随机过程试卷

随机过程试卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）1.马尔可夫链中，状态转移概率矩阵的主对角线元素之和为1，这是因为（）。A.每个状态的概率之和为1B.状态转移概率之和为1C.主对角线元素表示状态自身转移的概率D.马尔可夫链的任意状态都可以转移到自身2.在随机过程中，若X(n)表示第n次试验的结果，则E[X(n)]表示的是（）。A.第n次试验的期望值B.所有试验结果的平均值C.第n次试验的结果D.随机过程的期望值3.对于一个离散时间随机过程{Xn}，若E[Xn^2]有限，则称该过程是（）。A.二阶矩过程B.广义平稳过程C.马尔可夫过程D.独立增量过程4.在布朗运动中，粒子的位移服从（）。A.正态分布B.二项分布C.泊松分布D.均匀分布5.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0，则对任意的0≤s<t，X(t)X(s)与X(s)（）。A.相互独立B.不相互独立C.必然相等D.必然不等6.在随机过程理论中，"各态历经性"是指（）。A.过程的每个状态都以相同的概率出现B.过程的每个状态都经历一次C.过程的统计特性随时间的平均与时间无关D.过程的统计特性随时间的平均等于空间的平均7.对于一个随机过程{X(t),t≥0}，若对任意的t1<t2<t3<<tn，随机变量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互独立，则称该过程为（）。A.独立增量过程B.马尔可夫过程C.平稳过程D.独立同分布过程8.在随机过程中，若{Xn}是独立同分布的随机变量序列，且每个Xn都有相同的分布函数F(x)，则称{Xn}是（）。A.独立增量过程B.马尔可夫链C.平稳过程D.独立同分布过程9.对于一个随机过程{X(t),t≥0}，若对任意的t1<t2<t3<<tn，随机变量X(t1),X(t2)X(t1),,X(tn)X(tn1)相互独立，且每个增量都有相同的分布函数F(x)，则称该过程为（）。A.独立增量过程B.马尔可夫过程C.平稳过程D.独立同分布过程10.在随机过程理论中，"遍历性"是指（）。A.过程的每个状态都以相同的概率出现B.过程的每个状态都经历一次C.过程的统计特性随时间的平均与时间无关D.过程的统计特性随时间的平均等于空间的平均二、填空题（5小题，每小题2分，共10分）11.马尔可夫链中，状态转移概率矩阵的主对角线元素之和为1，这是因为每个状态的概率之和为1。12.在随机过程中，若X(n)表示第n次试验的结果，则E[X(n)]表示的是第n次试验的期望值。13.对于一个离散时间随机过程{Xn}，若E[Xn^2]有限，则称该过程是二阶矩过程。14.在布朗运动中，粒子的位移服从正态分布。15.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0，则对任意的0≤s<t，X(t)X(s)与X(s)相互独立。三、解答题（3小题，每小题10分，共30分）16.设随机过程{X(t),t≥0}是独立增量过程，且X(0)=0。证明：对任意的0≤s<t，X(t)X(s)与X(s)相互独立四、计算题（3小题，每小题10分，共30分）17.设随机过程X(t)=tZ，其中Z是标准正态随机变量。计算E[X(t)]和Var[X(t)]。18.设随机过程Y(t)=sin(ωt+θ)，其中ω是常数，θ是(0,2π)上均匀分布的随机变量。计算E[Y(t)]和Cov[Y(s),Y(t)]。19.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=exp(X(t))。计算E[Y(t)]。五、证明题（3小题，每小题10分，共30分）20.设随机过程X(t)是独立增量过程，且X(0)=0。证明：对任意的0≤s<t，X(t)X(s)与X(s)相互独立。21.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=exp(X(t))。证明：Y(t)是几何布朗运动。22.设随机过程X(t)是离散时间马尔可夫链，状态空间为{0,1,2,,N}。证明：X(t)的极限分布存在且唯一。六、应用题（3小题，每小题10分，共30分）23.设随机过程X(t)是布朗运动，Y(t)=X(t)2。计算E[Y(t)]和Var[Y(t)]。24.设随机过程X(t)是离散时间马尔可夫链，状态空间为{0,1,2,,N}。给定初始分布和状态转移概率矩阵，计算X(t)的分布。25.设随机过程X(t)是独立增量过程，且X(0)=0。给定X(t)的分布函数，计算E[X(t)]和Var[X(t)]。一、选择题答案：1.C2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.D9.A10.B二、判断题答案：11.正确12.错误13.正确14.正确15.错误三、解答题答案：16.证明：由独立增量过程的定义可知，对任意的0s<t，X(t)X(s)与X(s)相互独立。又因为X(0)=0，所以X(t)X(s)与X(s)相互独立。四、计算题答案：17.解：E[X(t)]=E[sin(tZ)]=sin(t)E[Z]=0，Var[X(t)]=E[sin2(tZ)](E[sin(tZ)])2=E[sin2(tZ)]=sin2(t)E[Z2]=t2/2。18.解：E[Y(t)]=E[exp(sZ)]=exp(E[sZ])=exp(0)=1，Cov[Y(s),Y(t)]=E[Y(s)Y(t)]E[Y(s)]E[Y(t)]=E[exp(sZ)exp(tZ)]E[exp(sZ)]E[exp(tZ)]=exp((s+t)2/2)exp(s2/2)exp(t2/2)。19.解：E[Y(t)]=E[exp(X(t))]=exp(E[X(t)]+Var[X(t)]/2)=exp(0+t2/2)。五、证明题答案：20.证明：由独立增量过程的定义可知，对任意的0s<t，X(t)X(s)与X(s)相互独立。又因为X(0)=0，所以X(t)X(s)与X(s)相互独立。21.证明：由布朗运动的定义可知，X(t)是连续时间随机过程，且具有独立增量。又因为Y(t)=exp(X(t))，所以Y(t)是连续时间随机过程，且具有独立增量。因此，Y(t)是几何布朗运动。22.证明：由离散时间马尔可夫链的性质可知，极限分布存在且唯一。六、应用题答案：23.解：E[Y(t)]=E[X2(t)]=t，Var[Y(t)]=E[X4(t)](E[X2(t)])2=3t2t2=2t2。24.解：略。25.解：E[X(t)]=t，Var[X(t)]=t2。1.随机过程的基本概念：随机过程、离散时间随机过程、连续时间随机过程、马尔可夫链、布朗运动等。2.随机过程的性质：独立增量、马尔可夫性、平稳性等。3.随机过程的统计特性：期望、方差、协方差等。4.随机过程的应用：金融、物理、生物等领域的应用。各题型所考察学生的知识点详解及示例：1.选择题：考察学生对随机过程基本概念的理解，如马尔可夫链的状态转移概率矩阵、布朗运动的性质等。2.判断题：考察学生对随机过程性质的理解，如独立增量过程的性质、马尔可夫链的极限分布等。3.解答题：考察学生对随机过程性质的应用能力，如证明独立增量过程的性质、计算随机过程的期望