材料力学答案

第二章轴向拉压应力与材料的力学性能

2-1试画图示各杆的轴力图.

(a)(b)

3kN2kN

2kN3kN

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

：+)

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿

杆轴均匀分布，集度为外

(b)

题2—2图

(a)解：由图2—2a⑴可知，

F^(x)=2qa-qx

轴力图如图2—2a(2)所示,

尸i=2加

图2-2a

(b)解:由图2—2b(2)可知，

FR=qa

产N(F)="=W

FN(x2)=FR-q(x2-a)=2qa-qx2

轴力图如图2-2b(2)所示，

Fi=qa

图2-2b

2—3图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mnR教荷/=50kN。试求图示斜

截面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

m

m

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

斜截面〃厂机的方位角。=一50,故有

22

(y(/=acosa=100MPacos(-50)=41.3MPa

r„=^sin2«=50MPasin(-100°)=-49.2MPa

杆内的最大正应力与最大切应力分别为

(Tniax=(7=100MPa

工max=^=50MPa

2-5某材料的应力一应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定

材料的弹性模量E、比例极限。「、屈服极限q、强度极限外与伸长率%并判断该材料属于

何种类型(塑性或脆性材料)。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

E=—«220xO'Pa=220x109Pa=220GPa

Ac0.001

a«220MPa,。a240MPa

r，

<7b»440MPa,<5«29.7%

该材料属于塑性材料。

2—7一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2—6图所示。若杆径d=IOmm,杆

长/=200mm,杆端承受轴向拉力r=20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向

变形。

400

3

与

一00

工2

、00

O00

1

00?0406OR101.7

E/%

题2—6图

38

解：(7=F=4X20X10N=2.55x10Pa=255MPa

A兀x0.01()2nr

查上述曲线，知此时的轴向应变为

£=0.0039=0.39%

轴向变形为

A/=!*=(0.200m)x0.0039=7.8x10-m=0.78nim

拉力卸去后，有

q=0.00364,cp=0.00026

故残留轴向变形为

5

△1=fep=(0.200m)x0.00026=5.2xl0~m=0.052mm

2-9图示含圆孔板件，承受轴向载荷厂作用。已知载荷〃=32kN,板宽〃=100mm,

板厚3=15mm，孔径d=20mm。试求板件横截面上的最大拉应力(考虑应力集中)。

题2—9图

解：根据

d/b=0.020nV(0.100m)=0.2

查应力集中因数曲线，得

KH2.42

根据

(b-d)d'%

得

3

oKF2.42X32X10N,At-in7D。VD

CT=K(r=------------=------------------------------------=6.45xlOPa=64.5MPa

maxn(b—d)3(0.100-0.020)x0.015m2

2—10图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷尸二36kN,板宽。尸90mm,

〃2=60mm,板厚3=IOmm,孔径d=10mm,圆角半径R=12mm。试求板件横截面上的最大拉

应力（考虑应力集中）.

仇,-

题2-10图

解：1。在圆孔处

根据

且=%如=。W1

&0.090m

查圆孔应力集中因数曲幺戋，得

K产2.6

故有

KF2.6x36x10N——=1.17xlO8Pa=117MPa

°max=K。、

(b「d)3(0.090-0.010)xO.OlOm

2.在圆角处

根据

DJ=0.09()m=]$

db20.060m

区=区=四型=0.2

db20.060m

查圆角应力集中因数曲线，得

仁1.74

故有

"=—=悬湍｝S*E04MPa

3。结论

%wc=117MPa（在圆孔边缘处）

2-14图示桁架,承受铅垂载荷尸作用。设各杆的横截面面积均为A,许用应力均为［b］,

试确定载荷尸的许用值［/口。

题2—14图

解：先后以节点。与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为

FN\=&F

产N2=取3=尸

根据强度条件，要求

生㈤

A

由此得

此二甯

2—15图示桁架，承受载荷产作用，已知杆的许用应力为5,若在节点8和。的

位置保持不变的条件卜，试确定使结构重量最轻的。值（即确定节点A的最佳位置）。

题2-15图

解：1。求各杆轴力

设杆A3和BC的轴力分别为FNI和".2,由节点B的平衡条件求得

2三'凤2=尸抵地

2o求重量最轻的以值

由强度条件得

FF

A,=-------,4=——clana

团sina-[rr]

结构的总体积为

V=/4,/|+AJ^-———-----------+—ctana--(―^—Fctana)

'~[cr]sinacosa[o][a]sin2a

由

叱=。

da

得

3cos2a-l=0

由此得使结构体积最小或重量最轻的a值为

〜=54。44'

2-16图示桁架，承受载荷产作用，已知杆的许川应力为若节点A和C间的指

定距离为/,为使结构重量最轻，试确定。的最佳值。

题2—16图

解：1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称,故有

入1国2«./j

2sin^

2.求。的最佳值

由强度条件可得

A,=A->=------......

-2[tr]sin^

结构总体积为

V“=20A4//.=-----F-----------I----=------F-l-----

[6r]sin^2cos。Msin26

由

叱=0

dO

得

cos27=0

由此得夕的最佳值为

%=45。

2—17图示杆件，承受轴向载荷产作用。已知许用应力［司=12()MPa,许用切应

力［4=90MPa,许用挤压应力［/J=240MPa,试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径。

及其高度〃间的合理比值。

题2—17图

解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷厂的许用值分别为

［口=苧㈤3)

此小兀⑺丁)口」

(b)

[F]s=ndh[r]

理想的情况下,

[n=[F]b=[F]s

在上述条件下，由式(a)与(c)以及式(a)与(b),分别得

3〃

于是得

D\h.d=L翳

由此得

D:/z:r/=1.225:0.333:l

218图示摇臂，承受载荷人与入作用。已知我荷为二50kN,F2=35O4k、，许

题2-18图

解：1.求轴销处的支反力

由平衡方程Za=o与EG=O,分别得

q"-Bcos45°=25k\

^v=/ssin45=25kN

由此得轴销处的总支反力为

22

FB=V25+25kN=35.4kN

2o确定轴销的直径

由轴销的剪切强度条件(这里是双面剪)

"区=/《⑺

And2

得

2K35.4x1O'八八iv

---------------nm=0.015m

^-xlOOxlO6

由轴销的挤压强度条件

%ddcl3

得

354x1()3

m=0.01475m

0.010x240xlO6

结论：取轴销直径〃2O.()15m=15mm0

2-19图示木样接头，承受轴向载荷/=50kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。

100100

题2-19图

解:剪应力与挤压应力分别为

50x103

=5MPa

(0.1(X)m)(0.1(X)m)

_50X103N

=12.5MPa

(0.040m)(0.100m)

2-20图示钾接接头，钾钉与板件的材料相同，声用应力=160MPa,许用切应力

［r］=120MPa,许用挤压应力［5」=340MPa,载荷产=230kN。试校核接头的强度。

题2—20图

解：最大拉应力为

230XI()3N_______

=153.3MPa

max(0.170-0.020)(0.010)(m2)

最大挤压与剪切应力则分别为

230X103N

230MPa

5(0.020m)(0.010m)

r=4x230xl0-N=1464Mpa

5x7i(0.020m)"

2—21图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起,承受轴向载荷F=45kN作

用。已知木杆的截面宽度b=250mm,沿木纹方向的许用拉应力［。］=6MPa,许用挤压应力

匕《『lOMPa,许用切应力［r］=IMPa。试确定钢板的尺寸b与/以及木杆的高度〃.

题221图

解：由拉伸强度条件

“一勋-25)

得

45xlQ3

h-23>m=0.030m(a)

b\(y\0.250x6x1()6

由挤压强度条件

_F.

外一板一气

得

45xl()3

32m=0.009m=9imn<：b)

24小12x0.250xl0xl06

由剪切强度条件

F

~2hl

得

F_45xlQ3

I之m=0.090m=90mm

2Z?[r]-2x0.250x1xlO6

取3=0.009m代入式(a),得

h>(0.030+2x0.009)m=0.048m=48min

结论：取

^>9mm,Z>90mni,//>48nini<)

2-22图示接头，承受轴向载荷厂作用V已知钾钉直径d=20mm,许用应力

=l60MPa,许用切应力"］=l20MPa,许用挤压应力［0林］=340乂「2。板件与钾钉的材料相同。

试计算接头的许用载荷。

题2—22图

解：1。考虑板件的拉伸强度

由图2—22所示之轴力图可知，

%=凡凤2=3//4

_^*N1_P<ri

5-—A—-7；f\c一〔°]

A(b-a)d

F^(b-d)d[aI=(0.200-0.020)x0.015x160xl06N=4.32xlO5N=432kN

尺23F

<kJ

44s-2d”

65

F<1(Z?-2J)<5[a]=1(0.200-0.040)x0.0I5xl60xl0N=5.12xl0N=512kN

图2-22

2.考虑抑钉的剪切强度

区=至

A

F<2^/2[r]=2x7ixO.O2O2xl2OxlO6N=3.O2xlO5N=3O2kN

3.考虑钾钉的挤压强度

=F

F

%=A

6d4Sd

65

F<4^/kbs]=4x0.015x0.020x340xl0N=4.08xl0N=408kN

结论：比较以上四个产值，得

[F]=302kN

2-23图a所示钢带A/3,用三个直径与材料均用同的钾钉与接头相连接，钢带承受

釉向载荷产作用.已知载荷尸=6kN,带宽〃=40mm,带厚6=2mm,抑钉直径d=8mm,孔的边

距a=20mm,钢带材料的许用切应力[口=100MPa,许用挤压应力=300MPa,许用拉应

力[内=l60MPa。试校核钢带的强度。

题2—23图

解：1.钢带受力分析

分析表明，当各伽钉的材料与直径均相同,且外力作用线在抑钉群剪切面上的投影，通过

该面的形心时，通常即认为各钾钉剪切面的剪力相同。

抑钉孔所受挤压力&等于狮钉剪切面上的剪力，因比，各钾钉孔边所受的挤压力&相同,

钢带的受力如图b所示，挤压力则为

FX3

6I0N3

7亍=2.0X10N

孔表面的最大挤压应力为

3

2.0X10Ns

=1.25x10Pa=125MPa<[<rbs]

(O.(X)2m)(O.(X)8m)

在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b）,切应力为

3

2.0X1QN=2.5xl07Pa=25MPa<|r|

2曲2(0.002m)(0.020m)

钢带的轴力图如图c所示.由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重,而截面2-2的轴力

最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2—2的正应力分别为

2(6xIO?N)

=83.3MPa<b]

0=

A3(/?-2d)33(0.040m-2xO.OO8m)(O.OO2m)

__________6xlQ3N

=93.8MPa<[cr]

(b-d)6(0.040m-0.008m)(0.002m)

第三章轴向拉压变形

3-2—外径。=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长/=400mm,两端承受轴

向拉力尸=2（）0kN作用.若弹性模量E=80GPa,泊松比〃=0.30。试计算该杆外径的改变量AO

及体积改变量

解：1。计算AO

由于

F,AD"

€=——，6=---=-UE=---

EADEA

故有

AC小/Q4//FD4X0.30X200X103X0.060

D=——=-----——T-=------------7：--------------；---------

EAEn（D2-d2）80x109x^x（0.0602-0.0202）

=一1.79x1（尸m=-0.0179inin

2o计算AV

变形后该杆的体积为

H=/W=（/+n）4（o+£g）2-3+/"）2]=4（i+£）（]+£,）2av（]+£+2E）

4

故有

\八F/z.r、200xl03x0.4003.八公、

AAlV/=V-Vv=v（£+2f：）=—（1-2//）=--------------m（Z1-2ox0.3）

E80>d09

=4.00xl0-7m3=400mm3

3-4图示螺栓，拧紧时产生A/：。。1Omm的轴向变形。已知：d\=8.0mm,4=6.8mm,

=7„0mm；/i=6.0mm,/2=29mm,/3=8mm；E=210GPa,[b]=500MPa.i式求预紧力凡并校

核螺栓的强度.

解：1。求预紧力尸

各段轴力数值上均等于尸，因此,

&=£（乙+4+4

EAA24

由此得

nx210x109x0.10xl03

F_itEklN=lB65xl04N=18.65kN

二端+/+割().(X)6।().(X)8

0.00820.0068f0.0072,

2。校核螺栓的强度

F4F4xl8.65xlQ3N

==5.14xlOxPa=514MPa

Anin叫"0.00682n?

此值虽然超过［o］，但超过的百分数仅为2.6%,在5%以内，故仍符合强度要求。

3-5图示桁架，在节点A处承受载荷尸作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应

变分别为£i=4.0XI。-，与与二2。0X10'。已知杆1与杆2的横截面面积A尸A2=200mnF,弹

性模量Ei=E2=20()GPa.试确定载荷厂及其方位角。之值.

解：1。求各杆轴力

9-4_<4

FNI=Flrl7\1=200xl0x4.0xl0x200xl0N=1.6xl0N=16kN

9463

f；2=E2^A2=200xl0x2.0xl0-x200xl0-N=8xl0N=8kN

2。确定产及夕之值

由节点A的平衡方程£%=0和Z5，=。得

J

7^2sin3O+Rin〃一4]Sin3(T=0

FNICOS30+%2cos30-Feos夕=0

化简后，成为

%-屎2=2fsin。(a)

及

ib)

V3(FNI+/^2)=2FCOS^

联立求解方程(a)与(b),得

嬴:;Q=芯678；力=。」班

由此得

8=10.89,b10.9"

公虢料二曝町N=2」2XON臼.2kN

3-6图示变宽度平板，承受轴向载荷厂作用.已知板的厚度为反长度为/,左、右端的

宽度分别为仇与岳，弹性模量为反试计算板的轴向变形。

题3—6图

解:对•于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

△/=F<Lv=F<Lv

由图可知，若自左向右取坐标工，则该截面的宽度为

伙加4+妇&

代入式(a),于是得

।或电一*)仄

3-7图示杆件，长为/,横截面面积为A,材料密度为小，弹性模量为£试求自重

下杆端截面8的位移.

题3-7图

解：自截面6向上取坐标），，），处的轴力为

入=刖\'

该处微段d.y的轴向变形为

于是得截面8的位移为

%二哥'y二霎由

3—8图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷凡并由作用于地桩的摩擦力

所支持。设沿地桩单位长度的摩擦力为衣且/二心七式中人为常数。已知地桩的横截面面积为

A,弹性模量为其埋入土中的长度为试求地桩的缩短量b.

题3—8图

解：1.轴力分析

摩擦力的合力为

耳=/网二/论=与

根据地桩的轴向平衡,

—=F

3

由此得

截面），处的轴力为

3

2.地桩缩短量计算

截面），处微段心，的缩短量为

"dy

d3=

EA

积分得

将式（a）代入上式,于是得

Fl

6=

TEA

3—9图示刚性横梁AB,由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持.设钢丝绳的轴向刚度（即

产生单位轴向变形所需之力）为试求当载荷*/作用时端点B的铅垂位移。

题3-9图

解•：载荷/作用后，刚性梁AA倾斜如图（见图3—9"设钢丝绳中的轴力为《，其总伸

长为A/。

图3—9

以刚性梁为研究对象，由平衡方程工时八二。得

F^a+凤(a+b)=F(2a+b)

由此得

凤=尸

由图3・9可以看出,

Av=O(2a+b)

A/=4、+4、=Oci+0(a+b)=6(2a+b)

可见，

4=△/(b)

根据Z的定义，有

产N=kM=kA

于是得

k

3-10图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA,试计算节点A的水平与铅垂

位移.

(a)

题3—10图

（a）解:

利用截面法，求得各行的轴力分别为

入1=入2=尸（拉力）

FN4=V2F(压力)

尸N3=°

于是得各杆的变形分别为

A/=A/,=—（伸玲

t-EA

M=”产卷（伸长）

EAEA

A/3=0

如图3—10（1）所示，根据变形M与确定节点B的新位置=，然后，过该点作长为

13的垂线，并过其下端点作水平直线,与过4点的铅垂线相交于/V,此即结构变形后节点A

的新位置.

于是可以看出，节点4的水平与铅垂位移分别为

%=。

=A/l+6*4+似2=急+6鲁+急=2(1+收噜

(b)解：显然，杆1与杆2的轴力分别为

%i=F（拉力）

尺2=°

于是由图3—10(2)可以看出，节点八的水平与铅垂位移分别为

AIFI

44u=AA=—

EA

A】Fl

%A=你=说

3-11图示桁架ABC,在节点B承受集中载荷/作用。杆1与杆2的弹性模量均为

£横截面面积分别为4=320mm2与AZ=2580mm2。试问在节点8和。的位置保持不变的条件

下，为使节点B的铅垂位移最小,0应取何值(即确定节点A的最佳位置)。

解：1。求各杆轴力

由图3/la得

PF

/\2=Fctar/7

A

图3—11

2。求变形和位移

由图3—11b得

A/^2FlF/F/ctan^

1=2△/N222

3£4倒1292E4,队

MMFl,2,ctan%

ARX=--+-=-=—=(----------------+---------)

sin。tan。EAsin2/in。A2

3.求。的最佳值

由山坊/此=0,得

-2(2cos2/ine+cos/in2()_2ctanO・csc%_0

A}sin匕&亩均A2

由此得

24cos%(l-3cos%)=0

将A与4的已知数据代入并化简，得

COS3/9+12.()9375COS2<9-4.()3125=0

解此三次方程，舍去增根，得

co的=0564967

由此得。的最佳值为

“556

3-12图示桁架，承受载荷尸作用。设各杆的长度为/,横截面面积均为A,材料

的应力应变关系为"=〃£,其中〃与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

题3—12图

解：两杆的轴力均为

心二丁仁

zcosa

轴向变形则均为

A/=d=—/=I------------------

Bk2Acosor7B

于是得节点C的铅垂位移为

A彳=--△--/--=--------F--"-l-----——

r'cosa2"A“6cos”+%

3—13图示结构，梁4。为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。

在梁的中点C承受集中载荷尸作用。已知载荷广=20kN,各杆的横截面面积均为A=100mn?,

弹性模量E=200GPa,梁长/=1000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

题3—13图

解：1.求各杆轴力

由工工.=0,得

FN2=°

由ZFV=。，得

%=%<=10kN

2.求各杆变形

A/2=0

F"10xl03xl.000-4c—

AAZL=—=--------------------------in=5.0x1in0ni=0.50mm=AAZ/,

EA200X109X100X10-6

3.求中点C的位移

由图3—13易知，

Ax=A7]=0.50mm(—>),Jv=A/)=0.50mm(J)

3—14图a所示桁架，承受载荷尸作用。设各杆各截面的拉压刚度均为£4,试求

节点B与C间的相对位移4取>

GG

(a)(b)

题3—14图

解：[。内力与变形分析

利用截面法，求得各衿的轴力分别为

五用=%2=/3=/4=%(拉力)

（压力）

FN5=F

于是得各杆得变形分别为

A/j=△/,=垃3=M="（伸长）

72EA

F-41141Fl/分而

MA/=—=-^-（缩短）

EAEA

2.位移分析

如图b所示，过"与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e

与从然后，在加与g〃延长线取线段与A/2,并在其端点机与〃分别作垂线，得交点C'，

即为节点C的新位置.

可以看出,

5=2©+/C）=2（与+后用卜2（碧（2+衣）日

+

EA

3-15如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA,试用能量法求载荷作用点

沿载荷作用方向的位移。

题3-15图

（a）解•:各杆编号示如图3-15a,各杆轴力依次为

rV2rrrV2rG1

^N1&2=^F,凤3=5

该桁架的应变能为

匕•努=加产争⑶产人署吟n

J

最后得

.且■（迈±1）=（2.+1）R（f

F2EA44EA

（b）解：各杆编号示如图b

列表计算如下：

i小L扁

1F1F2l

2010

3F1F2l

4F/F-l

5-V2F扬2V2F2/

z(3+2A/2)F2Z

6,4(3+2后)尸/

2EA~2EA

依据能量守恒定律，

国=17

2£

可得

­=（3+2后）同

EA

3-16图示桁架，承受载荷厂作用。设各杆各截面的拉压刚