八年级数学下册专题181 平行四边形的性质（举一反三）（人教版）

专题18.1平行四边形的性质【八大题型】

【人教版】

”幺国应自

【邈型।利用平行四边形的性质求长度】.........................................................1

【题型2利用平行四边形的性质求角度】.........................................................3

【题型3利用平行四边形的性质求面积】.........................................................4

【题型4平行四边形的性质在折叠中的运用】.....................................................5

【题型5平行四边形的性质在坐标系中的运用】...................................................6

【题型6利用平行四边形的性质进行证明】.......................................................7

【题型7利用平行四边形的性质求最值】.........................................................9

【题型8平行四边形的性质与动点的综合】......................................................10

”如声三

【知识点平行四边形的性质】

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

【题型1利用平行四边形的性质求长度】

【例1】（2022春•四川绵阳•八年级校考期中）如图,在团48CD中，乙BCD=60°,DC=6,点E、尸分别

在HD,8c上，将四边形力8FE沿即折叠得四边形AB'FE,AE恰好垂直于4。，若AE="则8/的值为（）

AB

E

DC

A.3B.2百一1C.3V3D.|A/3

【变式1-1］（2022秋•山东济宁•八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，瓦4BC。的对角线AC,80相

交于O,EF过点。与40,分别相交于E,F,若BC=8,0E=2,48=4,那么四边形EFCD的周长为

【变式1-2］（2022春・山东临沂•八年级统考期末）如图，团ABCD中,AB=6,AD=10,按以下步骤作图:

①以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别交B4于点E,交BC于点尸；②分别以点E,产为圆心，大于;EF的

长为半径画弧，两弧在乙48c内相交于点P；③画射线BP,交AD于点、Q,交对角线力C于点0.若341乙4,

贝必。的长度为（）

A.3B.V3C.|D.272

【变式1-3］（2022秋•浙江杭州•九年级杭州市公益中学校考期中）如图,在5/BCD中，AD=BD,AADC=

105°,点E在一。上,Z-EBA=60°,则空的值是（）

cB

.2_rxV3八6

A.—B.V3C.—D.一

323

[题型2利用平行四边形的性质求角度】

[ft2]（2022春・福建厦门•八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在中，AC.BD交干点、O.过点

O作。物BD交BC于点E,连接DE.若田CDE=mCBD=15°.求助8C的度数.

【变式2-1]（2022秋•四川成都,九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角乙4:=1:2,

则人1的度数是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【变式2-2]（2022春・江苏南京•八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CO为斜边向内作等腰直

角公CDE,使=DE=CE,乙DEC=90°,且点E在平行四边形内部，连接AE、BE,则〃E8的度数是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【变式2-3]（2022春•陕西西安•八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形48C0中，

于点E,G为线段AE上一点且满足EG=EC,AG=CE,连CG并延长交48于点F，贝尸C的度数为

⑴补全图形，并写出平行四边形A8CO各顶点坐标；

⑵平行四边形ABCD的面枳是多少？

⑶在x轴上是否存在点M,使团MB。的面积等于平行四边形48C。的面积？若存在，求出点M坐标；若不

存在，请说明理由.

【变式3-3］（2022春・吉林长春•八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6x6的正方形网

格，每个小正方形的边长为1,小正方形的顶点称为格点，点4在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画

图，所画图形的顶点在格点上.

就

图①图②

⑴在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形.

（2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形.

【题型4平行四边形的性质在折叠中的运用】

【例4】（2022春・吉林长春•八年级校考期中）如图，将平行四边形4BCD沿对角线4c折叠，使点/?落在点夕

处，若=48°,Z2=32°,则的度数为（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【变式4-1］（2022春・河南南阳•八年级校联考期末）如图，E,尸分别是平行四边形A8CD的运4D,8c上

的点，EF=6,Z.DEF=60%将四边形EFCD沿EF翻折,得到四边形EFU。,E。交BC于点、G,则△GEF的

周长为（）

C.18D.24

【变式4-2](2022秋•浙江宁波•八年级期末)如图，在口ABCD中，点E,尸分别在边A3、4。上，将MEF

沿E尸折叠，点A恰好落在8C边上的点G处.若0A=45。，AB=6yf2t5BE=AE.则Ab长度为.

【变式4-3](2022秋•湖北武汉•九年级校考阶段练习)四边形A6C。为平行四边形，口知A5=g,BC

=6,AC=5,点E是8C边上的切点，现将财BE沿AE折叠，点9是点8的对应点，设CE长为X,若点夕

落在内(包括边界)，则x的取值范围为.

【题型5平行四边形的性质在坐标系中的运用】

【例5】(2022春・浙江温州•八年级校联考阶段练习)在直角坐标系中，A,B,C,。的坐标依次为(1,-1),

(-2,3)，(a,0)，(0,b).若以4,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，贝b+b的值不可能是()

A.-7B.-1C.1D.7

【变式5-1](2022春•江苏泰州•八年级校考阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，点A(30)、8(0,

-4),点。是y轴上一动点，连接AP并延长至点。，使PQMP,以A4、4。为邻边作必以笫，连接OC,

当0c长最小时，则点P的坐标是.

【变式5-2］（2022春•重庆•八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，。是平行四边形

A30C内一点，CQ与x轴平行，A。与〉，轴平行，已知40=2,CD=8,^ADB=135°,ShABD=6,则。

点的坐标为.

【变式5・3】（2022秋•全国•九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形48C0的8c边在工轴上,

点«0,3）,8（-1,0）,若直线y=-2%+4恰好平分平行四边形为BCD的面积，则点。的坐标是

【题型6利用平行四边形的性质进行证明】

【例6】（2023秋重庆九龙坡•九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形4BCD中，连接对角

线BD,/IE平分NB力0分别交BC、80尸点E、F.

⑴尺规作图：作NBCD的角平分线，交AD于点，，交BD的于点G.（保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）问的条件下，求证：BF=DG.

证明：四边形ABCD是平行四边形

^AB=CD,①

0Z.4ZJD=乙CDB,

EL4E平分48AD,CH平分/BCD,

B（2）,乙DCH二+乙BCD,

（3四边形48CD为平行四边形，

团⑶

团4BAE=乙DCH,

在摩48厂和团CQG中，

Z-ABD=乙CDB

®，

（/-3AE=乙DCH

^ABF^^CDG（ASA）.

BBF=DG

【变式6-1］（2022春・广东江门•八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在瓦4BCD中，点E是CD边

的中点，连接力E并延长交BC的延长线于点尸，连接BE,BE1AF.

⑴求证：△力。E三AFCE：

⑵求证：AE平分4DA8；

⑶若乙ZMB=60°,AB=4,求团ABC。的面积.

【变式6-2](2022秋•吉林长春•八年级校考期末)如图，在平行四边形"CD中，E,尸是对隹线8。上两个

点，且BE=OF

(1)求证：AE=CF；

(2)若力。=AE,(DFC=140°,求4。4£的度数=

【变式6-3](2022秋•吉林长春•八年级长春外国语学校校考阶段练习)如图，目加。。的对角线"和BD相

交于点。，EF过点。且与边BC,力。分别相交于点E和点F.

⑴求证：OE=。尸；

(2)若BC=4,AB=3,OF=2,求四边形CD/E的周长.

【题型7利用平行四边形的性质求最值】

【例7】(2022春•陕西西安•八年级西安市铁•中学校考阶段练习)在数学中，我们会用"截长补短”的方法

来解决几条线段之间的和差问题.请看这个例题：如图1，在四边形力8CD中，LBAD=LBCD=90%AB=

AD,若力C=5cm,求四边形力BCD的面积.

解：延长线段C8到£,使得BK=C。，连接4E,我们可以证明△BAE三△。力C,根据全等三角形的性质得

AE=AC=5,Z.EAB=Z.CAD,则乙E4C=LEAB+Z.BAC=LDAC+Z.BAC=/.BAD=90°,得S四边形

SAABC।SMDC=SMBC4SMB£=SAAE。，这样，四边形ABC。的面积就转化为等腰直角三角形E4C面积.

⑴根据上面的思路，我们可以求得四边形相CD的面积为cm2.

（2）如图2,在△ABC中，乙4c8=90。，且力C+8C=4,求线段A8的最小值.

（3）如图3,在平行四边形力8CD中，对角线与BD相交于。，且々80C=60。：AC+BD=10,则力。是否

为定值？若是，求出定值；若不是，求出力D的最小值及此时平行四边形4BCD的面积.

【变式7-1］（2022秋•陕西宝鸡・九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10,AC=12,。是8c

边上任意一点,连接AD,以AD,CD为邻边作平行四边形ADCE,连接DE,则OF长的最小值为__________.

【变式7-2］（2022春・浙江宁波•八年级校考期中）如图，在平行四边形A8CO中，BC=6,0A8C=6O。，BE

平分0ABC,点F为8C上一点，点G为BE上一点，连接CG,FG,则CG+FG的最小值为.

【变式7-3］（2022春•四川绵阳•八年级校考期中）如图，在和18。。中，AO=pZ.ACB=30°,AC1AB,

点E在AC上,CE=1,点。是8C边上的一动点，连接PE、PA,则PE+P4的最小值是.

【题型8平行四边形的性质与动点的综合】

［例8］（2022秋•山东济宁•八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形718co中，AD||BC,AD=

9cm,BC=24cm,E是8c的中点.动点。从点A出发沿AD向终点。运动，动点P平均每秒运动1cm；

同时动点。从点。出发沿C8向终点8运动，动点。平均每秒运动2cm,当动点尸停止运动时，动点。也

随之停止运动.

⑴当动点P运动“0VtV9）秒时，则PD=：（用含，的代数式直接表示）

（2）当动点Q运动，秒时，

①若0VCV6,贝3Q=;（用含/的代数式直接表示）

②若6<tV9,则EQ=；（用含，的代数式直接表示）

⑶当运动时间，为多少秒时，以点P,Q,D,E为顶点的四边形是平行四边形？

【变式8-1］（2022春・浙江温州•八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形A/3CO是平行四边

形，。为坐标原点，点A的坐标是（-16,0）,线段4c交），轴于点。，点。的坐标是（0,8）,线段。=6.动

点P从点。出发，沿射线04的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点。出发，以每秒1个单

位的速度向终点8运动，当点。运动到点3时，点P随之停止运动，运动时间为/秒.

⑵若以A,B,Q,P为顶点的四边形是平行四边形时，求/的值：

⑶当ABQP恰好是等腰三角形时，求/的值.

【变式8-2］（2022秋