《金融工程》 课件 第六章 远期与期货定价

第六章远期与期货定价《金融工程》中国人民大学出版社冯建芬邓军余湄编著2主要内容第一节已知现金收益资产的远期和期货定价第二节

已知收益率资产的远期和期货定价第三节

远期和期货定价的其他问题学习要求理解不同情形下的远期和期货无套利定价的思路和套利策略设计思路；掌握不同情形下的定价公式，能够应用股指期货、国债期货、外汇期货、商品期货的定价公式计算不同期货的理论价格，设计价格不合理时的套利策略；了解期货价格和远期价格、现货价格的关系。5第一节已知现金收益资产的远期和期货定价一、已知现金收益资产的远期价格支付现金收益的资产特征是在远期（期货）有效期期间，标的资产会产生完全可预期的确定性现金流股票发放的现金红利，债券支付的固定票息，商品存储支付的仓储成本...例6.1考虑购买一份附息票债券的远期合约，债券的当前价格为900元，假定远期合约期限为一年，债券在5年后到期，假设6个月后，债券会支付40元的利息，其中第二次付息日恰恰是远期合约交割日的前一天。6个月与一年期的无风险连续复利分别为9%和10%，求该远期合约的交割价格。一、已知现金收益资产的远期价格组合A：一份期货合约多头加上一笔数额为Ke-0.1的现金；组合B：一单位标的资产+40e-0.045的6个月期负债+40e-0.1的1年期负债。期末价值：A：ST-K+K=STB：ST推导方法例6.1结论对于一般情况，设标的资产当前价格为St，远期合约期间需支付的收益的现值为It，无风险利率为r，距合约的到期期限为T-t，则当前(t时刻)远期价格为：二、定价不合理的套利策略设计若远期签约时执行价格不等于远期价格，或者期货报价不等于远期价格，就会产生套利机会，利用上述组合的一买一卖就可以构建套利策略。若K>F(t,T)：套利者可以卖出远期合约，买入资产，即实施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以买入远期合约，卖空资产，实施反向持有成本策略例6.1续如何构造套利策略？第一种情况：K=930第二种情况：K=905总结：：套利者可以卖出远期合约，买入资产：套利者可以买入远期合约，卖出资产由于912.39<930，故债券远期的协议价格被高估，可以卖出债券远期，买入债券现货构建持有成本策略，具体策略表所示。12K=930的持有成本套利策略时间0时刻6个月12个月市场操作1.借入900元，+900，其中:38.24元以9%的年利率借入6个月861.76元以10%的年利率借入1年2.购买一份债券现货:-900元3.卖出债券远期:0元1.6个月期38.24元贷款的本息和:-40元2.债券在6个月后收到利息:40元1.偿还861.76元贷款的本利和:-861.76e0.1×1=-952.39元2.债券在12个月后收到利息:+40元3.执行远期合约，出售债券，+930元净现金流0元0元17.61元由于912.39>905，故故债券远期的协议价格被低估，可以买入债券远期，卖空债券现货构建反向持有成本策略13K=905的反向持有成本套利策略时间0时刻6个月12个月市场操作1.卖空债券现货:+900元2.以38.24元做6个月期的无风险投资:-38.24元3.以861.76元做1年期的无风险投资:-861.76元4.买入一份债券远期1.38.24元投资6个月的本息:40元2.支付6个月后的债券利息:-40元1.861.76元投资1年的本息:952.39元2.40元用来支付一年后的债券利息:-40元3.905元用来交割到期的远期合约:-905元4.所得的债券用来平仓现货空头净现金流0元0元17.61元适用产品发放现金红利的股票或者股指期货发放票息的国债期货包含存储成本或者便利收益的商品期货（存储成本可以看做负的现金红利）三、国债期货的定价在利率确定的情况下，期货的报价等于相应时间长度的远期价格。但国债期货的标的资产是虚拟国债，怎么办？债券远期：空方应收到的现金=债券远期价格

（1）国债期货：空方应收到的现金=期货报价X交割债券的转换因子+交割债券的应计利息(AIT)（2）期货理论报价=(债券的远期价格-AIT）/转换因子（一）可交割债的无套利价格债券的远期价格=（债券净价报价+AIt-It）er(T-t)It（一）可交割债的无套利价格国债期货的报价是与CTD相关联的：期货理论报价=(CTD的远期价格-AIT）/转换因子即：国债期货的报价如何计算？

(6.4)式中，若债券为CTD券，则为期货的理论报价，若为任一可交割债，则为该可交割债对应国债期货的无套利价格卖方会选择成本最低的债券作为交割债，因此我们自然选择使得F_t最低的债券作为最可能用于交割的债券，这就是基于无套利价格选择最便宜可交割债的方法。因此，我们得到到期前选择最便宜可交割债的第三种方法：具有最低无套利价格的可交割债是最便宜可交割债。（二）基于无套利价格选择最便宜可交割债例6.4

假设目前6个月到期的我国5年期国债期货仅有3种可交割债X、Y、Z，如表6.3所示，表6.3中也包括在当前时间t点的债券价格及各债券的转换因子和无套利价格，假设一年期连续无风险利率为4%，所有三种债券每一年支付利息,最后一期的息票刚支付。

计算债券X的无套利价格，并确定谁是该国债期货的最便宜可交割债解析

（三）国债期货的套利策略设计当国债期货的理论报价偏离计算的取值时,就可以利用最便宜交割债和国债期货之间的价差进行套利。例6.5.国债期货的套利—买现卖期假设当前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我国5年期国债期货（TF2306）报价为100.83元（剩余期限为41天，一年按照365天计算），而TF2306的CTD为一个10年期的附息国债，息票率为3.46%，剩余期限为4.19年，该债券净价报价为102元，当前应计利息为2.8元，在TF2306到期日的应计利息为3.21元，期货到期期限内CTD没有利息支付，CTD的转换因子为1.0174,假设无风险利率为2.13%(连续复利).在不考虑交易成本和允许卖空的情况下，上述价格是否存在套利机会，如果存在如何套利，给出具体的套利策略和最终的套利收益情况。

例6.5国债期货的套利—买现卖期持有成本套利策略--套利过程此处主要考虑到标的国债与CTD的差别，由于转换因子的存在，会使得单位国债期货的每日结算金额与单位CTD的价值变化不均等。初始时刻期货到期日1.借入104.8元，+104.82.买入1单位CTD(面值100元),-104.82.卖出1.0174单位国债期货1.平仓了结0.0174单位国债期货，获益0.0174×(F0-FT)2.以原CTD券交割1单位国债期货,获益：F0-FT+1.0174×FT+AIT3.偿还借款104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051净现金流=0净现金流=1.0174F0+AIT-105.051=1.0174×100.83+3.21-105.051=0.7434假设当前是2023年5月3日，2023年6月份到期的我国5年期国债期货（TF2306）报价为99元（剩余期限为41天，一年按照365天计算），而TF2306的CTD为证券代码为一个10年期的附息国债，息票率为3.46%，剩余期限为4.19年，该债券净价报价为102元，当前应计利息为2.8元，在TF2306到期日的应计利息为3.21元，期货到期期限内CTD没有利息支付，CTD的转换因子为1.0174,假设无风险利率为2.13%(连续复利).在不考虑交易成本和允许卖空的情况下，上述价格是否存在套利机会，如何存在如何套利，给出具体的套利策略和最终的套利收益情况。例6.6国债期货的套利—买期卖现

国债期货的套利问题反向持有成本套利策略--套利过程初始时刻期货到期日1.卖空1单位CTD（面值100元）,+104.82.买入1.0174单位国债期货3.将所得收入104.8元投资无风险资产,-104.81.平仓了结0.0174单位国债期货，获益0.0174×(FT-F0)2.交割1单位国债期货,获得CTD券,平仓CTD空头，获益：FT-F0-(1.0174×FT+AIT)投资收入104.8×e^((0.0213×41/365))=105.051净现金流=0净现金流=105.051-（1.0174F0+AIT）=105.051-1.0174×99-3.21=1.1184反向持有成本策略存在的问题1.卖空限制的影响。由于该策略中需要卖空国债现货，卖空限制可能使得上述策略无法实施。2.CTD券的变动。由于卖方选择权，CTD券未来有可能发生变动，因此未来的交割对手未必使用实施者手中的债券进行交割，此时策略实施者会面临两种债券的平仓风险。3.卖方选择权使得国债期货价格理论上就应该低于CTD券对应的无套利价格，有可能并不存在套利机会。现实中对国债期货实施反向持有成本策略存在更多的困难和不确定性四、商品期货的定价针对商品的储存费用：可以看成持有现货期间会产生的负的现金红利，故：针对商品的便利收益（若看作现金收益）：将利率改成单利：因此:期货价格-现货价格=资金成本+仓储成本-便利收益四、商品期货的定价例题6.7（商品期货）考虑黄金的一年期货合约，假设当前现货价格为450美元，无风险连续复利为7%.每盎司黄金的储存成本为2美元，期末支付储存成本。试计算1年期黄金期货的理论价格。到期日黄金有储存成本2美元，故1年期黄金期货的理论价格为：解析：33第二节已知收益率资产的远期和期货定价一、已知收益率资产的远期价格1.红利再投资的概念：红利再投资，是指将资产所得收益立即投资到该资产中的投资行为。通过红利在投资，我们虽然不知道资产未来获得的红利收益的具体价值，但可以转换为确定数量的资产，由此取消红利价值的不确定因素。例题6.8假设一支股票在6个月内将发放一次股票红利，发放比例为1:0.1，即红利率为q=10%，则考虑红利再投资，期初持有多少股股票，在6个月后可以拥有1股股票？解析：若假设期初持有a股股票，则通过红利再投资，6个月后投资者可以获得：故（二）支付已知收益率资产的远期价格例6.10：考虑一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率为4%的连续红利收益率。无风险利率为10%。当前股价为$25。试求当前远期合约的远期价格。例题6.10解析

（6.9）二、定价不合理的套利策略设计类似有现金收益的资产套利策略设计：若K>F(t,T)：套利者可以卖出远期合约，买入资产，即实施持有成本策略若K<F(t,T)：套利者可以买入远期合约，卖空资产，实施反向持有成本策略接例6.10，若股票远期签约时协议价格为28元。则28>F(t,T)=25.76，可以卖出股票远期，借入资金买入股票，设计持有成本策略获益。39持有成本套利0时刻6个月后1.以利率10%借入25e-0.04×1/2元6个月:24.5元2.购买0.98(=e-0.04×1/2)份股票现货:-24.5元3.卖出一单位股票的6个月期远期合约:0元1.通过红利再投资获得1单位股票,用1单位股票现货交割到期的远期合约:28元2.偿还6个月期24.5元贷款的本利和:-25.76元合计:0元合计:2.24元接例6.10，若股票远期签约时协议价格为23元。则23<F(t,T)=25.76，可以买入股票远期，卖空股票，设计反向持有成本策略获益。40反向持有成本套利0时刻6个月后1.卖空0.98份股票现货:24.5元2.按年利率10%进行期限为6个月的投资:-24.5元3.购买一单位股票的6个月期远期合约:0元1.24.5元投资6个月的本息和:25.76元2.交割远期合约获得一单位股票支付:-23元3.用远期合约交割所得的一单位股票平仓股票空头头寸(此时需要偿还1单位股票)合计:0元合计:2.76元适用的产品考虑红利收益的股指期货外汇期货——远期汇率的确定计价货币看作本币，标的货币看作标的资产，标的货币的利率为红利率，计价货币的利率为无风险利率考虑便利收益率和仓储费率的商品期货便利收益率看作红利率，仓储费率看作负的红利率外汇远期和期货价格的确定公式(连续复利）：按年计复利的情况下：

其中：S:即期汇率（直接标价法：1外币=X本币）F：T时刻到期的远期汇率（直接标价法）

r:本币利率q:外币利率三、外汇期货和股指期货定价43假设一美国客户要求银行报出欧元兑美元的远期汇价，一年后交割。客户希望从该银行恰好购买1,100,000欧元。假设欧元兑美元的即期汇率为1.5,欧元一年期的利率为10%（按年计息复利），美元一年期的利率为6%（按年计息复利），银行最终每欧元要赚取0.01美元的价差费用，试求银行对客户应给出什么样的报价。例6.11远期外汇合约定价

44解析股指期货的定价如果股票指数包含的指数股数量较多，而且各种指数股的分红事件在时间与数量上分布比较均匀，那么我们可以合理地假设红利是完全均匀分布的。用q表示指数红利的连续复合收益率，则例6.1246考虑一个沪深300指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的红利收益率为每年2%(连续复利)，指数现值为3000,连续复利的无风险利率为3%,请计算沪深300期货的理论报价。47第三节远期和期货定价的其他问题一、远期合约的价值计算远期合约的价值：即买卖远期合约需要支付费用（不考虑手续费）远期合约在签约时刻，价值应该为0；但随着时间的推移，由于标的资产价格的变动，其合约价值相应发生变化。

一、远期合约的价值计算对于任意情形的标的资产，其远期合约的价值可以根据最新的远期价格报价计算，公式为：将不同情形下远期价格的计算公式带入，可以得到远期合约价值与现货价格的关系：一、远期合约的价值计算例6.15（债券远期合约的价值计算）一个债券价格为900元。假设1年期债券远期的协议价格为910元,债券在6个月和12个月都会有60元付息。第二次付息日正好在债券远期交割日之前。6个月和12个月无风险连续复利分别为年利率9%和10%。求远期合约的价值。解析

二、期货价格、远期价格与现货价格的关系（一）期货价格与远期价格的关系S.A.Ross,J.C.Cox,J.E.Ingersoll（1981）：1、当无风险利率确定时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。2、当利率无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。取决于标的资产价格与利率的相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。相反，当标的资产价格与利率呈负相关性时，远期价格就会高于期货价格。（二）期货价格与当前现货价格的关系若假设标的资产的期望收益率为k，则:（三）期货价格与未来现货价格的关系k(实际期望利率)和r(无风险利率)的大小就决定了F和E（ST）孰大孰小。而k值的大小取决于标的资产的系统性风险。根据资本资产定价原理：若标的资产的系