重难点16 几何压轴突破四 几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解+专题训练）（解析版）

第四章三角形重难点16几何压轴突破四几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解+专题训练）【题型汇总】类型一胡不归模型【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.【模型详解】条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.图示：解题步骤：作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.【模型拓展】对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.题型01已有相关角直接作垂线1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

【答案】6【分析】过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性质得到OE=12OA=2，进而求出BE=BO+EO=6【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，连接CO并延长交AB于点F，连接AO

∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+12BP故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+【答案】6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点B'，可证ΔABB'是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝12AC，则2BC＋AC=2B'C+CH，即当点B'，点【详解】解：∵一次函数y=33x-3分别交x轴、y轴于∴点A（3，0），点B0∴AO＝3，BO=3∴AB=O作点B关于OA的对称点B'，连接AB'，B'C，过点C作CH∴OB=OB∴BB'∴AB=AB∴ΔAB∵AO⊥BB∴∠BAO=1∵CH⊥AB，∴CH=1∴2BC+AC=2BC+∴当点B'，点C，点H三点共线时，B'C+CH有最小值，即2BC此时，B'H⊥AB，∴BH＝AH=3∴B'∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为【答案】43【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝12BM，于是可得AM+12BM的最小值即为【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，∴MH＝12BM∴AM+12BM＝AM+MH∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝43，∵AM+MH≥AT，∴AM+MH≥43，∴AM+12BM≥43∴AM+12BM的最小值为43故答案为：43．【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+【答案】2【分析】过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出∠BAF=30°，然后利用含30°的直角三角的性质得出PQ=12AP，则CP+12AP=CP+PQ≥CH，当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+12AP最小，CP+【详解】解：过点P作PQ⊥AB于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，由题意知：AF平分∠BAC，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，∴∠BAF=1∴PQ=1∴CP+1∴当C、P、Q三点共线，且与AB垂直时，CP+12AP最小，CP+∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，∴AB=2AC=8，∴BC=A∵S△ABC∴CH=AC⋅BC即CP+12AP故答案为：23【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30°的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．5．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-D-C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D【答案】0,【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB【详解】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'∵运动时间t=AD∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，∴AB=AC=O∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴ADAB∴DH=1∴14∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，∴1∴CM=15∴AM=A∵AD'=4MD'则有：16∴m=71530∴A∴D0,故答案为0,15【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OB=3，点M在线段AC上，且AM=2．点P为线段

（1）∠OBC=°；（2）MP+12PB【答案】302【分析】（1）由矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，∠ABC=90°，又由AB=OB得到△OAB是等边三角形，则（2）过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，证明MP+12PB=MP+PE≥MF【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD，∵AB=OB，∴AB=OB=OA，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°，故答案为：30．（2）过点P作PE⊥BC于点E，过点M作MF⊥BC于点F，

在Rt△BPE由（1）知：∠PBE=30°，∴PE=1∴MP+1在矩形ABCD中，AC=2OA=2OB=6，∵AM=2，∴CM=AC-AM=6-2=4，在Rt△CMF中，∠MCF=∠OBC=30°∴MF=1∴MP+12PB故答案为：2．【点睛】此题考查了矩形的性质、含30°的直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．7．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-43x-4分别与x，y轴交于点A，B(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是0,6，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点【答案】(1)y=(2)①点E在抛物线上；②P（0，−32【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，sin∠ABO=AOAB=HPBP=35，则HP=【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，当y=0时，-4∴x=-3，∴A（-3，0），B（0，-4），把A、B代入抛物线y=5得518∴b=-1∴抛物线解析式为y=5（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E到x轴的距离为6-3=3，∴点E的坐标为（6，3），当x=3时，y=5∴点E在抛物线上；②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，∵A（−3，0），B（0，−4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝5，∵sin∠ABO=∴HP=3∴35∴HP＋PE的最小值为EH的长，作EG⊥y轴于G，∵∠GEP＝∠ABO，∴tan∠GEP＝tan∠ABO，∴PGEG∴PG6∴PG＝∴OP＝92−3＝3∴P（0，−32【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将35BP转化为8．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接BD，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=BF，连接DE，DF，EF．(1)如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段BD上的一个动点，连接PF，求PF+3【答案】(1)60°(2)不改变，见解析(3)3【分析】（1）由菱形ABCD可得AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠BCD=60°，从而△ABD，△BCD是等边三角形，根据“三线合一”可得∠EDB=12∠ADB=30°，AE=12AB，进而证得点F是边（2）由（1）得到△ABD，△BCD是等边三角形，从而AD=BD，∠DAB=∠DBC=60°，进而证得△ADE≌△BDFSAS，得到∠ADE=∠BDF，从而∠EDF=∠ADB=60°（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG'⊥AD于点G'，交BD于点P'，则GP=DP⋅sin∠ADB=32DP，因此PF+32DP=PF+GP，当点F，P，G三点共线，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∵点E是边AB的中点，∴∠EDB=12∠ADB=∵AE=BF，∴BF=∴点F是边BC的中点，∴∠BDF=1∴∠EDF=∠EDB+∠BDF=30°+30°=60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明如下：由（1）得到△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD=BD，∠DAB=∠DBC=60°，∵AE=BF，∴△ADE≌△BDFSAS∴∠ADE=∠BDF，∴∠EDF=∠BDE+∠BDF=∠BDE+∠ADE=∠ADB=60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG'⊥AD于点G'，交∵∠ADB=60°，∴在Rt△DPG中，∴PF+3∴当点F，P，G三点共线，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH=FG∴PF+32DP∵DH⊥BC，△BCD是等边三角形，∴DH=CD⋅sin∴PF+32DP【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短，解直角三角形．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用转化思想是解题的关键．9．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+2ax-3a与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为23．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿CP运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿PA运动到点【答案】2【分析】如图，连接AC,BC，作AD⊥BC于点D，AD与EC交点即为符合题意的点P，可得AB=AC=BC，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为CP2【详解】如图，连接AC,BC，作AD⊥BC于点D，AD与EC交点即为符合题意的点P，令y=0，则ax解得x=-3或x=1，∴A，B两点坐标为-3，0，∴AB=4，∵A，B两点关于l对称，∴AE=BE=2，∵顶点C到x轴的距离为23∴AC=BC=∴AB=AC=BC，∵AD,CE都是△ABC的高，∴AD=CE=23由题意得动点运动的时间为CP2∵△ABC是等边三角形，CE⊥AB，∴∠PCD=1∵作PD⊥CD，∴PD=1∴12显然在l上另取一点P'，连接P∵P'∴当PA+PD=AD时，运动时间最短为23故答案为：23【点睛】本题考查最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．题型02构造相关角再作垂线10．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°,DF=12DC,2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∴DF=1∵2AD+DC=2(AD+＝2(AD+DF)，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B=∠ADB=60∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD=AB=4，在Rt△ABC中，∴BC=8，∴DC=4，∴DF=1∴AF=AD+DF=4+2=6，∴2(AD+DF)=2AF=12，∴2(AD+DC)的最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．11．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，C(-3，0)两点，与y轴交于点B(0A．2 B．2 C．22 D．4【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求22BP+AP最小值转化为求PG+AP的最小值；连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H；由B、C的坐标得OB=OC，则有∠OBC=45°，从而PG=2【详解】解：连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点∵C(-3，0)∴OC=OB，∴∠OBC=45°，∴PG=2∴22∴22BP+AP∵A(1，0)∴AC=1-(-3)=4，在Rt△ACH∵∠ACH=45°，∴AH=2∴22BP+AP故选：C．12．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．【答案】42【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4×2∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42故答案为：42【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．13．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，则OD+12CD【答案】5【分析】过点C作关于AE的平行线，过点D作DH垂直于该平行线于H，可将12CD转化为DH，此时OD+12CD【详解】解：如图所示，过点C作关于AE的平行线，过点D作DH垂直于该平行线于H，∵CH//AB，∠CAE=30°，OC=OA，∴∠HCA=∠OCA=30°，∴sin∠HCD=HD∴1∴OD+1∵当O，D，H三点共线，即在图中H在H'位置，D在D'位置的时候有OD+DH最小，∴当O，D，H三点共线时，OD+1此时OH'=OC×sin∴OD+12CD故答案为53【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将1214．（2020九年级·新疆·学业考试）如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【答案】12【分析】过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，在Rt△DFC中，∠DCF=30°，DF=12DC，2AD+DC=2(AD+12DC)=2(AD+DF)当A，D，F【详解】解：过点C作射线CE，使∠BCE=30°，再过动点D作DF⊥CE，垂足为点F，连接AD，如图所示：在Rt△DFC中，∠DCF=30°∴DF=1∵2AD+DC=2(AD+=2(AD+DF)，∴当A，D，F在同一直线上，即AF⊥CE时，AD+DF的值最小，最小值等于垂线段AF的长，此时，∠B=∠ADB=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD=AB=4，在Rt△ABC∠A=90°，∠B=60°，AB=4，∴BC=8，∴DC=4，∴DF=1∴AF=AD+DF=4+2=6，∴2(AD+DF)=2AF=12，∴2AD+DC的最小值为12，故答案为：12．【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．15．（2021九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE＋CE的最小值为【答案】3【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ET=12AE，推出12AE+EC＝CE+ET≥CH答案详解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB=CB∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝23，在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ET=12∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝23，∴CH＝AC•sin6°＝23×3∵12AE+EC＝CE+ET≥CH∴12AE+EC≥3∴12AE+EC的最小值为3故答案为3．16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线y=k8x+2x-4（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线

(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【答案】(1)y=(2)-2,2【分析】（1）由点B的坐标求出直线BD的解析式，再由点D的横坐标代入直线BD的解析式求出点D的坐标，然后将点D的坐标代入抛物线解析式求k，从而得到抛物线的函数表达式；（2）过点D作DE⊥x轴于点E，过点D和点F分别作x轴的平行线和y轴的平行线，交于点N，过点A作AH⊥DN于点H，由点B和点D的坐标求线段DE、BE和BD的长度，得到∠DBE=30°，结合速度可知时间为AF+12DF，然后利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”得12DF=NF【详解】（1）解：对于y=k8x+2x-4，当y=0时，∴A-2,0，B将点B4,0代入y=-3∴b=4则直线BD的解析式为：y=-3当x=-5时，y=-3∴D-5,3将点D-5,33代入y=k∴k=8∴抛物线的表达式为：y=3（2）由题意得：点M的运动时间为AF+1过点D作DE⊥x轴于点E，

∵D-5,33，∴DE=33，EB=9，BD=6∴∠DBE=30°，过点D和点F分别作x轴的平行线和y轴的平行线，交于点N，∴∠DBE=∠FDN=30°，∴NF=1∴AF+1过点A作AH⊥DN于点H，此时AF+NFmin∴AH与直线BD的交点即为所求点F，∵A-2,0∴当x=-2时，y=-3∴点F的坐标为-2,23时，点M【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“30°角所对的直角边是斜边的一半”将12DF进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点17．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A，B两点，若AB=m，函数y=ax2(1)求该抛物线的解析式；(2)如果将该抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G．当函数y1=kx-1+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求(3)在（2）的条件下，当k取最大值时，函数y1=kx-1+2k的图象与图形G的对称轴交于点P，若过P作平行于x轴的直线交图形G于点Q，过点Q作y轴的平行线交函数y1=kx+1-2k的图象于点R，D为线段RQ上的一点，动点C从点R出发，沿RD→DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为5单位长度每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒．求当点【答案】(1)y=(2)1≤k≤2(3)D-2,7【分析】（1）令y=0，解方程求得AB=4，得出m=4，进而根据二次函数的性质，得出-4a=-4求得a的值，即可求解；（2）先得出y1=kx-1+2k过点-2，-1，根据题意画出图象，观察函数图象可得当y1=kx-1+2k过点A时，与抛物线有3个交点，当y1=kx-1+2k与抛物线（3）根据题意得出k的最大值为2，则y1=2x+3，解方程得出Q-2,5【详解】（1）解：令y=ax解得：x1∴A-1,0∴AB=4，∵AB=m，∴m=4，∵m+n=0，∴n=-4，∵y=ax∴-4a=-4，解得：a=1，∴抛物线解析式为y=x（2）解：∵y1=kx-1+2k=kx+2-1，当∴y1=kx-1+2k如图所示，当y1=kx-1+2k过点A时，与抛物线有将A-1,0代入y即-k-1+2k=0解得：k=1，依题意，当-1<x<3时的抛物线解析式为y=-x当y1=kx-1+2k与抛物线∴y消去y得，x∴Δ解得：k=2或k=10（舍去）结合函数图象可得：当函数y1=kx-1+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，（3）∵1≤k≤2∴k的最大值为2∴y∵A∴抛物线的对称轴为直线x=1∴当x=1时，y=2x+3=5，则P当y=5时，x2解得：x1∴Q-2,5或Q当Q-2,5时，如图所示，则PQ=1--2令x=-2，代入y=2x+3=-1，则R∴RQ=6，则PQ=35∴tan∠PRQ=1如图所示，作P关于RQ的对称点P'，则P-5,5，过点D作DN⊥P.∴∠∴ND=sin依题意，点C在RD上运动的速度为5单位长度每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒．∵PD+ND≥PN，当D在PN上时，取得最小值，即点C运动的时间最短时，此时如图所示，∵∠RDN=∠QDP,∠PQD=∠DNR=90°，∴∠DQP=∠DRN，∴tan∠QPD=∴PQ=2DQ，∴DQ=3∴D-2,当Q4,5时，如图所示，同理可得DQ=1∴D4,综上所述，D-2,72【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的性质，二次函数的几何变换，一次函数与二次函数交点问题，解直角三角形，胡不归问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．【尝试初探】（1）如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，∠BAD=120°，求AC的长；【深入探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=82，求BD【拓展延伸】（3）如图③，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=23，延长DA,CB相交于点E，DE⊥CE，P是线段AC上一动点，连接PD，求2DP+CP【答案】（1）10；（2）8；（3）62【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值．（1）易证△ABC≌△ADC(HL)，从而可得∠BAC=12∠BAD=60°，∠ACD=（2）如图2，取AC的中点O，连接OB、OD，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明△BOD是等腰直角三角形，OD=OB=12AC=4（3）由已知可以求得证明∠ACD=∠ACB=12∠BCD=15°，∠CAD=105°，再构造含30度的直角三角形求出CD=CQ+DQ=6+43，再利用胡不归模型构造【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，AC=AC；∴Rt△ABC≌∴∠BAC=∠CAD=1∴∠ACD=90°-∠CAD=30°，∴AC=2AD=10．（2）如图②，取AC的中点O，连接OB、OD，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴OD=OC=12AC∴∠ODC=∠OCD，∠OBC=∠OCB，∴∠AOD=∠ODC+∠OCD=2∠OCD，∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OCB；∴∠AOD+∠AOB=2(∠OCD+∠OCB)，即∠BOD=2∠BCD，∵∠BCD=45°，∴∠BOD=90°，又∵OD=OB=1∴BD=O（3）如图③，过点A作AF⊥CD，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，∴∠ABC=120°，∠ABE=60°，又∵DE⊥CE，∴∠BAE=90°-∠ABE=30°，∴∠DAB=150°，∴∠DCB=360°-∠DAB-(∠ADC+∠ABC)=30°，在△ABE和△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°∴△ABE≌△ADF(AAS∴AF=AE，∵AF⊥CD，AE⊥EC，∴∠ACD=∠ACB=1∴∠CAF=90°-∠ACD=75°，∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=105°过点A作AQ⊥AD交CD于点Q，∴∠AQD=90°-∠ADC=30°，∠QAC=∠CAD-∠DAQ=105°-90°=15°，∴DQ=2AD=43，AQ=∵∠QAC=∠ACD=15°，∴AQ=CQ=6，∴CD=CQ+DQ=6+43如图④，作∠ACG=30°，过点P作PH⊥CG，垂足为H，过点D作DN⊥CG，垂足为N，交AC于M，∴PH=12PC∴DP+PH=DP+12PC∵DP+PH≥DN，当点P在点M位置时，点H与N重合，DP+PH取最小值，最小值为32∴DP+12PC∴2DP+PC最小值为6219．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，C3,0，点A2,m、B(1)求反比例函数的解析式，并证明△ABC为直角三角形；(2)在x轴上求作一点P，使PB+12PC的值最小，写出点【答案】(1)y=6(2)P6-33【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，通过证明△ACE≌△CBD（HL），得到A，B两点的坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，通过全等得到∠CAE=∠BCD（2）过点C在x轴下方作射线CN，使∠OCN=150°，过点B作BM⊥CN，垂足为M，交x轴于点P，则∠PCM=30°，根据解直角三角形求出PM=12PC，根据“垂线段最短”可知，此时PB+12PC的值最小，过点B作BF⊥x轴，垂足为【详解】（1）解：如图1，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠AEC=∠CDB=90°，∵点C3,0，A2,m，∴EC=BD=1，∵∠AEC=∠CDB=90°，∴△ACE≌△CBD（∴CD=AE=m，∴OD=3+m=n，∴点B的坐标是3+m,1，∵点A2,m,B3+m,1在反比例函数∴2m=3+m×1，解得∴点A的坐标是2,3，点B的坐标是6,1，∴k=2×3=6，∴反比例函数的解析式是y=6x∵△ACE≌∴∠CAE=∠BCD，又∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ACE+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC为直角三角形；（2）如图2，过点C在x轴下方作射线CN，使∠OCN=150°，过点B作BM⊥CN，垂足为M，交x轴于点P，则∠PCM=30°，∴PM=PC⋅sin30°=∴PB+1根据“垂线段最短”可知，此时PB+1过点B作BF⊥x轴，垂足为F，∵BF=1，∴sin∴PB=∴OP=6-3∴P6-∴PM=1∴PB+1综上可知，点P6-33,0使【点睛】本题考查了求反比例函数综合，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，垂线段最短，正确作出辅助线构造直角三角形，是解题关键．类型二阿氏圆模型使用场景已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值类型点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)图示解题策略第一步:在OB上取点D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值【模型总结】对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.题型01两点在圆外：向内取点（系数小于1）20．（2024·山东泰安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP=13PA，可得1【详解】解：如图，在CA上截取CM，使得CM=1，连接PM，PC，BM．∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC∴PCCA∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA∴MP=1∴13∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∠BCM=90°，CM=1，CB=22∴BM=C∴13∴13AP+BP的最小值为故选：C．21．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（

）A．8 B．263 C．233 D【答案】B【分析】根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在BC上取一点F，使BF=83，连接EF，由矩形的性质可得BC=AD=6，CD=AB=8，推出CF=103，证明△BEF∽△BCE，得到EF=23CE，推出DE+23CE=DE+EF，即当D、【详解】解：根据题意可得：点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，在BC上取一点F，使BF=83，连接∵矩形ABCD中，AB=8，AD=6，∴BC=AD=6，CD=AB=8，∴CF=BC-BF=6-8∵EB=4，∴BEBC又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BCE，∴EFCE∴EF=2∴DE+2∴当D、E、F共线时，DE+23CEDF=C故选:B．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线．22．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+1A．92 B．132 C．4 D【答案】D【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在BC上取点G，使BG=32，连接FG，DG，证明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，则DF+12FC=DF+GF≥DG，当D、F、【详解】解：如图，在BC上取点G，使BG=32，连接FG，∵△ABE沿BE边翻折到△FBE，∴BF=AB=3，又∵BC=6，∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG=∠CBF，∴△FBG∽△CBF，∴GFCF∴FG=1∴DF+1当D、F、G三点共线时，DF+1在Rt△CDG中，CD=AB=3CG=BC-BG=4.5，∠BCD=90°，∴DG=C即DF+12FC故选：D．23．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是【答案】17．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明△PAT∽△BAP，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝AB∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB＝APAB＝∴PT＝12PB∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝AT2+A∴12PB+PC≥17∴12PB+PC的最小值为17故答案为17．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．24．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是【答案】17【分析】取点T(0,1)，连接PT，BT．根据OP2=OT⋅OA，有OPOT=OAOP，即可证明△POT∽△AOP，即有PTPA=【详解】解：如图，取点T(0,1)，连接PT，BT．∵T(0,1)，A(0,4)，B(4,0)，∴OT=1，OA=4，OB=4，∵OP=2，∴OP∴OPOT∵∠POT=∠AOP，∴△POT∽△AOP，∴PTPA∴PT=1∴PB+1∵BT=1∴PB+PT≥17∴BP+12AP≥17，（当B、∴BP+12PB故答案为：17．【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．25．（2021九年级·全国·专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．【答案】①37；②237；③2373；【分析】①在CB上取点D，使CD=1，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证△DCP∼△PCB，即可得出PD=12BP，从而推出AP+12BP=AP+PD，说明当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为②由2AP+BP=2(AP+1③在CA上取点E，使CE=23，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证△ECP∼△PCA，即可得出EP=13AP，从而推出13AP+BP=EP+BP，说明当B、P、E三点共线时，EP+BP④由AP+3BP=3(1【详解】解：①如图，在CB上取点D，使CD=1，连接CP、DP、AD．∵CD=1，CP=2，CB=4，∴CDCP又∵∠DCP=∠PCB，∴△DCP∼△PCB，∴PDBP=1∴AP+1∴当A、P、D三点共线时，AP+PD最小，最小值即为AD长．∵在Rt△ACD中，AD=A∴AP+12BP②∵2AP+BP=2(AP+1∴2AP+BP的最小值为2×37③如图，在CA上取点E，使CE=23，连接CP、EP、∵CE=23，CP=2，∴CECP又∵∠ECP=∠PCA，∴△ECP∼△PCA，∴EPAP=1∴13∴当B、P、E三点共线时，EP+BP最小，最小值即为BE长．∵在Rt△BCE中，BE=B∴13AP+BP的最小值为④∵AP+3BP=3(1∴AP+3BP的最小值为3×2【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．26．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x

(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+1【答案】(1)直线AD的解析式为y=x-1；抛物线解析式为y=(2)存在，点M的坐标为4,-3或0,5或5,0(3)41【分析】（1）根据对称轴x=3，AB=4，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当∠DAM=90°时，求出直线AM的解析式为y=-x+1，解方程组y=-x+1y=x2-6x+5，即可得到点M的坐标；②当∠ADM=90°时，求出直线DM的解析式为y=-x+5，解方程组（3）在AB上取点F，使BF=1，连接CF，证得BFPB=PBAB，又∠PBF=∠ABP，得到△PBF∽△ABP，推出PF=12PA，进而得到当点C、P、F【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴x=3，AB=4，∴A1,0将A1,0代入直线y=kx-1，得k-1=0解得k=1，∴直线AD的解析式为y=x-1；将A1,0,B5,0a+b+5=025a+5b+5=0，解得a=1∴抛物线的解析式为y=x（2）存在点M，∵直线AD的解析式为y=x-1，抛物线对称轴x=3与x轴交于点E．∴当x=3时，y=x-1=2，∴D3,2①当∠DAM=90°时，设直线AM的解析式为y=-x+c，将点A坐标代入，得-1+c=0，解得c=1，∴直线AM的解析式为y=-x+1，解方程组y=-x+1y=得x=1y=0或x=4∴点M的坐标为4,-3；②当∠ADM=90°时，设直线DM的解析式为y=-x+d，将D3,2得-3+d=2，解得d=5，∴直线DM的解析式为y=-x+5，解方程组y=-x+5y=解得x=0y=5或x=5∴点M的坐标为0,5或5,0综上，点M的坐标为4,-3或0,5或5,0；（3）如图，在AB上取点F，使BF=1，连接CF，∵PB=2，∴BFPB∵PBAB∴BFPB又∵∠PBF=∠ABP，∴△PBF∽△ABP，∴PFPA=BF∴PC+1∴当点C、P、F三点共线时，PC+12PA∵OC=5,OF=OB-1=5-1=4，∴CF=O∴PC+12PA

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．27．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E为BC，AC上的动点，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在线段DE的运动过程中，CD的长由2到23，求这一变化过程中，点P(3)连结PA，PB，求【答案】(1)16(2)1(3)145【分析】（1）先利用勾股定理求出AB=10，根据DE∥AB，证明（2）连接CP，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出CP=2，再根据当CD=2时，△DCP为等边三角形，∠DCP=60°；当CD=23时，∠DCP=30°，得到弧的圆心角为30°（3）在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF，利用相似三角形的性质证明PF=14PB【详解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=A∵DE∥AB∴△CDE∽∴CDBC=DE∴CD=16（2）解：连接CP，∵∠C=90°，P为DE的中点，DE=4，∴CP=1∴点P运动的路线是以C为圆心，2为半径的一段圆弧，当CD=2时，△DCP为等边三角形，∠DCP=60°；当CD=23时，∠DCP=30°，得到弧的圆心角为30°则P运动的路程即为圆心角为30°的弧的长度，即为30×2π（3）解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．28．（2021九年级·全国·专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋22AD（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋22AD【答案】（1）见解析；（2）2+1或2+5；（【分析】（1）利用SAS，即可证明△FCA≌△DCB；（2）分两种情况当点D，E在AB边上时和当点E，F在边AB上时，讨论即可求解；（3）取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，可证得△DCM∽△ACD，可得DM＝22AD，从而得到当B，D，M共线时，BD+22【详解】（1）证明：∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB=AC∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝=AC×sin∴BD+22AD＝=②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝BC×sin45°=2×2AD＝BD2+A∴BD+22AD＝2综上所述，BD＋22AD的值2+1或（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．则CM＝1，∵CD＝2，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴CDCA＝CM∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴DMAD＝CDAC＝∴DM＝22AD∴BD+22AD＝BD+DM∴当B，D，M共线时，BD+22AD最小值BM=C【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．29．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC

(1)求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是⊙O的切线；(2)如图2，作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；(3)如图3，若⊙O的半径为2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，最小值为11【分析】（1）①根据已知条件得到PCPA=PBPC，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC；②作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到AD=（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG=12OM=1，根据相似三角形的性质得到QG【详解】（1）证明：①∵PC∴PCPA∵∠CPA=∠BPC，∴△PCA∽△PBC，∴∠PCA=∠PBC；②作直径CF，连接AF，

则∠CAF=90°，∴∠F+∠FCA=90°，∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，∴∠PCA+∠FCA=90°，∵PC经过直径的一端点C，∴直线PC是⊙O的切线；（2）解：作直径BE，连接CE、AE．

则∠BCE=∠BAE=90°，∵CD⊥AB，∴AE∥∴∠ACD=∠CAE，∴AD=∴AD=CE=2，∵BC=6，∴在Rt△BCEBE∴BE=210∴R=10（3）解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，

∵MO=2，∴OG=1∵⊙O的半径r=OQ=2∴OQ∵∠MOQ=∠QOG，∴△MOQ∽△QOG，∴QGQM∴QG=2∴PQ+2根据两点之间线段最短，此时PQ+2∴PQ+22QM∴存在，PQ+22QM【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．题型02两点在圆内：向外取点（系数大于1）30．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT=2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．利用两点之间线段最短得到CM+MT≥CT，利用勾股定理求出CT即可解题．【详解】解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OA=6，∴OM=OB=6，∵点D是OB的中点，∴OD=DB=3，OT=12，∴OM∴OMOD∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽∴DMMT∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，∵OC=2AC，∴OC=4，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OT=12∴CT=O∴CM+2DM≥410∴CM+2DM的最小值为410故答案为：41031．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，则CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5【答案】(1)37(2)2(3)13【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD=23，则有CDCP=CPCA=13，可证△PCD∽△ACP（3）延长OA到点E，使CE=6，连接PE,OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，当E,P,B三点共线时，得到最小值．【详解】（1）解：如图连接AD，∵AP+12BP=AP+PD∴当AP+AD最小，当点A,P,D在同一条直线时，AP+AD最小，∴AP+12BP在Rt△ACD中，CD＝1，∴AD=A∴AP+12BP故答案为：37；（2）解：如图连接CP，在CA上取点D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD=1∴13∴13AP+BP的最小值为故答案为：237（3）解：如图延长OA到点E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，连接PE,OP，∵OA=3，OB＝∴OAOP∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴当E,P,B三点共线时，取得最小值：BE=O故答案为：13．【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定．32．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．【答案】4【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT=2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．利用两点之间线段最短得到CM+MT≥CT，利用勾股定理求出CT即可解题．【详解】解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OA=6，∴OM=OB=6，∵点D是OB的中点，∴OD=DB=3，OT=12，∴OM∴OMOD∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽∴DMMT∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，∵OC=2AC，∴OC=4，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OT=12∴CT=O∴CM+2DM≥410∴CM+2DM的最小值为410故答案为：41033．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD【答案】13【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，如图所示，延长OA到E，使得CE=6，连接PE，OP，证明△AOP∽△POE，得到PE=2AP，则PB+2PA=PB+PE，故当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE，利用勾股定理求出BE=OE2【详解】解：如图所示，延长OA到E，使得CE=6，连接PE，∴OE=OC+CE=12，∴OAOP又∵∠AOP=∠POE，∴△AOP∽△POE，∴APPE∴PE=2AP，∴PB+2PA=PB+PE，∴当B、P、E三点共线时，PB+2PA有最小值BE，∴BE=O∴PB+2PA的最小值为13．故答案为：13．34．（2022·广西·一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，点D，E分别在半径AB，AC上，且BD＝CE＝2，点F是弧BC上的动点，连接DF，EF，则DF＋32EF的最小值为【答案】61【分析】连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，先证△FAE∽△GAF，得出FG=32EF，根据两点间距离最短得出FG+FD≥GD，即FD+32EF≥DG，当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即FD+32EF最短=DG，然后利用30°直角三角形先证求出AH【详解】解：连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵AEAF=4∴AEAF∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴EFFG∴FG=3∴FG+FD≥GD，即FD+当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即FD+32EF最短在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，∴AH=12AG=92，GH=∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=92∴GD=GH∴FD+3故答案为61．【点睛】本题考查圆与相似，解直角三角形联合应用，最短路径问题，勾股定理，利用辅助线构造三角形相似是解题关键．题型03一内一外提系数35．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．【答案】3【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．在AB上取点E，连接PE，使BE=32，证△PBE∽△ABP，得PE=12PA，在BD延长线上取BF=9，连接EF,PF，证△PBD∽△FBP，得PF=3PD，即PA+6PD=2【详解】解：在AB上取点E，连接PE，使BE=3∵AB=2BC=6，∴BPAB∵∠PBE=∠ABP，∴△PBE∽△ABP，∴PEPA∴PE=1在BD延长线上取BF=9，连接EF,PF．∵BD=1，则BFPB又∵∠PBD=∠FBP，∴△PBD∽△FBP，∴PFPD∴PF=3PD，∴PA+6PD=21∴当P为EF和圆的交点时PE+PF最小，即PA+6PD最小，且值为2EF，∵EF=B∴PA+6PD的最小值为2EF=337故答案为：337题型04隐圆+阿氏圆36．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、

【答案】1452/【分析】在OD上取一点G，使得OG=12,连接PG、CG．根据菱形的性质可知OC=6,OD=8，则OGOP=OPOD=14，结合∠GOP=∠POD，可得【详解】解：如图，在OD上取一点G，使得OG=12，连接

∵四边形ABCD为菱形，AC=12,BD=16，∴OC=12AC=6∵EF=4，P是EF的中点，∴OP=1∴OGOP又∵∠GOP=∠POD，∴△POG∽△DOP，∴GPPD=1∵PC+PG≥CG，∴当点G、P、C在同一直线上时，PC+1此时PC+14故答案为：1452【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．37．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM=2，N为边BC上一动点．连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为

【答案】6【分析】由折叠的性质可得，点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，利用相似三角形的性质得到PE=12PA，从而得到PA+2PC=212【详解】解：由题意可得：PM=BM=2∴点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，则BE=3

∵AM=AB-BM=4，MP=2∴MP又∵∠EMP=∠PMA∴△EMP∽△PMA∴PE∴PE=∴PA+2PC=2如下图所示，当且仅当P、C

CE=BE∴PA+2PC的最小值为：6故答案为：6【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把12PA转化为38．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14【答案】145【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF，利用相似三角形的性质证明PF=14PB【详解】解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB故答案为1452【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．39．（2021·广西南宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是．【答案】4【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=12PC，推出2PD+PC=2（PD+12PC）=2（PD+PT），根据PD+PT≥DT，求出【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q=12∠AOB=45°，∠APB=135°∴∠Q+∠APB=180°，∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC•OT，∴OPOC∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，∴PTPC∴PT=12PC∴2PD+PC=2（PD+12PC）=2（PD+PT∵PD+PT≥DT，DT=22∴2PD+PC≥42∴2PD+PC的最小值为42故答案为：42【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．40．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，A2,0、B0,2、C5,2、D4,4，点P在第一象限，且∠APB=135°，则

【答案】6【分析】取一点T22，0，以O为圆心，OT为半径作圆，与OD交于点F，连接PF，PC，FC，首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明【详解】解：如图所示，取一点T22，0，以O为圆心，OT为半径作圆，与OD交于点

∵A2,0、B0,2，∴OA=OB=2，OD=4以O为圆心，OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，∵∠Q=12∠AOB=45°∴∠Q+∠APB=45°+135°=180°，∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OF=22，∴OP∴OPOF∵∠POF=∠POD，∴△POF∽△DOP，∴PFPD∴2PD=4PF∴2PD+4PC=4PF+4PC=4过点F作FG⊥OA于点G，∵D4,4，OF=∴∠DOG=45°∴点F的坐标为12∵C5,2∴FC=∵PF+PC≥FC，即∴2PD+4PC的最小值是6故答案为：610【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．类型三梯子滑行模型模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型。图1图2【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB最大值。即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P，连