期中真题必刷压轴60题（14个考点专练）（解析版）

期中真题必刷压轴60题（14个考点专练）

一.一元二次方程的解（共1小题）

I.（2022秋•吁胎县期中）已知关于.1的一元二次方程（〃[-1）f+6x+〃P-|=。的一个根是0,

（1）求〃？的值.

（2）求方程的另一根.

【分析】（1）把x=0代入方程得到加2-1=0,m-1K0,求出m；

（2）把m的值代入方程求出方程的解即可.

【解答】解：（1）把x=0代入方程得：i=o,加・MO,

解得：机=-1,

（2）当m=-1时，原方程为：-2?+6.\=0

解得：x=0或x=3,

・••方程的另一根为3.

【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能求出机的值是

解此题的关键.

二.换元法解一元二次方程（共1小题）

2.（2022秋•泗洪县期中）阅读下面的材料，解决问题：

解方程/-5』+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设f=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得_yi=1,y2=4.

当y=l时，,=1,Ax=±1；

当y=4时，7=4,.*.x=±2；

，原方程有四个根：xi=l,X2=-1,X3=2,X4=-2.

请参照例题，解方程（f+x）2-4（?+x）-12=0.

【分析】根据题目中的例子和换元法解方程的方法可以解答本题.

【解答】解：设/+%=»原方程可变为）,2・4厂12=0,

解得y1=6,），2=-2,

当y=6时，/+彳=6,得加=-3,X2=2,

当y=-2时，x2+x=-2,得方程/+x+2=0,

VA=lr-4ac=l24X2=7<0,此时方程无实根，

所以原方程有两个根：X1=-3,A-2=2.

【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程.

三.根的判别式（共3小题）

3.（2022秋•惠山区校级期中）已知关于人的方程（-2）A+2Z=0.

（1）求证：氏取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰△ABC的一边长为4,另两边长〃?，〃恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；

（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4,代入可求得A的值，则可求得方程的另一根,

可求得周长：当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得人的值，再解方程即可.

【解答】（1）证明：•・•△=（A+2）2_8%=F+4女+4-8左="-2）2^0,

，无论k取何值，方程总有实数根；

（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4,

/.16-4（k+2）+2左=0,解得4=4,

・\方程为7-6x+8=0,解得x=4或x=2,

.•・/〃、〃的值分别为2、4,

•••△A8C的周长为10：

当边长为4的边为底时，则机=〃，即方程有两个相等的实数根，

・・・△=（）,即（k-2）2=0,解得2=2,

，方程为x2-4x+4=0,解得m=n=2,

此时2+2=4,不符合三角形的三边关系，舍去；

综上可知△A8C的周长为10.

【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.

4.（2021秋•宝应县期中）已知关于x的一元二次方程』-（2m+l）x+m（w+1）=0.

（1）求证：无论机取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若△/IBC的两边人8、人。的长是这个方程的两个实数根，且8c=8,当△ABC为等腰三角形时，

求机的值.

【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系即可得出答

案；

（2）根据△ARC的两边4仄八C的长是这个方程的两个实数根，设AB=xi=8,得出82-8（2加+1）+m

（tn+1）=0,求出/〃的值即可.

【解答】解：（1）-（2m+l）I2-4m（m+\）=l>0,

・••不论加为何值，方程总有两个不相等的实数根.

（2）由于无论加为何值，方程恒有两个不等实根，故若要AABC为等腰三角形，那么必有一个解为8；

设A8=xi=8,则有：

82-8（2/M+I）+m（m+1）=0,即：m2-15/n+56=0,

解得：〃71=7,〃72=8.

经检验,n=l或8符合三角形的三边关系，

则当ZXABC为等腰三角形时，的值为7或8.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：

（1）A>0o方程有两个不相等的实数根；

（2）A=00方程有两个相等的实数根；

（3）△<（）0方程没有实数根.

5.（2020秋•梁溪区期中）已知关于x的方程/+⑥+12-〃=0有两个不相等的实数根.

（1）求。的取值范围；

（2）当。取满足条件的最小整数时，求出方程的解.

【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式A>0,建立关于“的不等式，求出。的

取值范围：

（2）得到。的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：（1）•・•一元二次方程/+8.r+12-〃=0有两个不相等的实数根，

:.△=82-4（12-6?）=4〃+16>0,

：.a>-4；

（2）〃满足条件的最小值为〃=-3,

此时方程为7+81+15=0,

解得xi=-3,X2=-5.

【点评】本题考查的是根的判别式，热知一元二次方程q2+以+c=0（aWO）中，当△>（）时，方程有两

个不相等的两个实数根是解答此题的关键.

四.根与系数的关系（共3小题）

6.（2022秋•工业园区期中）已知关于x的方程『+履+4-2=0.

（1）求证：不论攵取何值，方程必有两个不相等的实数根：

（2）若方程的一个根为x=-2,求女的值及方程另一个根.

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出A=（4-2）2+4>0,由此可证出不论k取何

值，方程必有两个不相等的实数根；

（2）将x=-2代入原方程可求出力值，再根据两根之和等于・上可求出方程另一个根.

a

【解答】（1）证明：A=^-4（^-2）=9■依+8=（女・2：2+4.

•・•（A・2）220,

:.a-2）2+4>0,即A>0,

，不论“取何值，方程必有两个不相等的实数根：

（2）将x=-2代入原方程得4-2介h2=0,

解得：k=2,

・•・方程的另一个根为-A-（-2）=-2-（-2）=0.

答：k的值为2,方程的另一个根为0.

【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△>（）时，方程有两

个不相等的实数根”；（2）牢记两根之和等于■也.

a

7.（2022秋•沐阳县期中）已知关于x的一元二次方程（2&-1）X+PHI-1=0有实数根.

（1）求A的取值范围；

（2）若此方程的两实数根不，X2满足川2+42=11,求火的值.

【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[-（2Z;-1）]2-4X|X{/c+k-I）=-弘+520,解之可得.

（2）利用根与系数的关系可用A表示出W+X2和川X2的值，根据条件可得到关于人的方程，可求得A的

值，注意利用根的判别式进行取舍.

【解答】解：（1）.・•关于x的一元一次方程『-（2A-1）庐M-1=0有实数根，

•••△20,即[・（2^-1）]2-4XlX（必+攵-1）=・8k+520,

解得^1.

8

(2)由根与系数的关系可得K+J2=2A-I,X\X2=/C+k-L

/.XI2+X22=(X1+X2)2-2A」X2=(2k-1)2-2(必+%-I)=2女2-6k+3,

VA|2+X22=11,

，2F-62+3=11,解得左=4,或左=-l,

8

，A=4（舍去），

：.k=-1.

【点评】此题主要考杳了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用

的解题方法.

8.（2021秋•工业园区校级期中）已知关于x的方程f・2（左-1）x+必=0有两个实数根不、A2.

（1）求人的取值范围.

（2）若X1A-2+X1+X2-1=0,求k的值.

【分析】（1）由方程有两个实数根，根据判别式可得到关于上的不等式，可求得A的取值范围；

（2）由根与系数的关系可用％表示出X1+X2和XU2的值，代入已知条件可得到关于火的方程，可求得女

的值.

【解答】解：

（1）•・•方程有两个实数根，

•••△20，即4a・1）2・4乒》0,

解得攵W2；

2

（2）•・•方程W-2a-1）X+户=0两个实数根为XI、XI,

'•x\+xi=2（k-I）,x\x2=/r,

VxiX2+Xl+X2-1=0,

・••9+2&-1）-1=0,解得k=-3或4=1,

K」，

2

:.k=-3.

【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键.

五.一元二次方程的应用（共15小题）

9.（2022秋•滨湖区期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，

若每次下降的百分率相同

（1）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利1（）元，每天可售出50（）千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定

采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，

且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

【分析】（1）设每次降价的百分率为小（1-。）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条

件，列出方程求解即可；

（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值.

【解答】解：（I）设每次下降的百分率为小根据题意，得：

50（1-«）2=32,

解得：4=1.8（舍）或“=0.2,

答：每次下降的百分率为20%：

（2）设每千克应涨价“元，由题意，得

（10+x）（500-20%）=6000,

整理，得x2-15A+50=0,

解得：XI=5,X2=10,

因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意.

答：该商场要保证每天盈利6（X）（）元，那么每千克应涨价5元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即

可.

10.（2022秋•东台市期中）某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元.据市场分析，销售单价定为

1。元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，

每天的销售量就减少20件.

设销售单价定为x元.据此规律，请回答：

（1）商店日销售量减少200-10）件,每件商品盈利（x-8）元（用含x的代数式表示）;

（2）针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售

单价应定为多少元？

【分析】（1）根据题目的条件：销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，填空即可；因为每件商

品的成本为8元，所以每件商品盈利（x・8）元：

（2）由利润=每件利润X销售数量建立方程求出其解即可.

【解答】解：

（1）•・•销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件，

，商店日销售量减少20G-10）件，

•・•每件商品的成本为8元.

・••每件商品盈利为（x-8）元，

故答案为:20（x-10）（x-8）；

（2）由题意可得：

（x-8）[200-20（x-10）]=640,

解得：xi=12X2=16（舍）.

答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设售价，分别表示每件利润和销售量，根据求

利润的公式列出方程.

11.（2022秋•锡山区期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、

增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价

每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为26件:

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为120（）元？

【分析】（1）根据销售单价每降低I元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售

出2X3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；

（2）利用商品平均每天售出的件数X每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.

【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2X3=26件.

故答案为：26；

（2）设每件商品应降价1元时，该商店每天销售利润为1200元.

根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200,

整理，得/-30x+200=0,

解得：xi=10,X2=20.

•・•要求每件盈利不少于25元，

=20应舍去,

.*.x=10.

答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数X每件盈利=

每天俏售的利润是解题关键.

12.(2022秋•海陵区校级期中)某香蕉经营户以4元1kg的价格购进一批香蕉，以6元/依的价格出售，每

天可售出200版.为了尽快售罄，该经营户决定降价促销，经调查发现，这种香蕉每降价0.1元/依，每天

可多售出50口.另外，经营期间每天还需支出固定成本50元.该经营户要想每天盈利650元，应将每千

克香蕉的售价降低多少元？

【分析】设应将每千克香蕉的售价降低x元.那么每千克的利润为：(6-4-x),由于这种香蕉每降价0.1

元1kg,每天可多售出50口，所以降价x元，则每天售出数量为：200+500X千克.本题的等量关系为：每

千克的利润X每天售出数量-固定成本=650元，依此列出方程求解即可.

【解答】解：设应将每千克香蕉的售价降低八•元，依题意有

(6-4-x)(200+500.1)-50=650,

解得x=l,X2=-^-

5

因为要尽快售罄，

所以x=l.

答：应将每千克香蕉的售价降低1元.

【点评】考杳了一元二次方程的应用，重点考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好地考杳学生“用

数学”的意识.

13.(2022秋•东台市期中)如图所示，在△ABC中，ZB=90°,AB=6cm,8c=12。小点P从点A开始

沿AB边向点B以IcMs的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cMs的速度移动，如果点P、

2分别从A、B同时出发.

(1)几秒钟后，△P3。的面积等于8“/?

(2)/kPSQ的面积可能等于10。/吗？为什么？

【分析】（1）根据直角二角形的面积公式和路程=速度X时间进行求解即可.

（2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答.

【解答】解：（1）设x秒钟后，△PBQ的面枳等于80户，由题意可得:

2x（6-x）+2=8,

解得川=2,X2=4.

答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8C〃?2.

（2）设x秒钟后，△P6Q的面积等于10。/,由题意可得：

匕（6-x）4-2=10,

整理，得

?-6x+10=0,

因为△=36-40=-4<0,

所以该方程无解，

答：△PBQ的面积不可能等于lOc/n2.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△P8Q的面积等于85?2”，找到等量关系

是解决问题的关键.

14.（2021秋•宝应县期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，

增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降I元，商场平均每天可多售出2

件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？

【分析】设衬衫的单价降了x元.根据题意等量关系：降价后的销量X每件的利润=1250,根据等量关

系列出方程即可二

【解答】解：设衬衫的单价降了x元.根据题意，得

（20+20（40-x）=1250,

解得；xi=4=15,

答:衬衫的单价降了15元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方

程.

15.（2020秋•无锡期中）如图，A4BC中，ZC=90°,AC=8c，〃，BC=4cm,一动点尸从点C出发沿着

CB方向以Icm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2c〃?/s的速度运动，P,。两点同时出

发，运动时间为/（s）.

（1）若△PCQ的面积是△A3C面积的』，求t的值？

4

（2）△PCQ的面积能否为△/历C面积的一半？若能，求出/的值；若不能，说明理由.

A

CPB

【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△然0面积为1x4X8=16,△PC。的面积为L（8-2/）,

22

由题意列出方程解答即可；

（2）由等量关系S"CQ=^SA48c列方程求出，的值，但方程无解.

【解答】解：（1）•••S/\FCQ=L（82r）,SA/»BC=—X4X8=16,

22

・・・L（8-2f）=16XA,

24

整理得r-4什4=0,

解得f=2.

答：当t=2s时△PCQ的面积为△ABC面积的

(2)当S»CQ=时，

乙

L(8-2t)=16XA,

22

整理得尸-4什8=0,

A=(-4)2-4XlX8=-16<0,

・•・此方程没有实数根,

.••△PCQ的面积不可能是5c面积的一半.

【点评】本题考杳一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思、，杈据题目给出

的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

16.(2020秋•扬州期中)已知：如图所示，在△A8C中，NB=90°,AB=5cm,BC=7a〃.点尸从点A开

始沿AB边向点B以IcmJs的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点、C以2cm/s的速度移动，当其中

一点达到终点后，另外一点也随之停止运动.

(1)如果P,。分别从A,3同时出发，那么几秒后，△P40的面积等于

(2)如果P,Q分别从A,8同时出发，那么几秒后，。。的长度等于5c〃?？

(3)在(1)中，△尸Q8的面积能否等于7a〃2?说明理由.

【分析】(1)设P、Q分别从人、B两点出发，/秒后，AQ=icm,BP=(5-t)cm,BQ=25?则△2时

的面积等于2X2/(5・f),令该式等于4,列出方程求出符合题意的解.；

2

(2)利用勾股定理列出方程求解即可；

(3)看△尸BQ的面积能否等于只需令』X2M5-/)=7,化简该方程后，判断该方程的A与0的

2

关系，大于或等于。则可以，否则不可以.

【解答】解：设/秒后，贝ij：AP=tcm,BP=(5-/)amBQ=2tcm.

(1)S»BQ=BPX典,即4=(5-/)—,

22

解得：1=1或4.(f=4秒不合题意，舍去)

故：1秒后，△P6Q的面积等于4c〃/.

(2)PQ=5,则PQ2=25=B产+8。2,即25=(5・f)2+(2r)2,r=0(舍)或2.

故2秒后，PQ的长度为5。儿

(生

(3)令Sa08=7,即：BPXBQ=7,5-/)X=7,

22

整理得：』-5什7=0.

由于g-4ac=25-28=-3<0,则方程没有实数根.

所以，在（I）中，△尸QB的面积不等于7C〃?2.

【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判

断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，

否则不存在.

17.（2021秋•灌云县期中）某商店经销的某种商品，每件成本为40元.经市场调研，售价为50元时，可

销出200件；售价每增加1元，销出量将减少10件.如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000

元.问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？

【分析】等量关系为：（售价■成本）X（原来的销售量-10X提高的价格）=2000,把相关数值代入计

算即可.

【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为［200-10%-50）］件，

由题意得:（x-40）［200-10（x-50）1=2000,

整理得:x2-110x4-3000=0,

解得巾=60,X2=50.

当％=60时,销售量为:200-10（x-50）=200-10（60-50）=100（件）;

当工=5（）时，销售量为：200ft.

答：该商店销售了这种商品100或200件，每件售价为60或5（）元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键；得到销售

量是解决本题的难点.

18.（2020秋•徐州期中）如图，小李从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边

长为1米的正方形后，剩卜的部分刚好能围成一个容积为35）的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底

面长比宽多2〃?，现已知购买这种铁皮每平方米需30元钱，问小李购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？

1米

【分析】本题可设无盖长方体箱子宽为x米，则长为（x+2）米，根据刚好能围成一个容积为35//的无

盖长方体箱子，结合图形可列出方程，求出答案.

【解答】解：设长方体箱子宽为x米，则长为G+2）米.

依题意，有x（x+2）X1=35.

整理，得7+2x-35=0,

解得xi=-7（舍去），X2=5,

，这种运动箱底部长为7米，宽为5米.

由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为

（7+2）X（5+2）=63,

，做一个这样的运动箱要花63X30=1890（元）.

答：小李购回这张矩形铁皮共花了1890元.

【点评】本题主要考杳一元二次方程的应用，解答时由长方体的体积公式建立方程求解是关键.

19.（2020秋•常州期中）一家水果店以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，

每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低01元，每天可多售出20斤.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示”

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出260斤，那么水果店需将每斤的售价降低

多少元？

【分析】（I）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；

（2）根据销售量X每斤利润=总利润列出方程求解即可.

【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+上乂20=100-20（1]（斤）；

0.1

（2）根据题意得：（4・2-x）（100+200X）=300,

解得：Xl=l,X2=1，

2

当大=工时，销售量是|（M）+200XA=200<260；

22

当x=l时，销售量是100+200=300（斤）.

•・•每天至少售出260斤，

.*.x=1.

答：水果店需将每斤的售价降低1元.

【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润.第二问，

根据售价和销售量的关系，以利润作为等量关系列方程求解•.

20.（2020秋•惠山区期中）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试

销.据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低I元，每天就可多售

出5件，但要求销售单价不得低于65元.如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销

售单价为多少元？

【分析】设此时销售单价为（80-A）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，根据单件利涧X销售量=

每天利润，即可得出关于X的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据80・x265即可确定x的值，

此题得解.

【解答】解：设此时销售单价为（80-x）元/件，则每天的销售量为（50+5x）件，

根据题意得：（807-40）（50+5x）=3000,

整理得：x2-3Ox+2OO=O,

解得：xi=10,X2=20,

•・・80-x265,

•'xW15,

:・x=10,

，807=80-10=70.

答：此时销售单价为70元/件.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据单件利润X销售量=每天利润，列出关于』的一元二次

方程是解题的关键.

21.（2021秋•盐都区期中）阅读材料：各类方程的解法

求解■元•次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为工=。的形式.求解二元一次方程组，把它转化

为一元一次方程来解：类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方

程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可

能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思

想--转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程,d+f・2x=0,可以通过因式

分解把它转化为x（r+厂2）=0,解方程x=0和/+工・2=0,可得方程4+f-2x=0的解.

（1）问题：方程-2x=0的解是xi=0,X2=-2,X3=1;

（2）拓展：用“转化”思想求方程展2x+3=x的解;

（3）应用：如图，已知矩形草坪A8CZ）的长AO=8加，宽AB=3〃?，小华把一根长为10”?的绳子的一端

固定在点从沿草坪边沿84,AO走到点尸处，把长绳PB段拉直并固定在点尸，然后沿草坪边沿PQ、

DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C求人户的长.

AP?

M1I*11Y1，1

,,

【分析】(1)因式分解多项式，然后得结论；

(2)两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；

(3)设AP的长为.加，根据勾股定理和BP+CP=10,可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把

无理方程转化为整式方程，求解，

【解答】解：⑴/+--2x=0,

x(7+x-2)=0,

x(%+2)(x-1)=0

所以x=0或x+2=0或x-1=0

/.XI=0,X2=-2>X3=1：

故答案为：-2,I；

(2)〃2x+3=x，

方程的两边平方，得2计3=/

即x2-2.3=0

(x-3)(x+1)=0

・二文・3=0或x+l=0

/.XI=3,X2=-1,

当x=-1时，V2x+3=V1=1W-1，

所以-I不是原方程的解.

所以方程-2x+3=x的解是x=3；

(3)因为四边形48CD是矩形,

所以NA=NO=90",AB=CD=3m

设40=入7小则0。=(8-x)m

为为3P+CP=10,

5P=VAP2+AB2*CP=VCD2+PD2

•*-79+X2+7（8-X）2+9=I°

（8-X）2+9=10-79+X2

222

两边平方，得（8-x）+9=IGO-2O^9+X+9+X

整理，得5，瓦芯=4户9

两边平方并整埋，得K-8X+16=（）

即（X-4）2=0

所以工=4.

经检验，x=4是方程的解.

答：AP的长为4m.

【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法.解无理方程是注意到验根.解决（3）时,

根据勾股定理和绳长，列出方程是关键.

22.（2021秋•梁溪区校级期中）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为5。米的矩形荒地，地方政府准备

在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形（其中三个矩

形的一边长均为”米）区域将铺设塑胶地面作为运动场地.

（1）设通道的宽度为4米，贝！〃=_处红—（用含x的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米.请问通道的宽度为多少米？

【分析】（1）根据通道宽度为工米，表示出。即可；

（2）根据矩形面积减去通道面积为塑胶运动场地面积，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果.

【解答】解：（1）设通道的宽度为x米，则。=处红；

2

故答案为：吗注

2

（2）根据题意得，（50・2%）（60-3x）・x•比红=2430,

2

解得xi=2,X2=38（不合题意，舍去）.

答：中间通道的宽度为2米.

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键.

23.（2020秋•锡山区期中）小明锻炼健身，从4地匀速步行到B地用时25分钟.若返回时,发现走一小路

可使A、8两地间路程缩短2W米，便抄小路以原速返回I,结果比去时少用2.5分钟.

（1）求返回时A、8两地间的路程；

（2）若小明从A地步行到8地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）.据测试，在他

整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热

量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1

卡路里.测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路旦热量.问：小明从A地到C地共锻炼多少

分钟？

【分析】（1）可设48两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；

（2）可设小明从A地到C地共锻炼），分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出

方程即可求解.

【解答】解：（1）设返回时48两地间的路程为x米，由题意得：

x+200_x

~~25--25-2.5’

解得x=1800.

答：A、8两地间的路程为180D米：

（2）设小明从A地到C地共锻炼），分钟，由题意得：

25X6+5X10+（10+（y-30）XI]（y-30）=904,

整理得/—Oy-104=0,

解得>1=52,3,2=-2（舍去）.

答：小明从A地到C地共锻炼52分钟.

【点评】考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用.解题关健是要读懂题目的意思，根据题目

给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

六.圆周角定理（共6小题）

24.（2022秋•东台市期中）如图，点A、B、C在。0上，用无刻度的直尺画图.

（I）在图①中，画一个与N8互补的圆周角;

（2）在图②中，画一个与N5互余的圆周角.

国①国②

【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可；

（2）根据90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可.

（2）如图2,NCBQ即为所求.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几

何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本

性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.熟练掌握圆周角定理是解决此题的关键.

25.（2022秋•东台市期中）如图，8C是的直径，A是。0二一点，AD1BC,垂足为Q,标=标，BE

交于点立

（1）NAC8与N8A。相等吗？为什么？

（2）判断△物8的形状，并说明理由.

【分析】（1）根据圆周角定理求出NBAC=90°,根据三角形内角和定理和垂直求出NAC8+/A8C=90°,

Z5ADiZABC=90°,即可得出答案;

（2）根据圆周角定理求出NAC8=N4BE,推出NB4/）=N4B£根据等腰三角形的判定得出即可.

【解答】解：（1）N4CB与NBAQ相等，

理由是：:8C是。0的直径，

/.ZBAC=90a,

AZACB+ZABC=90°,

ADIBC,

・・・NB4O+N4BC=90°,

・•・ZACB=ZBAD；

（2）△於3是等腰三角形，

理由是：•・•踊=靛，

，/ACB=NABE,

•・•ZACB=ZBAD,

：.ZBAD=ZABE,

；・AF=BF,

・•・△胡8是等腰三角形.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系

等知识点的应用，能求出/AC8=NA1。是解此题的关键，题目比较典型，综合性比较强.

26.（2020秋•常州期中）如图，在△A4C中，AB=ACf以A8为直径的O。交BC于点O.

（1）判断。。与AC的位置关系，并说明理由；

（2）。是8c的中点吗？为什么？

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到・・・N8=NC,/B=NODB,得到NOQ3=NC,根据平行线的

判定定理证明；

（2）根据三角形中位线定理证明.

【解答】解；（1）OD//AC,

理由如下：・・・/W=AC,

:,4B=/C,

•：OB=OD,

：,ZB=ZODB,

：./ODB=/C,

・•・OD//AC；

（2）。是BC的中点，

VOD//AC,OA=OB,

:.BD=DC,即。是8C的中点.

【点评】本题考查的是圆周角定理、平行线的判定和性质，掌握等腰三角形的性质、平行线的判定定理

是解题的关键.

27.（2021秋•新吴区期中）如图，A3是OO的直径，弦于点K,且。。=24,点M在。。上，MD

经过圆心O,连接MB.

（1）若B£=8,求。。的半径；

（2）若N£>M8=N。，求线段OE的长.

【分析】（1）根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题;

（2）根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长.

【解答】解：（I）设。。的半径长为「，

则（7E=r-8,

••・AB是OO的直径，弦CDLAB于点E,且CQ=24,

：.DE=\2,

・・・0。2=。炉+。炉，

即r=（r-8）2+122,

解得，r=13,

即O。的半径是13；

(2)连接4C,

♦：/DMB=ND,/DMB=/DCB,

：./D=/DCB,

〈AB是O。的直径，弦CO_LA8于点E,且CO=24,

：,CE=DE=\2,ZCEB=ZDEO,

:ACEB式ADEO(ASA),

・•・OE=BE=65OB,

设00的半径长为r,

则r=122+(0.5r)2,

解得，r=8点或r=-8^3(舍去)，

・•・OE=4M.

【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

28.（2021秋•江阴市期中）如图，在△A8C中，AB=AC,以若C为直径的。。交48于点。，交BC于点

E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若BO=2,BE=3,求AC的长.

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一即可解决问题;

（2）只要证明△BEQS^BAC,可得思=理，由此即可解决问题;

BABC

【解答】（1）证明：连接AE,如图,

联/Z、%•a：\\，//

B~~E—C

〈AC为。。的直径，

AZ4EC=90°，

：.AELBC,

而AB=AC,

:.BE=CE；

（2）连接2£如图，

,:BE=CE=3,

:・BC=6,

•：NBED=NBAC,

而NDBE=NCBA,

:.ABEDsABAC,

・BE_BDgn3_2

••氤一而''前一E'

・・・BA=9,

,\AC=BA=9.

【点评】本题考查圆周角定理.、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会填空常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

29.（2020秋•宿城区校级期中）已知：如图I,在OO中，直径A5=4,CD=2,直线AO,5C"相交于点E.

（1）NE的度数为60°；

（2）如图2,AZT与CO交于点人请补全图形并求/£的度数;

（3）如图3,弦A8与弦。。不相交，求N4EC的度数.

E

DD

C

"9"争金

⑴(2)(3)

【分析】(1)连接。。，OC,BD,根据已知得到4。。。为等边三角形,根据直径所对的圆周角是直角,

求出/E的度数；

(2)同理解答(2)(3).

【解答】解：(1)如图1,连接。Q,OC,/3Q,

二

(1)

'：OD=OC=CD=2

•••△QOC为等边三角形,

：,ZDOC=60°

：,ZDBC=30°

/.Z£BD=30°

二•AB为直径,

・•・ZADB=90°

AZE=90°-30°=60°,

/上的度数为60°；

(2)①如图2,直线A。，CB交于点E,连接OQ,OC,AC.

DE

⑵

,：OD=OC=CD=2,

•••△OOC为等边三角形，

AZDOC=60°,

AZDAC=30°,

/.ZEBD=30°,

•••AS为直径，

・・・NACB=90°,

••・/E=90°-30°=60°,

(3)如图3,连接OD,OC>

•••△OOC为等边三角形，

・・・NOOC=60°,

AZCBD=30°,

••・NAD8=90°,

.•・/BEO=60°,

/.ZAEC=600.

【点评】本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造

直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答.

七.圆内接四边形的性质（共3小题）

3（）.（2022秋•祁江区期中）如图，已知四边形人8co内接于圆。，ZA=I05°,BD=CD.

（1）求NO3c的度数；

（2）若OO的半径为3,求标的长.

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得NC的度数，然后根据等边对等角可得答案；

（2）首先计算出N8OC的度数，再根据圆周角定理可得N80C的度数，进而可得标的长.

【解答】解：（1）•・•四边形ABCO内接于圆。，

：.ZDCB+ZBAD=\SO°，

VZA=105°,

/.ZC=180°-105°=75°,

BD=CD,

:,NDBC=NC=75°；

(2)连接40、CO,

VZC=ZDBC=75°,

：.ZBDC=30°,

・・・NBOC=60°,

故标的长/=6QKX3

180

【点:评】此题主要考查了圆周角定理，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补.

31.（2020秋•吴江区期中）如图，在。。的内接四边形A8CO中，AB=AD,ZC=120°,点石在右上.

（1）求NAEO的度数;

（2）连接O。、OE,当NQOE=90。时，AE恰好为的内接正"边形的一边，求〃的值.

【分析】（1）首先连接8D,由在。。的内接四边形A8C。中，NC=120°,根据圆的内接四边形的性

质，N8AQ的度数，又由AB=A。，可证得△A3。是等边三角形，则可求得乙48。=60°,再利用圆的

内接四边形的性质，即可求得/AEO的度数；

（2）首先连接。4,由/相。=60°,利用圆周角定理，即可求得NAOO的度数，继而求得NAO