全国2024年高考数学二轮复习试题专题03平面向量含解析

专题03平面对量

专题03平面向量

【考点1】平面对量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

却(1)交换律：

a+b=6+a：

加法求两个向量和的运算三角形法则

(2)结合律:

平行四边形法则(a+b)+c=a+(6+c)

求a与b的相反向量一6的和

减法八a-b=a-\-(~b)

a

的运算叫作&与b的差

三角形法则

(1)1Aa/=|川/a/：(1)结合律：1(〃a)=

(2)当力＞0时,4a与a,1〃a=〃(1a)：

数乘求实数/I与向量a的积的运算

的方向相同：(2)第一安排律:

当M0时，八8与a的(4+〃)a=la+pa；

方向相反；(3)其次安排律：

当X=0时，48=0A(a+5)=4a+4。

【考点2】共线向量定理、平面对量基本定理及应用

1.向量共线的判定定理和性质定理

(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数［使得6=4小则向量6与a共线.

(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数4，使得6=4民

(3)4B,。是平面上三点，且力与4不重合，夕是平面内随意一点，若点。在直线月5上，则存在实数

3使得________(如图所示).

2.向量共线定理的应用

(1)证明点共线：(2)证明两直线平行：(3)已知向量共线求字母的值.

3.平而对量基本定理

假如叨,的是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内笆随意向量&有且只有一对实数人，

42，使&=4©+九&，其中即是一组基底.

【考点3】平面对量坐标运算的应用

1.平面对量的坐标运算

⑴若a=(击，yi),b=(x2,yMbHO),则a±b=(汨±也，％土，2).

⑵若/(*”yi)»8(心，必)，则花=(*2—M,%一%).

(3)若a=(X,y),1£R,则Xa=(1Ay).

2.向量平行的坐标表示

(1)假如a=(小，y)),b=(留，%),则a〃b的充要条件为小%—*必=0.

⑵力(小，力)，S(x>,㈤，C(x3»%)三点共线的充要条件为(及一小)(必一切)一(照一M)(%—y)=0.

><注意

a4力的充要条件不能表示成上=旦，因为及，次有可能等于0.推断三点是否共线，先求每两点对应的

Xzy-z

向量，然后再按两向量共线进行判定.

【考点4】平面对量的垂直与夹角

2

1.平面对量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和儿记而=a,08=b,则/月如=〃(0°W，W180°)叫作向量

a与6的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为〃，则数量|aIblcos，叫作&与方的数

量积，记作a•b,即a•b=|a||b|cos。.规定：0•a=0.

(3)数量积的几何意义：数量积等于a的模al与力在a的方向上的投影lAlcos。的乘积.

2.平面对量数量积的性质

设a5都是非零向量，e是与6方向相同的单位向量，〃是a与3的夹角，则

(De,a=a•e=/a/cos0.

(2)a_L5=a,b=0.

(3)当a与b同向时，a•b=/aUb/',当a与6反向时，a•b=~/a//b1.

特殊地，a•a=殊地或/a/="a•a

a•b

(1)COS°=质沏

(5)la•b/^/a//b/.

3.平面对量数量积的坐标表示

设a=(xi,y.),b=(X?,%),a,6的夹角为"，则

(Da•b=x\X2-\-y\y->.

(2)1a|=)』+曲若力(M,yi),8(x2,度)，则|丽='(XLX?)'+(以一度)

,小八M照+乃必

(3)COS0=—==----7===.

y册+K•“应+%

(4)8_L»a・6=0=小照+切%=0.

4注意

汨度一X2M=0与矛1型+歹必=0不同，前者是两向量&=(汨，y)，b=(X2,度)共线的充要条件，后者是

它们垂直的充要条件.

【考点5】平面对量的模及其应用

求平面对量的模的公式

⑴a，=a•a=/&/2或/a/=)a•a=^?：

(2/a±b/=y){a±b)i=^^±2a*b-Ytf：

3

(S若a—(*,y),则Ia/=^x+y.

考向1平面对量在平面几何中的应用

向量在几何中的应用

(1)证明线段平行问题，包括相像问题，常用向量平行(共线)的充要条件：八2小先一的乃

=0.

(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：

a_Lboa•6=00矛/2+d角=0.

(3)求夹角问题，常用公式：

a•b______汨版+%」

cos百犷正于

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模

/a/=«a・a=W+'或

\AB\=\'AB\=7(照—*)>+(必—必)；

考向2平面对量在三角函数中的应用

与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题.解此类问题，除了要娴熟

驾驭向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应驾驭三角恒等变换的相关学问.

4

题型一:平面对量的基础应用

例L（1）、（2024•山西太原•模拟预料）已知平面对量。=（4「2位=（1、-3）,若〃+劝与〃垂直，则】=

()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【分析】求出向量的模，依据数量积的运凫可得关于/I的方程，求得答案

【详解】因为〃=（4,一2）g=（1,一3）,故必|=542+（-2尸=2&#=加,

由题忌a+M与人乖直，••(6/+A.b)-b—(i-b+Ab=0,

即4+6+104=0，解得2=-1,

故选:C

【变式训练I】、（2007•重庆•高考真题（理））与向量。=与3H；罔的夹角相等，且模为1的

向量是（）

【答案】B

【分析】先设定所求向量的坐标，依据条件求解即可.

【详解】设所求向量为，〃=（"）,依题意则有二+产=1,

ma_nib-k+-t-k—t

»»即考"=/"'Jf，

同他

RF~T

解得JM

联立方程

t=—

55

故选:B.

5

题型二:平面对量的综合应用

例2.（1）、（2007•福建•高考真题（理））己知|0人|=1,|。8|=6,。408=0,点。在/403内，且

NAOC=30°.设OC=〃QA+〃O3（/"、"wR）,则呵等于（）

n

I/7

A.7B.3C.也D.73

33

【答案】B

【分析】由题意可得OA_LO3,建立坐标系，由已知条件可得。。=（孙百〃），进而可得tan30。-6〃■融

m3

即可得答案.

【详解】解：因为|OA|=1,|O3|=JJ,OAOB=0,

所以OA_LOB,

又因为点。在/AOB内，且N4OC=30°,

建立如图所示的坐标系：

又因为OC=mOA+〃。8（，〃、〃wR）,

所以"

所以tan3（F=叵=3，

m3

所以巴=3.

n

故选:B.

（2）、（2024•湖北♦房县第一中学模拟预料）已知平面对量“，人满意;=（〃），,+@=1,则M的取值范

困为

【答案】Ta+】］

6

【分析】利用向量的模的计算公式，化简即可得到向量b的终点的轨迹方程，进而利用数形结合，即可求解.

【详解】设，贝1」4+方=(1+乐1+)，)，,+。|=1,即为(l+X『+(l+»=1,则在平面坐标系中向量力

的终点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，圆心到原点的距离为贬，则及-1W忖£及+1.

故答案为：[>/2-1,>/2+1]

【变式训练2-1】、(2024•浙江•模拟预料)已知平面对量6c满意：若对满意条件的

随意向量方，|。-力以c-a|恒成立，则coMc+a,a)的最小值是.

【答案】也

2

【分析】建立直角坐标系，将向量用坐标表示，依据题意计算即可.

【详解】由题意设a=(1,0)为=(-l,/〃),c'=(x,y),c-Z?=(x+1,y-zn),c-«=(x-1,y),

由IC-。罔C-a|i+1)-+(,〃__y)~>Q(jc-1)-+,

化简得用2—2〃少+4*20恒成立，所以AW。,)，？&4x,x>0,

c+a=(x+l,y),

/..\x+1、x+1I、&

cos(c+a,a)=，i>，/=।>——

7(.r+l)2+y2J(x+1F+4Xi4x2,

V(x+1尸

当且仅当.V2=4.r且x=1时取到等号：

故答案为：迎.

2

【变式训练2-2】、(2024•吉林长春•模拟预料(理))已知/中，A=,AC=2,AB=5,点P为边

/仍上的动点，则。氏PC的最小值为•)

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】设所=2AB(OV441),

PBPC=PB(PB+BC)=AAB(AAB+AC-AB)

7

=/l(2-l)AS+/lABAC=25/l(A-l)+/l-5-2-

=25储一2(M,

所以当4==］时，尸3PC取得最小值为25x(步20x|=4

故选：A

题型三:平面对量在平面几何中的应用

例3.(IX(2024•江苏常州-模拟预料)我国东汉末数学家赵爽在《冏髀算经》中利用一副“弦图”绐出

了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个

大正方形，如图所示.在''赵爽弦图"中，若BE=2EF，BF《BC+柒BA,则实数4=()

S

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】依据题给条件利用(BE『+(BF『=(8”列出关于4的方程，解之即可求得实数4的值

【详解】由8"=/1£尸，可得BE=3BF,又瞿4c+2仍

1+22525

“2(1612A16A“1222

则BE=------——BC+——BnA=—-------BC4-----BA

I+/2525)25(1+/1)25(1+2)

又网=IM，|叫+网2=„,则(咐'+(叫=(哂

即f8C+3八］+f—BC+—=

(25(71+4)25(71+2)J(2525)

8

人」625（1+口八）625（1+2产，6251）6251）

256A2144A2256144,

即国西+西西+数+而=兀整理得7万-⑼-9=。

解之得，2=3或2=—1（舍）

故选:B

（2）、（2024•全国•模拟预料）在5BC中，已知AB=2,AC=3,A=60°,AM=MBAN=2NC，

点。在边8C上，则。MON的最大值为（）

A.3B.2C.-D.一

24

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，又可将。ON转化为即可求出。MON的

最大值

【详解】以力为坐标原点，力9所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，

□

则用2,0）,唱，竽J，M（l,0）,"（1词.

连接MN,设线段MN的中点为E,连接OE,

贝IJE1,-yj,DM.DN=（DE+EM）.（DE+EN）=（DE+EM）qDE-EM）

=.连接EC,EB,因为点。在线段BC上，

所以|£>£|a=max{|Eq,|EB|},

9

阿=(2-17+(0-用

44

所以目=—.所以。ATON的最大值为I".

Iimnx22

故选:C

【变式训练3-1】、（2024•北京•高考真题）在A8C中，AC=3.8C=4.NC=90。.〃为5BC所在平面

内的动点，且尸C=l,则的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.1-6,4]D.[-4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（8s9,sin，），表示出知,PB，依据数量积的坐标表示、协助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依□题意如图建立平面直角坐标系，则C（0.0）,A（3,0）,3（°，4），

因为〃C=l,所以〃在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设网cos仇sine）,8G[0,2句，

所以/>A=（3-cos0,-sin。），/^=（-cos^,4-sin0）,

10

所以RVP5=(—cose)x(3—cose)+(4—sine)x(—sin。)

=cos;0-3cos〃-4sin0+sin’0

二1-3cos。一4sin〃

./、34

=1-5sin(e+°),其中sinp=二，cos^=—,

55

因为一l£sin(J+0)Wl,所以-4e—5sin(e+/)W6,即P8e[T,6]：

故选：D

【变式训练3-2】、（2024・安徽・马鞍山二中模拟预料（理））已知向量M满意|“-3"=|“+36，|a+R=4,

若向量c=/a+W+〃=/?）,且1工=很.人则|c|的最大值为（)

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】先推断出._1的设OA=a，08=〃，口目=〃，得到,q=4.设oc=c，推断出4B,

M]OB\

C三点共线，由等面积法得|OC|=—"利用基本不等式求出最大境

AB

【详解】由卜-3*,+幼|得。.〃=0，所以“！》.如图:

S

设OA=a，05=〃，便卜加，画=〃，由GJ■分可知,OA_LO8,所以.耳=卜一4=口+@=4,即—+,产=⑹

所以2〃吸，16,则〃四,8,当且仅当〃?=〃时取得等号.

设OC=c,由c=2。+〃〃（见+〃=1）,可知力，B,C三点共线'由“.。=力.（:可知（。一）＞。=0，所以AB,

由等面积法可得：i|o4n=iM1ocL得|"|二斗言=詈”2,所以ici的最大值为2.

故选:B.

题型四:平面对量在其他学问中的应用

II

例4.（1）、（2024•江苏无锡•模拟预料）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有显明特色的花纹.八

角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独

纹样.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.八角星纹持续的

时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的程泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角

星纹星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分是

正方形且边长为2,其中动点夕在圆。上，定点从8所在位置如图所示，则髭成最大值为（）

IZJ

A.9B.10C.TO&D.］（）白

【答案】C

，/s

【分析】由题意可得|。4|一W,|O3卜\AB\-2j5,cos/4O8=—望，设的夹角为仪,OBQP

的夹角为夕，则右3=26cos尸lOcosa,分P在/AOB所对的优弧上和P在/AOB所对的劣弧上两种

状况计算即可得答案.

【详解】解：如图所示：连接OAO8,

12

□

因为中间阴影部分是正方形且边长为2,

所以可得|。4|=而，I。例=7L|AB|=2石，

所以IOPI-IOAI-痴，

在“03中由余弦定理可得cos/AOB=-至，

5

所以sinNAOB=^~♦

5

设0A,0P的夹角为0，08,0P的夹角为夕，

UUULIUU/-

AB>OP=(OB-OA)>OP=OB・OP-OAVP=215cosp-1Ocosa,

当〃住N'AOB所对的优弧上时，a十尸=2M-zlAOB,

所以cos(a+£)=cosN4O8=-^^,sin(a+/?)=-sinZ.AOB=♦

55

cosa=cos[(a+/7)—/7]=-c°sft^-sin/?,

所以屁方？=2石8s夕T0cosa=6、号cosQ+26sin尸=10及sin(/7+°),(其中tano=3)

所以滋工最大值为10人；

当〃在』AO8所对的劣弧上时，a+^=^AOB,

所以cos(a+/?)=cosNAO8=-^^,sin(a+/?)=sinZ.AOB=,

cosa=cos[(a+,)_4]=_cos,+[sin/7,

13

所以学务>3?=2石85夕-1088。=6石。0$尸-2>/5$足/7=10&百11（尸+0）,（其中tan0=-3）

所以器疑最大值为10人：

综上所述：器般最大值为10&.

故选：C.

（2）、（2024•浙江嘉兴-模拟预料）平面对量”,'c,4满意

\d\=b\=2db=lfc=Ad+（2-A）baeR\\d+4b\=y/2,则|d+d|的最小值为,

【答案】G-&

【分析】设〃=ou，=oRc=oc,d=-o。，利用平面对量的几何意义及平面对量等和线定理进行求解.

【详解】解析：几何意义+等和线

由题记a=OA,b=OB.c=OC,d=-OD,

则由|a|=S|=2ab=\,

得|OA|=|OB|=1,且N4O8=。.

作图，如右图所示：

3

AOB.ABN、.BMN为正三角形，OM=ME，

由c=/la+（2—2）A,得C在直线MN上，

又•.•4+4。=一0。+0月=。石，，|。£|=5+4〃|=尤，即点〃在以点f为圆心，及为半径的圆上，

：.\c+d\=\OC-OD\=\DC]>>/3-N/2.

故答案为：73-72.

【变式训练4-1】、（2024•湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计美丽的图案，我国国旗上五颗

14

刺眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的随意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉

正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图,设0是正五边形力比如的中心，则

下列关系错误的是（）

A.AD+DB=OB-OAB.AO=O

C.AC+AD=3AOD.AOADBOBD

【答案】C

【分析】由半血对量的运算对选项逐一推断

【详解】对于A,AD+D8=AB.OB-OA=AB,故A正确，

对于B：因为A8=AE,OB=OE,所以AOJLHE，故B正确，

对于C：由题意。是.ACD的外心,不是必CD的重心

设CD中点为M,则|AW|=|AO|+|OM|=|AO\+\AO\cos36°=1AO\-2cos2180,

AC-Ab=4cos218°Ad.故C错误,

对于D：AOAD=^\ADBDf=BO-BD,故【）正确.

故选：C

【变式训练4-2】、（2024•全国•模拟预料）已知”，B满意忖=1,应，则出"+小|"7-〃|的最大

值为______.

【答案】4

【分析】忖=1,W=及，得到同=1,2a卜&,从而画图，点48在以原点为圆心，以"为半径的

圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公

式和性质求得结果.

【详解】因为w=i,忖=也,如图,

15

□

圆。的半径为正，点力，〃在圆上，

以勿，如为邻边作平行四边形如6,

设OA=&a，OB=b，则|孙|=|及〃一4,|oc|=|0a+4.

设NAOC=0（O*W）,

贝lj|0a+4+|衣—卜|0中网=2&cose+2&sine=4sin[e+2

当0=（时，4sin（e+?）有最大值，最大值为4,

此时，2〃+4+|及。叫的最大值为4.

故答案为：4.

16

A组基础巩固

.一2-

1.(2024・河南・模拟预料(理))如图，在一ABC中，BM=2BC，NC=,直线4V交BV于点、BQ=-BN,

贝IJ()

国

A.2+〃=1B.=1C.(2-1)(2//-3)=1D.(2x-3)(//-l)=1

【答案】C

【分析】把B。用表示，然后由三点AQ,"共线可得.

【详解】由题意得，«C=|«7V=|(^+4/V)=|[^+(l-//MC]

3333

因为。，机月三点共线，故?=1,化简整理得G-l)(2"-3)=l.

33A

故选：C.

2.(2024•四川省遂宁市教化局模拟预料(文))在中，AC=3,BC=5,。为线段8c的中点，

|AD|=||fiC|,E为线段6c垂直平分线/上任一异于3的点，则2AE,C8=()

A.7B.4C.7D.-6

J

【答案】c

【分析】先依据题意得力8C为直角三角形，A=],进而得|ABf=16,再依据AE=AO+OE，CB=AB-AC^

2

DELCB^2AECB=2ADCB=\A^-|AC|=7.

【详解】解：因为在J3C中，。为线段3。的中点，

所以4O=；(A8+AC),即2AQ=A8+AC，

因为AC=3,BC=5,|AD|=||BC|,

17

所以4k=卜31+|AC|2+2|AC||A^|COSA,即16=卜81+6kBlcosA,

因为8c=AC-/18，

所以1Bep=|4C|2+|AB|2-2|AC||4fi|cosA,即16=卜81—6|AB|COSA,

所以，16=卜8『+6+目8$A=,81—6卜@cosA,即12%@cosA=0,

所以cosA=0,

因为A<0,不)，所以A=],即_A6C为直角三角形，

所以kM=|3dTAc|2=i6

因为E为线段BC垂直平分线/上任一异于。的点，

所以AE=4O+O石，CB=AB-AC^DEICB^

所以2AEC8=(2AO+2词@==

=(AB+AC)(A/?-AC)=|4B|2-|AC|2=16-9=7

故选：C

3.(2024•四川雅安•模拟预料(理))如图，在等腰直角5BC中，斜边AC=4,M,N为线段用上的动

点，且MN=l,则AM.的最小值为()

1315

A.—B.—C.4D.6

44

【答案】B

【分析】设8"=/,然后可得=3c)=/一3/+6,然后依据二次函数的

学问可得答案.

【详解】因为在等腰直角“BC中，斜边8。=4,所以A8=AC=20，

因为BC=4、MN=\,所以MN=」6C,

4

设则0KY4,

18

=842・2夜4•（一曰+r+^-2>/2-41-^y^+^-r4-l=r2-3/+6

所以当，=T时，前•丽取得最小值?，

故选：B

4.（2024•四川省绵阳南山中学模拟预料（理））如图，在JBC中，已知A4=2,AC=S,ZBAC=dTt

BC、〃边上的两条中线/原6V相交于点P,则”在旅上的投影为（）

叵1

A4右n2/r85n

37213

【答案】A

【分析】结合向量运算以及向量投影的计算公式计算出正确答案.

【详解】AC^=|AC||Afi|cos60°=8x2xl=8,

由于4M,BN是三角形的中线，所以P是三角形A8C的重心，

22

所以

则AP=gAM=gx；（A8+AC）=；（./?+AC）,

BP=2BN=gx；x（BA+8C）=g（—AB+AC-A8）W（Ad-248）,

|叫=g（AC—2A8）L—2何==-\IAC-4ACAB+4AB'

3

=-V64-4x8+16=,

33

APBP=^AB+AC^^AC-2AB^=^（-"•八。+4。2-2八8）

=*8+64-8）=号.

APBP1634G

所以在上的投影为■而厂-〉<—产=-----

AP8P34>/33-

19

故选：A

5.(2024•全国•大化瑶族自治县高级中学模拟预料(文))已知点力、8在单位圆上，405=3几，若

4

OC=2OA+xO8(xeR),则|OCT的最小值是()

A.2B.3C.5-242D.4

【答案】A

【分析】由|OC『=(2OA+xO8/结合向量数量积运算可化为二次函数，即可求最小值.

【详解】|OCf=(2OA+xOB)2=4。/+^OB+4x\OA\\OB\cosy=x'-242x+4=(x—&/+2N2,因

此|0C/N2.

故选：A.

6.(2024•全国•清华附中朝阳学校模拟预料圮知平面对量c满意皿，且口=M=2,|c+a+N=l,

贝“c+M+2/+a|的最小值为()

A.叵B.厉C.叵D.历

22

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算，得点。的轨迹，进而依据相像以及三角形边的关系即可结

合图形求解.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，设〃=(2,0)/=(0,2),0。=。=(工)，)，河(—2,0)4(0,—2)

则K+a+q=ln(x+2)'+(y+2『=1.故点C在以(-2,-2)为圆心，半径为1的圆上，

31

如图：取点4-5，-2),则型=2=_lDCJ,且N8E=ZWC,

2DC~I~2'DN~2

CN

因此,DCN，所以——=2,故CN=2EC,

EC

卜+4+2k+a卜J.+()'+2y+2必+2丫+)，」=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CW)由于

。后4。加之£例=\[2+2'=姮，当上，加.(7三点共线且点。在线段加£上时，等号取到，

Y22

因此k+@+2卜+°卜2(8+。例)?而，

故选：D

20

H

7.（2024•江西•模拟预料（文））如图，在“8c中，=pAD=2DB>〃为CD上一点，口满意

IIH.IU

AP=mAC+-AB,若|AC|=3，|4用=4,则ARCO的值为（)

3

【答案】C

【分析】依据CP,。三点共线求出〃?=：,然后把人aAC当基底表示出4〃和。及，从而求APCO的值.

【详解】因为人。=2。3,所以A4=；A。，

1~一3-3I

所以AP=〃*C+—A8=〃?AC+2A。，因为CP,。三点共线，所以利+2=1,即〃?=一，

2444

1^1•■7..

所以AP=-4C+-A8,又CO=AD-4C=-AB-4C,

423

所以APCO=(；AC+：AB)(gA8-AC)=gA8'—：Ac'—gABAC

=-|Afi|'--|xc|2--|AB|-|AC|cos-=-xl6--x9--x4x3x-!-=—.

31141।31।।I3343212

故选：C.

8.（2024•四川♦模拟预料（理））八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图

2中的正八边形八38EFG"，其中|。川=1,给出下列结论:

21

目

①OA与0"的夹角为］：

②OD+OF=OE；

③恒一困=刍/叫：

④向量OA在向量方方上的投影向量为-43（其中e是与笳同向的单位向量）.

2

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用止八边形入BCDEFGH的特征，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析各个命题总用

求解.

【详解】对于①，因为八边形八BCDEFGH为正八边形，所以乙4。“=与=£,

84

所以04与0〃的夹角为£，①错误；

4

对于②，OD+OF=OEoOD=FE，明显不成立，②错误；

对于③，ZAOC=2*5=',所以卜乂-=|C4|=啦卜乂卜啦小）叫=2|。小=2,所以,4-OC\=^\DH\,

③正确：

对于④，/40力=3'?=亨，向量0人在向量阴上的投影向量为网cos4OOe=lx-等…今，

X/

④正确，

故选：B.

9.（2024•河南安阳•模拟预料（理））已知圆柱。&的轴截面是边长为2的正方形，月笈为圆的直径，P

为圆。2上的点，则（PA+P孙06=（）

A.4B.472C.8D.8及

【答案】C

22

【分析】利用圆柱的轴截面性质，求得圆柱的高与底面圆半径，依据平面对量的线性性质，把所求数量积

转化为直角三角形中的两个向量数量枳，利用数量积的定义求解即可.

【详解】解：设圆柱的高为力，底面半径为〃

若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，

则：h=2r=2,

因为/仍为圆。I的直径，户为圆。2上的点，所以在小8中，。1为/出中点

/.（PA+PB）O0=2POt-02a=2'q\。回-cos<POI,O2OI>

又在PO02中，oto2=h=2,po2=r=i,且则尸a=6

如图：为圆柱的一个轴截面

□

O<O225/5

所以cos<PO,0,0]>=cosZ.POO=Z

[X2~PO^~45~~

/.(PA+Pi?)0,0,=21PO,||O,O,|cos<PO..O2Ot>=2x>/5x2x^-=8

败选：C.

10.（2024•上海松江•二模）已知正方形A8CO的边长为4,点M、N分别在边A。、4C匕且4W=I,

BN=2,若点P在正方形A5CO的边匕则的取值范围是（）

A.L-6,6]B.1-6,2]C.f-2,6]D.[-2,2]

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运第及二次函数求值域即可得解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，

23

□

则M(O,1),N(4,2),

当P在A。上时，设P(O,y)(OWy"),PA/=(o,l-y),/W=(4,2-y)»

TT31

PM-PN=y2-3y+2=(y-^)2,

3ffI-

当，=3时，(PMPNLn=-“当y=4时，(PMPN)Z=6，

即」WPM.PNW6,

4

当户在BC上时，设P(4,yX0My：4),则p卷=(-41一y),所=(0,2-y)，

T./111

22

：.PMPN=y-3y+2=(y一一)一一,知一一<PMPN<6t

244

当户在A8上时，设P(x,0)(0<xW4)，PM=(-^,1),/W=(4-x,2)»

PM-PN=f-4x+2=*-2)2-2,

当X=2时，(尸M.p&)mm=_2，当芯=4时，(前.而)g=2,

即-2VPM/N42，

当户在C。上时，设P(M4)(0<X&4)，痛=(Y,-3),无=(4-乂-2)，

PM-PN=x2-4x+6=(x-2)2+2，

当x=2时，(PM-PN)mn=2»当*=4时.，(向0.尸")恒、=6，

即2WPMPNK6.

综上可得，-2<PMPN