山大《材料力学》教案

材料力学教案

山东大学土建与水利学院

工程力学系

目录

第一篇基本内容

第一章绪论

第二章杆件的内力截面法

第三章杆件的应力与强度计算

第四章杆件的变形简单超静定问题

第五章应力状态分析强度理论

第六章组合变形

第七章压杆稳定

第八章交变应力与疲劳极限

第二篇加深与扩展内容

第九章能量法

第十章超静定结构

第十一章动载荷

第十二章扭转与弯曲的几个补充问题

第十三章应力与应变分析

第十四章含裂纹构件的断裂

第十五章平面图形的几何性质

第1章绪论

一、基本要求

1.了解材料力学的任务；

2.理解对变形固体的基本假设；

3.理解内力、应力、应变等基本概念;

4.了解杆件变形的基本形式。

二、内容提要

1.材料力学的任务

1）术语

载荷作用于结构上的主动力统称为载荷或荷载

结构建筑物或机械承受载荷时起骨架作用的部分

构件结构的组成部分

2）构件的三项基本要求

足够的强度：构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。

足够的刚度：构件在外载作用下，抵抗变形的能力。

稳定性要求：构件在压力载荷作用下保持原有平衡状态的能力。

3）材料力学的任务

（1）研究构件的强度、刚度和稳定性；

（2）研究材料的刀学性；

（3）合理解决安全与经济之间的矛盾。

4）材料力学的的研究方法

（I）理论分析

（2）实验研究

2.变形固体的基本假设

1）变形固体固体因受外力作用而变形，故称为变形固体。材料力学研究

对象是变形固体。

2）变形固体的基本假设

连续性假设：假设组成固体的物质不留空隙地充满了整个体积，故固体在其

整个体积内是连续的。可把力学量表示为固体点的位置坐标的连续函数。

均匀性假设：假设固体内到处有相同的力学性能。从而可用局部反映整体。

各向同性假设：假设沿任何方向固体的力学性能都相同。

小变形

3.基本概念

1）内力在外力作用下，物体内部各部分之间相互作用力的变化量称为附

加内力，简称内力。

2）截面法用截面假想地把构件分成两部分,

以显示并确定内力的方法。

用截面法求内力的步骤为：

图1.1

（1）截开在欲求内力的截面处假想将杆件分为两部分，留下一部分（一

般为外力较少的一部分）为研究对象。

（2）代替用内力代替弃去部分对留下部分的作用力；

（3）平衡由留下部分的平衡条件，确定未知的内力。

3）应力单位面积上的内力。

平均应力pm=—（1.1）

AL-.­i•kFclF

全应力p=limpni=lim——=——

MTOA4->O^4dA

（1.2）

正应力垂直于截面的应力分量，用符号。表示。

切应力相切于截面的应力分量，用符号工表示。

应力的量纲：

国际单位制：Pa（N/n?）、MPa、GPa

工程单位制:kgf/m\kgf/cm2

4）变形在载荷作用下，构件的尺寸和形状发生变化

称为变形。

5）应变

线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是

构件上一点沿某一方向变形量的大小。平均线应变

MN'-MN

(1.3)

MNA5

MN-MN「△〃…、

线应变£=lim---------=lim——(1.4)

MNTQMNA。AS

切应变一点单元体两棱直角的改变量。

/=lim工-NZ/W(1.5)

2

4.杆件变形的基本形式

1）杆件：长度远大于横向尺寸的构件，称为杆件。图1.4杆件

主要几何因素是横截面和轴线，其中横截直是与轴线垂直的截面；轴线是

横截面形心的连线。

直杆轴线为直线的杆。

曲杆轴线为曲线的杆。形心轴线

等直杆横截面的形状和大小不变的直杆。D

横横曲

2）杆件的基本变形形式

形心釉观

（1）拉伸（或压缩）（图1.6（a））

受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相

图1.5

反，且与杆件轴线重合。变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。

(2)剪切(图1.6(b))

受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。变形:

杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，由矩形变为平行四边形。

■1I--TJ-

图1.6

(3)扭转(图1.6(c))

受力：在垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。

变形：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

(4)弯曲(图1.6(d))

受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂

直于杆件

轴线方向作用横向力。

变形：杆件轴线由直线变为曲线。

组合变形：杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。

第2章杆件的内力、截面法

一、基本要求

1.了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；

2.掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力;

3.熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。

二、内容提要

1.轴向拉伸和压缩

1)轴向拉伸或压缩的概念

受力特点：外力或合外力与轴线重合；

变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。

计算简图为：

图2-1

2)轴力

轴向拉压时,杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为

轴力。一般用乙表示，单位为牛顿(N)。

轴力的正负号规定：拉为正，压为负。

3）图

表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标

X轴表示横截叫立置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在X轴上

方，负的轴力画在X轴下方。

2.扭转

1）扭转的概念

受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反

的外力偶。

变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。

轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。

计算简图为:

图2-2

2）外力偶矩

传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速〃与传递的功

率。来计算。

当功率尸单位为千瓦（kW）,转速为〃（r/min）时，外力偶矩为

%=9549-（N.m）

n

当功率P单位为马力（PS）,转速为〃（r/min）时，外力偶矩为

M°=7024-（N.m）

n

3）扭矩、扭矩图

当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩一扭矩，用7表

Zjxo

扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，r矢量背离截面为正，指向截面为负

（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。

表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相

似。正的扭矩画在X轴上方，负的扭矩画在X轴下方。

3.弯曲内力

1）基本概念纵向对称面

变曲变形：杆件在垂直于其轴线的载荷作用]

下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变

形。尸产11

以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。U一一r

对称弯曲：工程中最常见的梁，其横截面一般轴线I1

至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线图23

的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面

内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条R-----------------.

修1九4

曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2・3所示。

2)梁的计算简图静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。

静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4(a)、

(b)、(c)所示。3)剪力和弯矩

剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力,

用&表示。

弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为

弯矩，用”表示。

剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为公的微段，若横截面上的剪力

使dX微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力尺规定为正，反之

为负(或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负)，如图2-5(a)、(b)

所示；若弯矩使公微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩M规定为正，反之

为负(或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负)，如图2-5(c)、(d)

zpiiiiticp

口O

所示o图2-5

根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力

在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力(顺为正，逆为负)；固定截面，若外

力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为

负的弯矩(上挑为正，下压为负)。4)剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标X

表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为X的函数，

即&=&(x)

M=M(x)

上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

5)剪力图和弯矩图

为了直观地表达剪力品和弯矩〃沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的

横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和

弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。

剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：

(1)剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：

第一，求支座反力。

第二，根据截荷情况分段列出入。)和Mfr)。

在集中力(包括支座反力)、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和

弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。

第三，求控制截面内力，作&、M图。一般每段的两个端点截面为控制截

面。在有均布载荷的段内，&的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其

弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力

方程和弯矩方程绘出。并注明ELax'MLax的数值。

（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和

弯矩图。

载荷集度4（%）、剪力&（X）与弯矩闻（x）之间的关系为：

也（X）=q(x)

dx

dM(x)

dx

d2M(x)也(x)

=仪x)

dx2dx

根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可挂知剪力图和弯矩图的形状。

（a）若某段梁上无分布载荷，即式x）=0,则该段梁的剪力&（x）为常量，剪

力图为平行于x轴的直线；而弯矩/（X）为x的一次函数，弯矩图为斜直线。

（b）若某段梁上的分布载荷=q（常量），则该段梁的剪力代（x）为x的

一次函数，剪力图为斜直线；而M（x）为x的二次函数，弯矩图为抛物线。当q>0

（今向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当g<0（9向下）时，弯矩图为向上凸

的曲线。

（c）若某截面的剪力代（%）=0,根据处"2=0,该截面的弯矩为极值。

dx

利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利

用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步

骤如下:

第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；

第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；

第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；

第四,确定|八|

I3Imax

\F\可能出现的地方：①集中力厂作用处；②支座处。可能出现的

ISJlmaxIImax

地方：①剪力月=0的截面；②集中力/,'作用处；③集中力偶必作用处。

6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力

刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。

平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组

成的结构。

各杆连接处称为刚节点。

刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反

力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。

平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的

方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的阡件组成，习惯上按下列约定：

弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴

线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定

与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负V

平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力

图的绘制方法，与刚架相类似。

三、典型例题分析

例2-1在图2-6（a）中，沿杆件

轴线作用居、凡。已知：E=6kN,

F2=18kN,B=8kN,居=4kN。试求各段

横截面上的轴力，并作轴力图。

解：1.计算各段轴力

4C段：以截面将杆分为两段，

取左段部分（图（b））。

由Z工=0得

FNI=F.=6kN

（拉力）

。段：以截面2・2将杆分为两段，

取左段部分（图（c））。

由2死=0得

FN2=FH

kN（压力）

&2的方向与图中所示方向相反。

段：以截面3・3将杆分为两段，取右段部分（图（d））。

由ze=o得

入3=一£=—4kN（压力）

心3的方向与图中所示方向相反。

2.绘轴力图

以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力乙，选取适当比

例，绘出轴力图（图（e））。在轴力图中正的轴力（拉力）画在x轴上侧，负的

轴力（压力）画在x轴下侧。

例2-2传动轴在组2-7(a)所示。主动轮4输入功率为P4=36kW,从动

轮尻C、。输出功率分别为几=&=11kW,Po=14kW,轴的转速为〃=300r/min。

试作轴的扭矩图。

解：1.计算各轮上的外力偶矩

MA=9549^-=1146N-m

/In

MB=MC=9549^-=

n

=9549生=446N-m

n

2.计算各段扭矩

段：以截面将轴分为两

5cI—I图2-7

段，取左段部分(图(b)l由平衡方

程

7；+%=0

得

T.=-MR=-350N-m

负号说明Tx所假定的方向与实际扭矩相反

同理，在。段内，

T2+Mc+MB=0

「

/=-MCC-MDR=-700Nm

在4。段内，

T广MD=446N-m

3.以横坐标x表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取

适当比例，绘出扭矩图。正的扭矩画在x轴上侧，负的扭矩

画在x轴下侧。I

例2・3图示简支梁受集中力尸作用，试利用剪力方程

和弯矩方程绘出该梁的剪力图和

弯矩图。解：1.求支反力。

由ZK=°，Z%(户)=°，得

图2-8

厂Fb「Fa

死二7，&二7

2.列剪力、弯矩方程

X

在力C段内，Fs(x)=FA=-^-,(0<x<iz)M(x)=FA'X=-^-,(0<x<67)

在宛段内

尼（X）=F=-N（"X</）

M(x)=%(1-x)=学(/7),(〃<X</)3.求控制截面内力，作剪

力图、弯矩图。

品图：在力。、C6段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x

%右=牛,左、右两侧截面的

轴的直线。在集中力F作用处，&c左二一I9

剪力值发生突变，突变量=华-(-r)=b；M图：在4C、C5段内，弯矩方

程”(X)均是工的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩

MA=MB=O,Me=与,标在M-x坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的

弯矩图。显然在集中力/；作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯

矩图斜率发生突变，因此在集中力少作用处弯矩图上为折角点。

例2-4受均布载荷作用的简支梁，如图2-9

所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力

FAy=FBy=7/2

图2-9

3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。

2(。)=生((/)=4

〃（0）=0,M（/）=0,"（介*

为max=^-

在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在

入=0处弯矩"取得极值。

例2-5如图2T0所示简支梁，在C点处受矩为Me的集中力偶作用，试作

梁的剪力图和弯矩图.

解：1.求支反力

由平衡方程ZM"）=0和£M/（户）=0得

L尸M,

F*=FB=-^

2.列剪力、弯矩方程

在AC段内

%（劝=%=,，（0<》4。）

弧（x）=FAy-x=^-x,（0<x<a）

在BC段内

^S2（X）=FBy=牛,（。W）

I

3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。

人（O）"sC）"牛

/W（o）=A/（/）=O,M右=今^~

在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为-牛-乎=/0,而

剪力图无改变。

例2-6如图2-11所示简支梁。试写出梁

的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩

图。

解：1.求支反力。

由平衡方程工〃8（户）=0和

图2-11

(户)=0求得

2.列剪力、弯矩方程

AC段：

3/

居(x)=F「qx=-ql-qx(0<x<-)

o2

iai/

M(x)=Fx--qx2=-qlx--qx2(0<x<-)

A2822

CB段：

心⑶=-弓=-，("x</)

M(x)=&(/-x)=|qlQ—x)4<x</)

o2

3.求控制截面内刀，绘。、M图

A图：AC段内，剪力方程氏(工)是x的一次函数，剪力图为斜直线，求出两

个端截面的剪力值，FSL/,Fsc=.ql，标在G-x坐标系中，连接两点

即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，

连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-11(b)所示。

M图：AC段内，弯矩方程A/(x)是x的二次函数，弯矩图为二次曲线，求

出两个端截面的弯矩，=0,A/。='夕/2,分别标在M—X坐标系中。在乙二o

处弯矩取得极值。令剪力方程大(刈=0,解得工=孑，求得物《/)=击/2,标

在M-x坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程MQ)

是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在x坐标系中，并连成直线。

AB梁的M图如图2-11(c)所示。

例2例梁的受力如图2-12(a)所示,试利用微分关系作梁的心、/图。

解：1.求支反力C

F=3k]|邙JjN.mHokNfm|

由平衡方程z储(户)=°和

户)=0求得_06m__06m>2m_

F=\0kN,5kN7kN

AFB=-0.5m_

2.分段确定曲线形状

3kNskN

由于载荷在力、。处不连续，应将梁2.4kN.m

分为三段绘内力图。l.25kN.m

1.2kN.m

l.8kN.m

图2-12

根据微分关系空a=g（x）,理警=心（对，亘辿舁=包3=贝幻，在

dxdxdx~dx

。和4。段内，q=0,剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；段内，q=常数，

且为负值，剪力图为斜直线，历图为向上凸的抛物线。

3.求控制截面的内力值，绘人、必图

人图：心E=-3kN,外伯=7kN，据此可作出C力和力。两段入图的水平

线。网『=7kN,FSBf.=-5kN,据此作出。3段用图的斜直线。

M图：Mc=0,M.r=-1.8KN-m,据此可以作出C4段弯矩图的斜直线。

A支座的约束反力FA只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩

值，故M/左="缶=".=-1.8KN-m,MD^=2.4kN-m,据此可作出力。段弯

矩图的斜直线。。处的集中力偶会使。截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求

出M访=-L2KN・m,=0；由。3段的剪力图知在E处4=0,该处弯矩

为极值。根据8E段的平衡条件£、=0,知8E段的长度为0.5m,于是求得

=1.25kN-mo根据上述三个截面的弯矩值可作出03段的M图。

对作出的2、A7图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。

如。8段内的均布载荷为负值，该段入图的斜率应为负；。段的外为负值，该

段"图的斜率应为负；段的大为正值，该段M图的斜率应为正；支座/处

剪力图应发生突变，突变值应为10kN；。处有集中力偶，。截面左右两侧的弯

矩应发生突变，而且突变值应为3.6kN-m；支座8和自由端C处的弯矩应为零等。

例2-7刚架受力如图2-13（a）所示。试绘出刚架的内力图。

解：1.分段列出内力方程

对C4段距右端为X］的截面6（xJ=O,终（xj=-尸,M（x1）=Ev］（0<x］<a）

对34段距8端为冷的截面

"包）=尸，

&(工2)=qx?，M{X2)=Fa--qx；(0<x2</)

2.作内力图

由内力方程绘出内力图，然图和2图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画

在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。

例2-8曲杆受力如图2・14(a)示。试绘出曲杆的弯矩图

图⑹Fs图®FN图

图274

解：1.建立内力方程

用圆心角为。的横截面取隔离体，其受力图如图2・14(b)所示。由平衡条

件求得

Fs(0)=Fcos0

舔(夕)=一手sing

(3)绘曲杆内力图

由内力方程绘出的内力图如图(c)、(d)>(e)所示。

第3章应力与强度计算

一.内容提要

木章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计

算。

1.拉伸与压缩变形

Li拉（压）杆的应力

i.i.i拉（压）杆横截面上的正应力

拉压杆件横截面上只有正应力且为平均分布，或计算公式为

a=—（3-1）

A

式中《V为该横截面的轴力，A为横截面面积。

正负号规定拉应力为正，压应力为负。

公式（3-1）的适用条件：

（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；

（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；

（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不

均匀；

（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角20°时，可应用式（3-1）计算，

所得结果的误差约为3%。

1.1.2拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）

图3-1

拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为

全应力〃“二(rcosa(3-2)

2

正应力（Ja-crcosa（3-3）

切应力ra=1sin2a（3-4）

式中O■为横截面上的应力。

正负号规定：

a由横截面外法线转至斜械面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。

17,拉应力为正，压应力为负。

ra对脱离体内一点产生顺时针力矩的〃为正，反之为负。

两点结论：

（1）当。=0°时，即横截面上，达到最大值，即（cJmax=。。当。=90°时，即

纵截面上，。&=900=0。

（2）当a=45°时，即与杆轴成45°的斜截面上，1达到最大值，即（%）母=?

2

1.2拉（压）杆的应变和胡克定律

（1）变形及应变

杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。

如图3-2。

『二二二二二二i；

・/•

Lt

图3-2

轴向变形A/=/,-/

轴向线应变£=与

横向变形\b=b,-b

横向线应变£'=竺

h

正负号规定伸长为正，缩短为负。

（2）胡克定律

当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即

<y-Es（3-5）

或用轴力及杆件的变形量表示为

式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。

公式（3-6）的适用条件：

（a）材料在线弹性范围内工作，即。〈生,；

（b）在计算△/时，/长度内其N、E、力均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算,

求其代数和得总变形。即

(3-7)

（3）泊松比

当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即

V=(3-8)

1.3材料在拉（压）时的力学性能

131低碳钢在拉伸时的力学性能

应力一一应变曲线如图3-3所示。

图3-3低碳钢拉伸时的应力一应变曲线

卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中4/直线。

冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而

塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中/何曲线。图3-3中，of'为未经冷作硬化，

拉伸至断裂后的塑性应变，dr为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。

四个阶段四个特征点，见表1-1。

表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段

阶段图■特征点说明

中线段

弹性阶段oab

比例极限bp%为应力与应变成正比的最高应力

弹性极限5，以为不产生残余变形的最高应力

屈服阶段be

屈服极限q为应力变化不大而变形显著增加时的最低

应力

强化阶段ce

抗拉强度火为材料在断裂前所能承受的最大名义应力

局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂

表1-1

主要性能指标，见表1-2。

表1-2主要性能指标

性能性能指标说明

弹性性能弹性模量E

当时，E=—

强度性能材料出现显著的塑性变形

屈服极限

材料的最大承载能力

抗拉强度外

塑性性能如6/.-/材料拉断时的塑性变形程度

延伸率＞=-L^_xlOlnOno%/

A-A.材料的塑性变形程度

T截Z面T收T缩Z率3=—『XINi。N。O％/

1.3.2低碳钢在压缩时的力学性能

图3-4低碳钢压缩时的应力一应变曲线

应力一一应变曲线如图3-4中实线所示。

低碳钢压缩时的比例极限屈服极限弹性模最E与拉伸时基本相同，但他不出

r»

抗压强度叫,

1.3.3铸铁拉伸时的力学性能

<(>

图3-5铸铁拉伸时的应力一应变曲线

应力---应变曲线如型3-5所不。

应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度弹

性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。

133铸铁压缩时的力学性能

应力----应变曲线如型3-6所示。

u>

图3-6铸铁压缩时的应力一应变曲线

铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大4—5倍，破坏时破裂面与轴线成45。〜35°。宜于做

抗压构件。

1.3.4塑性材料和脆性材料

延伸率5〉5%的材料称为塑性材料。

延伸率b〈5%的材料•称为脆性材料。

1.3.5屈服强度?2

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生().2%的残余应变时所对应的应力

作为屈服强度，并以表示。

1.4强度计算

许用应力材料正常工作容许采用的最高应力，止极限应力除以安全系数求得。

塑性材料［。］=2;脆性材料［。］="

其中4,％称为安全系数，且大于1。

强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。

对轴向拉伸(压缩)杆件

a=—<［CT］(3-9)

AL」

按式(1-4)可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。

2.扭转变形

2.1切应力互等定理

受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向

同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。

2.2纯剪切

单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。

2.3切应变

切应力作用卜，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用汇表示。

2.4剪切胡克定律

在材料的比例极限范第内，切应力与切应变成正比，即

T=Gy(3-10)

式中G为材料的切变模量，为材料的乂一弹性常数(另两个弹性常数为弹性模量E及泊松

比V)，其数值由实验决定。

对各向同性材料,E、v.G有下列关系

E

G=-----------(3-11)

2(1+v)

2.5圆截面直杆扭转时应力和强度条件

251横截面上切应力分布规律

用截面法可求出截面上扭矩，但不能确定切应力在横截面上的分布规律和大小。需通过

平面假设，从几何、物理、平衡三方面才能唯一确定切应力分布规律和大小。

(1)沿半径成线性分布，圆心处7=0,最大切应力在圆截面周边上。

(2)切应力方向垂直半径，圆截面上切应力形成的流向与该截面上扭矩转向相等，图3・7。

2.5.2切应力计算公式

横截面上某一点切应力大小为

(3-12)

式中Ip为该截面对圆心的极惯性矩,户为欲求的点至圆心的距离。

圆截面周边上的切应力为

T

「max(3-13)

式中叱=41称为扭转截面系数，R为圆截面半径。

，R

2.5.3切应力公式讨论

(1)切应力公式(3-12)和式(3-13)适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆

截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允

许范围内。

(2)极惯性矩和扭转截面系数叱是截面几何特征量，计算公式见表3-3。在面枳

不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力

愈强。因此，设计空心轴比实心轴更为合理,

表3-3

jrdA

p-32

实心圆

（外径为d）

叱包

116

空心圆

〃32d

（外径为D,a=一

D

内径为d）

W=—(1-«4)

’t16

2.5.4强度条件

圆轴扭转时、全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。因此，强

度条件为

r^=—4]（3-14）

\%/max

对等圆截面直杆

%x=—<[r]（3-15）

L

Wt」

式中[〃为材料的许用切应力。

3.弯曲变形的应力和强度计算

3.1梁横截面上正应力

3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系

1M

-二万（3-16）

PW

式中，夕是变形后梁轴线的曲率半径；E是材料的弹性模量；/后是横截面对中性轴Z

轴的惯性矩。

3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式

M

F(3-17)

式中，M是横截面上的弯矩；人的意义同上；y是欲求正应力的点到中性轴的距离。

由式（3・17）可见，正应力。的大小与该点到中性轴的距离成正比。横截面上中性轴的一

侧为拉应力，另一侧为压应力。

在实际计算中，正应力的正负号可根据梁的变形情况来确定，位于中性轴凸向一侧的各点均

为拉应力，而位于中性轴凹向一侧的各点均为压应力。

最大正应力出现在距中性轴最远点处

5侬二峥7M』(3-18)

W.

式中，k二」一称为抗弯截面系数。对于/zxb的矩形截面，W.=-bh2-,对于直径为D

'max'6

的圆形截面，忆=二。二对于内外径之比为。=8■的环形截面，底=二。（1--）。

32D’32

若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大

拉应力与最大压应力数值不相等。

3.2梁的正应力强度条件

梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为

心=必以伞］（3-19）

ma\%LJ

由正应力强度条件可进行二方面的计算：

（1）校核强度即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力

是否超过容许值，从而检捡梁是否安全。

（2）设计截面即已知载荷及容许应力,可由式忆之max确定截面的尺寸

百

（3）求许可载荷即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式“％用V匕确定许

可载荷。

对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如丁字形截面、上下不等边

的工字形截面等），其强度条件应表达为

」「—

_二_乙m一ax必W口/1(3-20a)

%电］(3-20b)

*,

式中，分别是材料的容许拉应力和容许压应力：乂,乃分别是最大忖应力点和最

大压应力点距中性轴的距啕。

若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。

3.3梁的切应力

谭(3-21)

式中，Q是横截面上的剪力；S；是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩;

L是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。

3.3.1矩形截面梁

切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。

切应力计算公式

60|h2

y2(3-22)

hh3[4

最大切应力发生在中性轴各点处，ra=--o

32A

3.3.2工字形截面梁

切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%,因此截面上的剪力主要由腹

板部分来承担。

切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为

X含，(小〃)+4T。-23)

式中各符号可参看。

另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为

E=里4(3-24)

2人

翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成

所谓的剪应力流。由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中

才用到它。

3.3.3圆形截面梁

横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛

物线变化。

最大切应力发生在中性轴上，其大小为

_7rd22d

.耍.0丁丁，2

r(3-25)

maxT>_j4oA

圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。

3.4切应力强度条件

梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即

：

7_QmaxSmax<](3-26)

式中，*■■"11141人是梁上的最大切应力值；SMiiiaa.、s是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；人/是横

截面对中性轴的惯性矩；b是"方处截面的宽度。对于等宽度截面，