常州市武进区2024年中考适应性考试数学试题含解析

常州市武进区2024年中考适应性考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列选项中，可以用来证明命题“若。2>肥，则是假命题的反例是（）

A.a=-2,b=\B.a=3tb=-2C.〃=0,b=lD.a=2,b=l

2.如图，在A45C中，BC边上的高是（）

A.ECB.BHC.CDD.AF

3.如图所示,正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.273B.2C.3D.76

4.已知二次函数y=・（x・h户+1（为常数），在自变量x的值满足6x03的情况下，与其对应的函数值y的最大值为一

5,则h的值为（）

A.3-底或1+RB.3-底或3+仇

C.3+瓜或1-RD.1■迷或1+>/6

5.人的大脑每天能记录大约8600万条信息，数据8600用科学记数法表示为（）

A.0.86x104B.8.6x102C.8.6xl03D.86xl02

6.如图，将△ABC沿DE,EF翻折，顶点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO,若NDOF=142。，则

ZC的度数为（）

c

C.42°I).48°

7.如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长丫随他与点A之间的距离x的变化而变

化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（）

8.如图，NACB=90。，I）为AB的中点，连接DC并延长到E,®CE=-CD,过点B作BF〃DE,与AE的延长线

3

9.如图，已知AC是。。的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交。O于点

A.DE=EBB.V2DE=EBC.百DE=DOD.DE=OB

10.一、单选题

二次函数的图象如图所示，对称轴为x=l,给出下列结论：①abcvO；②b?>4ac；③4a+2b+c<0；④2a+b=0..其中正确的结

论有:

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.计算a3+a2・a的结果等于.

12.已知个,,则_=________.

■O=i■一W一

3jD-Q

"」，则』一酬面积

13.如图，在△ABC中，DE〃BC,

DB2四边形BCEQ的面积

一什。2a+b

14.若7二;,则一；一=

b3b

15.如国，。。的半径为1cm,正六边形ARCDEF内接于。O,则图中阴影部分面积为cm1.（结果保留Q

17.点A（・2,l）在第_____象限.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）国家发改委公布的《商品房销售明码标价规定》，从2011年5月1日起商品房销售实行一套一标价.商

21.（10分）已知反比例函数的图象过点A（3,2）.

n=

（1）试求该反比例函数的表达式；

（2）M（w,〃）是反比例函数图象上的一动点，其中0V加V3,过点M作直线轴，交y轴于点8；过点A

作直线AC〃），轴，交x轴于点C,交直线M3于点O.当四边形OAOM的面积为6时，请判断线段8M与的大

小关系，并说明理由.

22.（10分）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元,每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决

定降价促销.若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；经调查，若该商品

每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？

23.（12分）某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%,总支出比去年节约20%,

按计划今年总收入将比总支出多100万元.今年的总收入和总支出计划各是多少万元？

24.（14分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动,第一天收到捐款10000

元，第三天收到捐款12100元.

（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；

（2）按俄（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.由此即可解答.

【详解】

•・,当〃=-2,6=1时，（-2）2>12,但是・2VL

*,*«=-2,5=1是假命题的反例.

故选人

【点睛】

本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法.

2、D

【解析】

根据三角形的高线的定义解答.

【详解】

根据高的定义，A尸为△48。中8C边上的高.

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键.

3、A

【解析】

连接BD,交AC于O,

•・•正方形ABCD,

・・・OD=OB,AC±BD,

・・・D和B关于AC对称，

则BE交于AC的点是P点，此时PD+PE最小，

•・•在AC上取任何一点(如Q点)，QD+QE都大于PD+PE(BE),

・•・此时PD+PE最小，

此时PD+PE=BE,

•・•正方形的面积是12,等边三角形ABE,

.*.BE=AB=V12=2^，

即最小值是26,

故选A.

【点晴】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，轴对称-最短路线问题等知识点的应用，关键是找出PD+PE

最小时P点的位置.

4、C

【解析】

・・•当xVb时，），随X的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，

・・・①若加「娑3,x=l时，取得最大值-5,

可得：-（1-/1）2+1=-5,

解得：h=3瓜或h=\+瓜（舍）；

②若\<x<3<ht当x=3时，j取得最大值-5,

可得：・（3-/02+1=5

解得：h=3+瓜或h=3•瓜（舍）.

综上，〃的值为1・G或3十几，

故选C.

点睛：本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的增减性和最值分两种情况讨论是解题拘关键.

5、C

【解析】

科学记数法就是将一个数字表示成仆1。的〃次第的形式，其中iwmivio,〃表示整数.〃为整数位数减1,即从左边

第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以io的〃次基.

【详解】

数据8600用科学记数法表示为8.6x10'

故选C.

【点睛】

用科学记数法表示一个数的方法是

（1）确定。是只有一位整数的数；

（2）确定〃：当原数的绝对值210时，〃为正整数，〃等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值VI时，〃为负整数,

〃的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）.

6、A

【解析】

分析：根据翻折的性质得出NA=NOOE,NB=/FOE,进而得出NOO/=NA+NB,利用三角形内角和解答即可.

详解：•・•将△ABC沿OE,E尸翻折，，NA=NDOE,NB=NFOE,：・N尸=NOOE+NEO尸=N4+N3=142°,二ZC=180°

-NA-Z»=180°-142°=38°.

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转

化的思想，属于中考常考题型.

7、A

【解析】

设身高GE=h,CF=bAF=a,

当烂a时,

在AOEG^OAOFC中，

ZGOE=ZCOF(公共角)，ZAEG=ZAFC=90°,

/.△OEG^AOFC,OE/OF=GE/CF,

yhhah

a(xy)I1h1h

Ta、h、I都是固定的常数，

・・・自变量x的系数是固定值，

・••这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线；

•・•影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大.

故选A.

8、C

【解析】

VZACB=90",D为AB的中点，AB=6,

ACD=-AB=1.

2

XCE=-CD,

3

ACE=1,

/.ED=CE+CD=2.

又...BF〃DE,点D是AB的中点，

・・・ED是AAFB的中位线，

ABF=2ED=3.

故选C.

9、D

【解析】

解：连接EO.

:.乙B=4OEB,

VZOEB=ZD+ZDOEtNAOB=3ND,

・・・N8+NO=3ND,

・•・ND+ND0E+ND=3ND,

:.NDOE=ND,

：.ED=EO=OBt

故选D.

10、B

【解析】

试题解析：①I•二次函数的图象的开口向下,

/.<7<0,

•・•二次函数的图象），轴的交点在J，轴的正半轴上,

・・・c>0,

・・•二次函数图象的对称轴是直线

b..

/.------=I,・・2。+5=0,Z»O

2a

.,.McvO,故正确；

②;抛物线与x轴有两个交点，

b1-4ac>0,/.b2>4ac,

故正确；

③・・♦二次函数图象的对称轴是直线x=l,

・•・抛物线上x=0时的点与当x=2时的点对称，

即当x=2时，j>0

.•・4n+2b-c>0,

故错误；

④;二次函数图象的对称轴是直线x=L

/.------=I,.*.2«+/>=0,

2a

故正确.

综上所述，正确的结论有3个.

故选B.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、a1

【解析】

根据同底数塞的除法法则和同底数幕乘法法则进行计算即可.

【详解】

解：原式

故答案为".

【点睛】

本题考杳了同底数幕的乘除法，关键是掌握计算法则.

12、3

【解析】

依据.，可设〃=3k,b=2A,代入一化简即可.

—=■■一

31AZ

【详解】

・♦

・=•

D1

/.可设a=3k,b=2k,

_____s/3

故答案为3.

【点睛】

本题主要考查了比例的性质及见比设参的数学思想，组成比例的四个数，叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,

中间的两项叫做比例的内项.

13.1

8

【解析】

先利用平行条件证明三角形的相似，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解题.

【详解】

AD1

解：VDE//BC,——=-,

DB2

.AD_1

••，

AB3

由平行条件易证4ADE〜△ABC,

；・SAADK：SAABC=1：9.

▲ADE的面积_S..ADE_1

四边形BCED的面积—S@ABC-S..ADE=8*

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，中等难度，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.

14、*

3

【解析】

£_2

厂不

a+b々，2,5

------=—+1=—+1=-

bb33

15、i

【解析】

试题分析：根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即

可.

试题解析：如图所示：连接BO,CO,

•・•正六边形ABCDEF内接于OO,

/.AB=BC=CO=1,ZABC=H0°,△OBC是等边三角形,

ACO/7AB,

在^COW和小ABW中

ZBWA=ZOWC

{ZBAW=ZOCWt

AB=CO

.,.△COW^AABVV（AAS）,

・••图中阴影部分面积为：S^OBC=60；rX?=-.

3606

考点：正多边形和圆.

16、1.

【解析】

在RtAABC中，已知tanA,BC的值，根据匕必=生，可将AC的值求出，再由勾股定理可将斜边AB的长求出.

AC

【详解】

BC4

解：RtAABC中，VBC=4,UnA=—=-,

AC3

・・・AC=-？J=3,

tanA

则AB=\IAC2+BC2=5.

故答案为L

【点睛】

考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.

17、二

【解析】

根据点在第二象限的坐标特点解答即可.

【详解】

丁点A的横坐标・2V0,纵坐标1>0,

・••点A在第二象限内.

故答案为：二.

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+,+）;第二象限（・，+）;第三象限

（・，・）；第四象限（+,・）.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）每次下调10%（2）第一种方案更优惠.

【解析】

(l)设出平均每次下调的百分率为X，利用预订每平方米俏售价格X(1.每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格

列方程解答即可.

(2)求出打折后的售价，再求出不打折减去送物业管理费的钱，再进行比较，据此解答.

【详解】

解：(1)设平均每次下调的百分率为x,根据题意得

5000x(1-x)2=4050

解得x=10%或x=L9(舍去)

答：平均每次下调10%.

(2)9.8折=98%,

100x4050x98%=396900(元)

100x4050-100x1.5x12x2=401400(元),

396900<401400,所以第一种方案更优惠.

答：第一种方案更优惠.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，能找到等量关系式，并根据等量关系式正确列出方程是解决本题的关键.

19、(1)ZEPF=120°；(2)AE+AF=6石.

【解析】

试题分析：(D过点P作PGJLEF于G,解直角三角形即可得到结论；

(2)如图2,过点P作PMJLAB于M,PN_LAD于N,证明△ABC丝ZkADC,R.APME^RtAPNF,问题即可得证.

试题解析：

(1)如图L过点P作PG_1_EF于G,

VPE=PF,

:.FG=EG=[EF=2百,NFPG=N£PG=[NEPF,

22

在AFPG中，sinNFPG=型=出=且，

PF42

:.ZFPG=60°,

/.ZEPF=2ZFPG=120o；

(2)如图2,过点P作PM_LAB于NLPN_LAD于N,

・・•四边形ABCD是菱形,

图2

AAD=AB,DC=BC,

AZDAC=ZBAC,

APM=PN,

在RtAPME于RtAPNF中,

PM-PN

PE=PF

：.RAPME^R.APNF,

AFN=EM,在RtAPMA中，ZPMA=90°,ZPAM=-ZDAB=30°,

2

AAM=AP-cos30°=3^，同理AN=3百，

AAE+AF=(AM-EM)+(AN+NF)=66.

【点睛】运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构

造直角三角形是解题的关键.

20、(1)5.3(2)见解析(3)2.5或6.9

【解析】

(1)(2)按照题意取点、画图、测量即可.(3)中需要将DE=2OE转换为y与x的函数关系，注意DE为非负数，

函数为分段函数.

【详解】

(1)根据题意取点、画图、测量的x=6时，y=5.3

故答案为5.3

(2)根据数据表格画图象得

-2x+8(0<x<4)

(3)当DE=2OE时，问题可以转化为折线与(2)中图象的交点

8-2x(4<x<8)

经测量得x=2.5或6.9时DE=2OE.

故答案为2.5或6.9

【点睛】

动点问题的函数图象探究题，考查了函数图象的画法，应用了数形结合思想和转化的数学思想.

21、(1)：(2)MB=MD.

n=z

【解析】

(1)将43,2)分别代入产一产中，得“、々的值，进而可得正比例函数和反比例函数的表达式；

U

Q

⑵有SAQ4C=JX二=3,可得矩形05DC的面积为12；即OCxOB=12；进而可得利、〃的值，故可得ZMf

.■

与0M的大小；比较可得其大小关系.

【详解】

(1)将.4(3,2)代入-中，得2・・・a=6,

0=-=-

ci

・••反比例函数的表达式为

0=1

(2)BM=DM,理由：・・・SAOM8=SAQAC=JX二『3,

S级OBIX^S因边形OADM+S^OMB+SAOAC=3+3+6=12,

即0C08=12,

VOC-3,即，『4,J.:，

二=一=■

DJ

：.MB=,MD=.,：.MB=MD.

-J--=-

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【点睛】

本题考查了待定系数法求反比例函数和正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识.熟练

掌握待定系数法是解（1）的关键，掌握反比例函数系数的几何意义是解（2）的关键.

22、（1）两次下降的百分率为10%；

（2）要使每月销售这种商品的利润达到110元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.1元.

【解析】

（1）设每次降价的百分率为x,（1-x）2为两次降价后的百分率，40元降至32.4元就是方程的等量条件，列出方

程求解即可；

（2）设每天要想获得110元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问