广东省惠州仲恺中学等五校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（PDF版含答案）

注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。1.设平面向量a=(5,k),b=(2,8),若a_b,则实数k=A.2B.-2A.2√2B.√2C.18.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形A.√3B.2√3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.下列结论中错误的为A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB与向量BA的长度相等C.对任意向量是一个单位向量D.零向量没有方向10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，若向量a,b满足AB=2a,BC=b,则A.AC=2a+bB.a·b=-2C.(4a+b)⊥BCD.|a-b|=1A.AB=4√5B.△ABC的面积为8c.CA·BC=12D.△ABC的内切圆半径是3-√5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=i2025(1+i)-a为纯虚数，则实数a的值为第13题图第14题图量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B,现测得∠OBA=105°,∠OAB=45°,AB=45m,在点B处测得塔顶T的仰角为30°,则塔高OT为m.【高一五校联考试题数学卷第2页(共4页)515.(本小题满分13分)16.(本小题满分15分)17.(本小题满分15分)已知A(1,1),B(m,2),C(-2,3),D(-1,n)是复平面上的四个点，其中m,n∈R,且向量BC,AD对应的复数分别为z₁,≈2.(1)若z₁-z2=1-i,求z1,z2;【高一五校联考试题数学卷第4页(共4页)5347A18.(本小题满分17分) (1)若EF=xAB+yAD,19.(本小题满分17分)如图，正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边BC,CD上的点，且AP·AQ=|PQI.(1)求∠PAQ的大小；(2)求△APQ面积的最小值；(3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合(2)他猜想“△APQ中PQ边上的高为定值”,他的猜想对吗?请说明理由.参考答案、提示及评分细则12345678DACDBBAC92.A因为(z-1)i=1,所以,所以ε=1+i,所以z+E=(1-i)+(1+i)=2.故选A.5.B因为a=18,b=24,A=45°,所以,因为b>a,所以B>A=45°,7.A设0为向量a,b的夹角，因为,所以向量a在向量b上的投影向量为(|a|·√3BD,所以sin∠ADC=√3sin∠BAD.因为∠ADC=2∠BAD,所以2sin∠BADcos∠BAD=√3sin∠BAD,因为0<∠BAD<π,所以sin∠BAD>0,所以所以,则,故R=2.10.AC因为AB=2a,BC=b,AC=AB+BC=2a+b,(4a+b)·BC=(4a+b)·b=4a·b+b²=△ABC的面,解得AB=4√5,故A正确；,故B正确；13.解法1:因,所以AC=4AN,s,所解法2:因为AP=AB+BP,设BP=ABN,所以AP=AB+λBN,14.15√6依题意可得∠AOB=30°,∴,即,解得OB=45√2.在∵a//b,∴3x+y=0,解得或,…………………4分所以a=(2,-2√3)或(-2,2√3).………………………6分因为sinB≠0,所以,…………………3分结合a²=bc得b²+c²-2bc=0,进而b=c→a²=b²,a=b=c………………14分所以△ABC是等边三角形……………………15分17.解：(1)由题意可知BC=(-2,3)—(m,2)=(-2-m,D),所以≈=-2-m+i.AD=(-1,n)-(1,1)=(-2,n-1),所以z₂=-2+(n-1)i………………3分所以,所以…………又√2|z1|=2,所以(-2-m)²+1=2………解得m=-3或m=-1(舍),所以n=√3……………………12分可得2=-2+(√3-1)i,≈2-√3i=-2—i,z=1+i………13分…………15分而EF=xAB+yAD……………6分事………10分16分即AC·EF=-9………………17分EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(解),AP)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(一),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(P),P)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(=),A)EQ\*jc3\*hps18\o\al(\s\up9(P),D)∵正方形ABCD的边长为1,设DQ=x,BP=y……………【高一五校联考试题·数学卷参考答案第3费中赟券公众号：凹凸学长5347A在Rt△CQP中，(1-x)²+(1-y)²=(x+y)²,即x+y=1-