重难点12 几何压轴题二 相似模型（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）（原卷版）-2025年中考数学重难点突破

第四章三角形重难点12几何压轴题二相似模型（6大类型20种模型详解+20种模型专题训练）【题型汇总】类型一A型模型类型A型模型作平行线构造A型相似条件DE∥BC点D在线段AB上图示结论∆ADE∽∆ABC过点D作DE//BC交AC于点E，得“A字”相似模型，将转化为如图2，过点B作BC//DE交AE的延长线于点C，得“A字”相似模型,将转化为题型01直接用A型相似1．（2023九年级上·全国·专题练习）如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB=AC，拉杆EF∥BC，AE=16AB，EF=0.35米，则两梯杆跨度B、CA．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．1032．（20-21九年级上·吉林·阶段练习）如图，△ABO的顶点A在函数y＝kx（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k

A．9 B．12 C．15 D．183．（2024·广东东莞·二模）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现．北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，AB=BC，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，且PD⊥BC，垂足为点D．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若tanC=12题型02构造A型相似1．（2020·湖北武汉·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，2．（20-21九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC的值．3．（2020·浙江杭州·一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若点O是线段BC中点．①求证：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k题型03反A型模型类型条件图示结论反A型模型∠1=∠2∆ADE∽∆ABC，AD•AC=AE•AB作垂线构造反“A”字相似模型∠B=90°，E为AB上的一点∆ADE∽∆ABC，AD•AC=AE•AB1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AC的长为．2．（2020·山东潍坊·二模）如图，在ΔABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）若AE=7，BC=6，求AC的长．3．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．4．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．

(1)求证：△ABE∽(2)当DC=CB，∠DFE=2∠CDB时，则AEBE-DECE(3)①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S,S1,②当DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，5．（2023·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图1，△ABC中，∠BED=∠BCA，求证：BDAB

【问题探究】（2）如图2，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，CD⊥BD于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，作EF⊥BC于点F，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；【问题拓展】（3）在（2）上述条件下，当FC=AC时，直接写出∠BCD的正切值tan∠BCD题型04作垂线构造反“A”字相似模型1．（2024九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为．

类型二X型模型类型X型模型作平行线构造X型相似条件AB∥CD=k图示结论∆AOB∽∆COD过点D作CD∥AB，交AO的延长线于点C，则可构造∆AOB∽∆COD，可得题型01直接用X型相似1．（2021·山东聊城·一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF

A．23 B．12 C．132．（22-23九年级上·北京房山·期中）如图，AD与BC交于O点，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的长．3．（2024·广东东莞·一模）如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm，CO=DO=30(1)若CD=40cm，求AB(2)将桌子放平后，两条桌腿叉开角度∠AOB=106°，求AB距离地面的高．(结果保留整数)(参考数值sin37°≈0.604．（20-21九年级上·四川达州·期末）某小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种花（如图所示）．（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2.当△AMD地带种满花后（图中阴影部分）花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；（2）若△AMB和△DMC地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪一种花，刚好用完所筹集的资金？5．（2021·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC=CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．题型02构造X型相似1．（21-22九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，G为△ABC的重心，AG=12，则AD=．2．（20-21八年级下·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE=．3．（20-21九年级上·全国·课后作业）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．题型03双反X型模型（蝶形模型）条件：∠OAB=∠ODC图示：结论：∆AOB∽∆DOC，∆AOD∽∆BOC1．（22-23九年级上·上海·期中）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．(1)求证：△ABC∽△ADE；(2)求证：DA•OC＝OD•CE．2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边△ABC中，G为BC中点，D、E分别是BC、AC上的两点，BD=CE．

(1)求证：∠BAD=∠CBE；(2)H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°，求AFFH迁移拓展：(3)如图2，等腰Rt△ABC中，G为斜边BC的中点，D为BG中点，BD=1．E是AC上的点，CE=2BD，H为EF上一点，若∠BHG+∠AFH=90°类型三母子相似题型01母子相似模型类型母子相似模型构造母子相似模型条件点D在AC边上，∠1=∠2∠ABE=∠C图示结论∆ACD∽∆ABC，延长BE交AC于点F∆ABF∽∆ACB过点C作CG∥BF交AB延长线于点G,∆ABC∽∆ACG1．（21-22九年级上·吉林长春·阶段练习）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB．【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．2．（2023·湖北武汉·模拟预测）探索发现；（1）如图1，在△ABC中，∠B=∠CAF；求证：AC初步应用：（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AB，BE⊥AD，连接CE、CD；求证：BEBD迁移拓展：（3）如图3，在△ABC中，∠B=∠CAF，H为AC上一点使CH=CF，过H作HG∥BC交AB于G，AG=AF，求BFCF

3．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD4．（2023·江苏淮安·三模）【探究发现】（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH=AD，连接CH．由∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为______，位置关系为

【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K．试判断BK与【拓展应用】（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一动点，连接BE交AD于点F①若BF=AC．求AE的长度；②在射线AD上取一点G，且AGCE=45，连接题型02射影定理模型类型射影定理作高用射影定理条件∠ABC=∠ADB=90°F,A,B三点共线，C,A,E三点共线，∠ACB=∠AFE=90°图示结论1）∆ABD∽∆ACB∽∆BCD2),,3）AB•BC=BD•AC（面积法）过点C作CD⊥AB于点D∆AFE∽∆ADC∽∆ACB∽∆CDB1．（2022·四川广元·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．2．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，△ABC被平行于CD的光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上．(1)指出图中线段AC的投影是______，线段BC的投影是______．(2)问题情景：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我们可以利用△ABC与△ACD相似证明A(3)【结论运用】如图2，正方形ABCD的边长为15，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接①试利用射影定理证明△BOF∽△BED；②若DE=2CE，求OF的长．3．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC①AD2=BD⋅DC；②AB∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD（依据）．∴BDAD=AD(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，点A在y轴上，求顶点4．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝210，CD＝2，则△ABE的面积为类型四一线三等角模型类型一线三等角模型（同侧型）一线三垂直模型（同侧型）条件∠B=∠D=∠ACE=α∠B=∠D=∠ACE=90°图示结论∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC∆ABC∽∆CDEABCD=BCDE=AC【一线三等角/一线三垂直的出题样式】题目中一般不会直接给出一线三等角模型/一线三垂直模型标准样式，需要结合题目信息，进行构建.以一线三垂直模型为例，当有直角三角形和过直角顶点的直线时，即可作垂线构造“一线三垂直”相似样型，当三个相等角不是直角时，亦可构造“一线三等角”相似模型.题型01一线三垂直模型1．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，(1)证明：△DAE∽△EGF(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF2．（2023·贵州铜仁·三模）如图1将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．(1)求证：△OCP∽△PDA；(2)如图2，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．探究：当点M、N在移动过程中，线段EF与线段3．（2024·广西玉林·三模）如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点H为AB上一动点，且2≤BH<4，截取HM=HB，且HM交线段AD于M，过M作HM的垂线MN交DC于N．(1)求证：△AHM∽△DMN；(2)如图2，若点M是AD的中点，求△DMN的周长；(3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，△DMN的周长如何变化？请说明理由．题型02一线三等角模型1．（2020九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、

(1)证明：△BDA∽△CED；(2)若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，(1)如图1，若∠A=∠B=∠DEC=50°，证明：△ADE∽△BEC．(2)如图2，若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且△ADE与E、B、C为顶点的三角形相似，求AE的长．3．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ．4．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α，线段BC与DE的数量关系是______；（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，写出变化后线段BC（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．类型五热考模型题型01对角互补模型【基础模型】条件：如图，在∆ABC中，∠C=∠DEF=90°，AE=BE图示：解题策略：方法一：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，由已知条件易证明∆EDM∽∆EFN，所以,由于,则.方法二：如图2，过点E作GE⊥AB交BC于点G,由已知条件易证明∆ADE∽∆GFE，∆BGE∽∆BAC，所以，，由于AE=BE，则结论：1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转，当OAOB=12时，OPOQ的值为；当OAOB=m2．（22-23九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图（1），在Rt△ABC中，∠B=90°，点D是AC边的中点．将一块直角三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转，使它的两条直角边分别与线段AB，BC交于点P，Q(1)如图（2），当DP⊥AB时，猜想线段AP，DQ之间的数量关系，并给予证明．(2)佳佳发现，在三角板旋转过程中，DPDQ=BC(3)当点P，B重合时，如图（3），线段AP，PQ，CQ之间满足一定的等量关系，请你探索AP，PQ，CQ之间的数量关系．3．（23-24九年级上·河南许昌·期末）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．

在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC,D是AB边上一点，且ADBD=1n（n为正整数），E是AC边上的动点，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线BC(1)【初步成知】如图1，当n=1时，以下是小亮和小红两位同学的证明片段，请仔细阅读并补全小红的证明过程．小亮：证明：连接CD．

由题意，可知AD=BD，即D为AB的中点．∴CD=AD=BD,CD平分∠ACB，CD⊥AB．∴∠ACD=∠BCD=∠B=45°,∠CDB=90°．∵ED⊥FD,∴∠EDF=∠CDB=90°．∴∠EDF-∠CDF=∠CDB-∠CDF．∴∠CDE=∠BDF．∴△CDE≌△BDFASA∴DE=DF．小红：证明：过点D作DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H．由题意，可知AD=BD,△ADN和△BDH均是等腰直角三角形，四边形CNDH是矩形．

∴AN=DN,NC=DH．易得DN∥BC,∴AD∴DN=DH．……(2)【深入探究】①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段DE,DF之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段DE,DF之间的数量关系的一般结论．（直接写出结论，不必证明）(3)【拓展运用】在（1）的条件下，连接EF，设EF的中点为M，若AC=4，请直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长．4．（2020九年级·河南·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝（用含m，n②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；题型02角含半角相似模型90°含45°120°含60°条件∠BAC=90°，∠DAE=45°,BA=AC∠BAC=120°，∠DAE=60°,AD=AE图示结论∆BAE∽∆ADE∽∆CDA∆BAE∽∆ADE∽∆CDA1．（2022·广东深圳·二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论BE⋅CD=AB2是否成立（填“成立”【类比引申】（2）如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF=【拓展延伸】（3）如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=92．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'中，___∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=___【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

3．（22-23九年级上·江苏徐州·期末）如图，在△PAB中，C、D为AB边上的两个动点，PC=PD．(1)若PC=CD,∠APB=120°，则△APC与△PBD相似吗?为什么?(2)若PC⊥AB（即C、D重合），则∠APB=_______°时，△APC∽△PBD；(3)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系时，△APC∽△PBD?请说明理由．题型03手拉手相似模型条件：在∆ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE，图示：解题策略：连接BD，CE,根据已知条件可证明∆ABD∽∆ACE结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC1．（2022·安徽合肥·三模）如图，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC'沿C'B'A．1 B．2 C．3 D．22．（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BD

3．（2021·山西·模拟预测）问题情境：如图1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥(1)在图1中，BDCE的值为(2)图1中△ABC保持不动，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置，其它条件不变，连接BD，CE，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)拓展探究：在图2中，延长BD，分别交AC，CE于点F，P，连接AP，得到图3，探究∠APE与∠ABC之间有何数量关系，并说明理由；(4)若将△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图4的位置，连接BD，CE，延长BD交CE的延长线于点P，BP交AC于点F，则（3）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠APE与∠ABC之间的数量关系．4．（22-23九年级上·山西临汾·期中）综合与实践问题情境：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到Rt△EBD，连接AE，连接CD并延长交AE于点猜想验证：(1)试猜想△CBD与△ABE是否相似？并证明你的猜想．探究证明：(2)如图，连接BF交DE于点H，AB与CF相交于点G，DHBH拓展延伸：(3)若CD=EF，直接写出BCAB5．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：如图1，在矩形ABCD中，AB=23，∠ABD=30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①AEDF=_____；②直线AE与DF所夹锐角的度数为（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为______．6．（2020·广东深圳·中考真题）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中，题型0412345模型模型简述：若两个锐角α、β满足tanα=12，tanβ=13【结论1】如图所示，在正方形网格中已知tan∠1=13，tan∠2=12【结论2】如图所示，已知tanα=12，∠EAF=45°，则tan∠DAF=正方形网格中构建如图所示矩形,假设正方形网格边长为1，则DF=1，AD=BC=3∴tan∠DAF=1【结论3】如图所示，已知tan∠DAF=13，∠EAF=45°，则tanα=⑥上右图，若两个锐角α、β满足tanα=2，tanβ=3，则α+β=135°【总结】1）需要强调α+β=45°是数量关系而非位置关系，如果这两个角距离很远，没有公共端点，但是满足tanα=12，tanβ=13，就有α+β=45°.实际上，tanα=12，tanβ=13，α2）“12345”模型的结论可在选择题、填空题中直接使用，但在解答题中不能直接使用.1．（2021·北京丰台·一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE=（点A，B，C，D，E是网格线交点）．2．（2023·山东滨州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为．3．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，点D是AC上一点，连接BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=

A．25 B．3 C．5 D．4．（2020·吉林长春·二模）如图，正方形ABCD中，AB=8，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（

）A．43 B．2 C．83 D5．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为BC，AB的中点，连接AE，点G是线段AE上一点，连接GF，延长FG交CD于点M，若AB=4，∠AGF=45°，则CM的长为．6．（22-23九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C2，0，点P为线段OB的中点，连结PA，PC类型六其它模型题型01三平行模型条件AB∥EF∥CD图示结论11．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长为．2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM-EF值为（

）

A．75 B．125 C．353．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在相对的两栋楼CD、EF中间有一堵院墙AB，甲、乙两个人分别在这两栋楼内观察这堵墙，根据实际情况画出平面图形(CD⊥DF．AB⊥DF．EF⊥DF)．甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处．点B是DF的中点．墙AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观察点到地面的距离的差．（结果精确到0.1米）．

4．（2022下·黑龙江大庆·八年级统考期中）如图，F为△BED的边BD上一点，过点B作BA∥EF交DE的延长线于点A，过点D作DC∥EF交BE的延长线于点(1)求证：1AB(2)请找出SΔABD，SΔ5．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）（1）【问题背景】如图1，AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点E，点F在BD上．求证：1AB

小雅同学的想法是将结论转化为EFAB（2）【类比探究】如图2，AE⊥AB，BD⊥AB，GH⊥AB，DE与BC相交于点G，点H在AB上，AE=AC．求证：1GH（3）【拓展运用】如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD交于点M，过点M作EF∥AB，交AD于点E，交BC于点F，连接EC，FD交于点N，过点N作GH∥AB，交AD于点G，交BC于点H，若题型02三角形内接矩形模型类型三角形内接正方形三角形内接矩形图示解题大招在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则在正方形GFED中，边长为a，则【提示】大招结论切勿死记硬背，解题时首先根据已知条件得到∆AGF∽∆ABC，从而得到，再将相关数值代入求解.1．（2023·内蒙古通辽·模拟预测）如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD=6cm，BC=12cm，则正方形MNPQ的边长为2．（2024·河南·三模）阅读与思考：下面是小华同学写的一篇数学小论文，请你认真阅读并完成相应学习任务：怎样作直角三角形的内接正方形？如果一个正方形的四个顶点都在直角三角形的三条边上，我们把这样的正方形叫做该直角三角形的内接正方形．那么怎样作出一个直角三角形的内接正方形呢？我们可以用如下方法：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作∠ACB的角平分线，交斜边AB于点D；然后过点D，分别作AC，BC的垂线，垂足分别为F，E，则DF=DE．（依据1）容易证明四边形DFCE用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．如图2，如果Rt△ABC的内接正方形的一边恰好在斜边AB第一步：过直角顶点C作CD⊥AB，垂足为D；第二步，延长AB到M，使得BM=AD，连接CM；第三步：作∠BDC的平分线，交MC于点E；第四步：过点E分别作DC，DB的垂线，垂足分别为P，K，EP交BC于点F，EP的延长线交AC交于G；第五步：分别过点F，G作AB的垂线，垂足分别为N，H．则四边形NFGH就是Rt△ABC的内接正方形，并且NH理由如下：易证四边形EPDK是正方形，EG∥∵EG∥AM，∴∠CGP=∠CAD，∠CPG=∠CDA，∴△CGP∽△CAD，同理可得：∴GPAD=学习任务：(1)材料中画横线部分的依据分别是：依据1：__________；依据2：__________．(2)请完成图2说理过程的剩余部分．(3)分析图2的作图过程，不难看出是将图2转化成图1去完成的，即先作图形EPDK，再将正方形EPDK转化为正方形NFGH，转化的过程可以看作是一种图形变换，这种图形变换是__________．（填出字母代号即可）．A．旋转

B．平移

C．轴对称

D．位似3．（2023·湖南长沙·二模）如图，已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC边上，G、H分别在AC、AB上，则内接矩形EFGH的最大面积为

4．（23-24九年级下·陕西西安·阶段练习）阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：①ADAB=AEAC=DEBC；②ADBD理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；

（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；

（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米，BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形．并求出对角线EG的最短距离（不要求证明）．题型03角平分线分线段成比例模型条件：已知AD平分∠BAC图示：结论：（即三角形一个内角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例）1．（2022·湖北黄冈·中考真题）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC＝BDCD．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明ABAC(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明ABAC＝BD(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长（用含m，α的式子表示）．2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）聪明好学的晨晨看到一课外书上有个重要补充：角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，于是他就和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BDCD可是他们依然找不到证明的方法，经过老师的提示：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，于是得到△BDE∽△CDA，从而打开思路．【问