2024-2025学年新教材高中数学第十章概率10.1.4概率的基本性质学案新人教A版必修第二册

PAGE1-10．1.4概率的基本性质考点学习目标核心素养概率的性质理解并识记概率的性质数学抽象概率性质的应用会用互斥事务、对立事务的概率求解实际问题数学抽象、数学逻辑问题导学预习教材P239－P242的内容，思索以下问题：1．概率的性质有哪些？2．假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)与P(A)，P(B)有什么关系？3．假如事务A与事务B为对立事务，则P(A)与P(B)有什么关系？概率的性质性质1：对随意的事务A，都有P(A)≥0；性质2：必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于随意事务A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1.性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事务，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随意事务A发生的概率P(A)总满意0<P(A)<1.()(2)若事务A为随机事务，则0<P(A)<1.()(3)事务A与B的和事务的概率肯定大于事务A的概率．()(4)事务A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．解析：因为A与B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.答案：0.3(2024·广西钦州市期末考试)某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为________．解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事务，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为P＝1－0.25－0.03＝0.72.答案：0.72互斥事务与对立事务概率公式的应用一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事务分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13.(1)P(射中10环或9环)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事务“至少射中7环”与事务E“射中7环以下”是对立事务，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87.所以至少射中7环的概率为0.87.[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．解：事务“射中环数小于8环”包含事务D“射中7环”与事务E“射中7环以下”两个事务，则P(射中环数小于8环)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29.eq\a\vs4\al()互斥事务、对立事务概率的求解方法(1)互斥事务的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)对于一个较困难的事务，一般将其分解成几个简洁的事务，当这些事务彼此互斥时，原事务的概率就是这些简洁事务的概率的和．(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，经常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．[留意]有限个彼此互斥事务的和的概率，等于这些事务的概率的和，即P(eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))Ai)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)．某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2人的概率；(2)求派出医生至少2人的概率．解：设“不派出医生”为事务A，“派出1名医生”为事务B，“派出2名医生”为事务C，“派出3名医生”为事务D，“派出4名医生”为事务E，“派出5名及5名以上医生”为事务F，事务A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74.互斥、对立事务与古典概型的综合应用某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参与了一支球队，详细状况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：(1)该队员只属于一支球队的概率；(2)该队员最多属于两支球队的概率．【解】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事务A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．则P(A)＝eq\f(5,20)，P(B)＝eq\f(3,20)，P(C)＝eq\f(4,20).(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事务D.则D＝A＋B＋C，因为事务A，B，C两两互斥，所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(4,20)＝eq\f(3,5).(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事务E，则eq\o(E,\s\up6(－))为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P(E)＝1－P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).eq\a\vs4\al()求困难事务的概率常见的两种方法(1)将所求事务转化成几个彼此互斥的事务的和事务；(2)若将一个较困难的事务转化为几个互斥事务的和事务时，须要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事务的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事务的概率．一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a，b，c)全部的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”为事务A，则事务A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).即“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事务B，则事务B的对立事务eq\o(B,\s\up6(－))包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9).即“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9).1．若A与B为互斥事务，则()A．P(A)＋P(B)<1B．P(A)＋P(B)>1C．P(A)＋P(B)＝1D．P(A)＋P(B)≤1解析：选D.若A与B为互斥事务，则P(A)＋P(B)≤1.故选D.2．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是eq\f(1,2)，乙获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲获胜的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(5,6)C.eq\f(1,6) D.eq\f(2,3)解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，故甲胜的概率为1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,6).故选C.3．(2024·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考)从一箱苹果中任取一个，假如其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．解析：设重量超过300克的概率为P，因为重量小于200克的概率为0.2,重量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.答案：0.34．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：记事务A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依据题意知，事务A1，A2，A3，A4彼此互斥．法一：(1)由互斥事务概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法二：(1)取出1球为红球或黑球的对立事务为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事务为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1＋A2)＝1－P(A3＋A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1＋A2＋A3的对立事务为A4，所以P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).[A基础达标]1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.90解析：选A.依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.2．(2024·陕西省咸阳市检测(一))某校高三(1)班50名学生参与1500m体能测试，其中23人成果为A，其余人成果都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是()A．0.14 B．0.20C．0.40 D．0.60解析：选A.由于成果为A的有23人，故抽到C的概率为1－eq\f(23,50)－0.4＝0.14.故选A.3．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析：选D.记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2，从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的基本领件有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个．由于每个基本领件发生的机会均等，因此这些基本领件的发生是等可能的．用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，则其对立事务eq\o(A,\s\up6(－))表示“所取的3个球中没有白球”，则事务eq\o(A,\s\up6(－))包含的基本领件有1个：(a1，a2，a3)，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10).故P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).4．抛掷一枚质地匀称的骰子，事务A表示“向上的点数是奇数”，事务B表示“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,6) D．1解析：选B.法一：A包含向上点数是1，3，5的状况，B包含向上的点数是1，2，3的状况，所以A∪B包含了向上点数是1，2，3，5的状况．故P(A∪B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(2,6)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).5．从1，2，3，…，30这30个数中随意摸出一个数，则事务“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是()A.eq\f(7,10) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(1,10)解析：选B.法一：这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事务不互斥，既是偶然又能被5整除的数有3个，所以事务“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为eq\f(18,30)＝eq\f(3,5).法二：设事务A“摸出的数为偶数”，事务B“摸出的数能被5整除”，则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，P(A∩B)＝eq\f(3,30)＝eq\f(1,10)所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(3,5).6．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.2.(1)假如B⊆A，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________；(2)假如A，B互斥，则P(A∪B)＝________，P(AB)＝________．解析：(1)因为B⊆A，所以P(A∪B)＝P(A)＝0.4，P(AB)＝P(B)＝0.2.(2)假如A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.P(AB)＝P(∅)＝0答案：(1)0.40.2(2)0.607．事务A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，且P(A)＝2P(B)，则P(A)＝________．解析：因为事务A，B互斥，它们都不发生的概率为eq\f(2,5)，所以P(A)＋P(B)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).又因为P(A)＝2P(B)，所以P(A)＋eq\f(1,2)P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(A)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)8．某商店月收入(单位：元)在下列范围内的概率如下表所示：月收入[1000，1500)[1500，2000)[2000，2500)[2500，3000)概率0.12ab0.14已知月收入在[1000，3000)内的概率为0.67，则月收入在[1500，3000)内的概率为________．解析：记这个商店月收入在[1000，1500)，[1500，2000)，[2000，2500)，[2500，3000)范围内的事务分别为A，B，C，D，因为事务A，B，C，D互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.67，所以P(B＋C＋D)＝0.67－P(A)＝0.55.答案：0.559．已知数学考试中，李明成果高于90分的概率为0.3，大于等于60分且小于等于90分的概率为0.5，求：(1)李明成果大于等于60分的概率；(2)李明成果低于60分的概率．解：记A：李明成果高于90分，B：李明成果大于等于60分且小于等于90分，则不难看出A与B互斥，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.5.(1)因为“李明成果大于等于60分”可表示为A∪B，由A与B互斥可知P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.5＝0.8.(2)因为“李明成果低于60分”可表示为A∪B，因此P(A∪B)＝1－P(A∪B)＝1－0.8＝0.2.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司打算了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别实力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的全部可能状况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D表示此人被评为优秀的事务，E表示此人被评为良好的事务，F表示此人被评为良好及以上的事务．则(1)P(D)＝eq\f(1,10).(2)P(E)＝eq\f(3,5)，P(F)＝P(D)＋P(E)＝eq\f(7,10).[B实力提升]11．已知A，B，C两两互斥，且P(A)＝0.3，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.6，P(C)＝0.2，则P(A∪B∪C)＝________．解析：因为P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.6，所以P(B)＝1－P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.4.所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.答案：0.912．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中取出2粒都是白子的概率为eq\f(12,35).那么，现从中随意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中随意取出2粒都是黑子”为事务A，“从中随意取出2粒都是白子”为事务B，“随意取出2粒恰好是同一色”为事务C，则C＝A＋B，且事务A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即“随意取出2粒恰好是同一色”的概率为eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)13．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天起先营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发觉存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．解析：商店不进货即日销售量少于2件，明显“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不行能同时发生，彼此互斥，分别计算两事务发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事务A，“当天商品销售量为1件”为事务B，“当天商店不进货”为事务C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)14．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放状况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误