-1根据点B(3，0)和点C可求出直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=2，根据对称性，直线AC与对称轴的交点也为Q，坐标均为(1，（3）解：由于直线l有两条，分两种情况分析：①当直线l经过点A，C1设直线AC1把C12，3得3=2p+q解得p=1∴直线AC1的解析式为设点D的纵坐标为a，把y=a代入直线AC和直线A可得x∴DE=又∵EF=a，在Rt△DEF中，则有由题可知，0<a<3，∴此时DF不存在最小值，②当直线l经过点B，设点D的纵坐标为a，把y=a代入直线AC和直线BC可得x∴DE=∴EF=a在Rt△DEF中，则有令t=∴当a=4825时，t即当点D的纵坐标为4825则DF=DF有最小值为12【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，涉及待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称性质，勾股定理，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．40．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM-CM的值最大，求点M的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y=(2)点P的坐标为12,0或(1,0)或(3,0)或(3)M【分析】（1）首先得点A(0,1)，B(1,0)，那么把A，