四川省凉山木里中学2025届高三下学期第六次月考数学试题

四川省凉山木里中学2025届高三下学期第六次月考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为()A．7 B．15 C．31 D．632．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（）A． B． C． D．4．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或5．已知复数，则对应的点在复平面内位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（）A． B． C． D．7．已知数列为等比数列，若，且，则（）A． B．或 C． D．8．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）.A． B． C． D．9．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10．若满足，且目标函数的最大值为2，则的最小值为()A．8 B．4 C． D．611．若直线与圆相交所得弦长为，则（）A．1 B．2 C． D．312．如图，在等腰梯形中，，，，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有____种.（用数字作答）14．若，则________，________.15．已知实数满足（为虚数单位），则的值为_______.16．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意都有成立，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）当时，若恒成立，求的最大值；（2）记的解集为集合A，若，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）设直线与曲线交于，两点，求；（Ⅱ）若点为曲线上任意一点，求的取值范围.20．（12分）已知函数，函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（3）证明：当时，.21．（12分）已知矩阵，，若矩阵，求矩阵的逆矩阵．22．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列的公差为，等差数列的公差为.设分别是数列的前项和，且，，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：由程序框图可知：①，；②，；③，；④，；⑤，.第⑤步后输出，此时，则的最大值为15，故选B.考点：程序框图.2、D【解析】

由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e.【详解】由题意得，，，.故选：D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.3、B【解析】

根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，，，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数的最大值为，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.4、C【解析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.5、A【解析】

利用复数除法运算化简，由此求得对应点所在象限.【详解】依题意，对应点为，在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题.6、A【解析】

根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.【详解】当为奇数时，，则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，当为偶数时，，则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.所以.故选：A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.7、A【解析】

根据等比数列的性质可得，通分化简即可.【详解】由题意，数列为等比数列，则，又，即，所以，，.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.8、B【解析】

求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.【详解】当时，，，，又，所以至少小于7，此时，令，得，解得或，结合图象，故.故选：B.【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.9、D【解析】

过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为，，所以，即过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，1，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，同理可求平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量．，，．．故选：D．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10、A【解析】

作出可行域，由，可得.当直线过可行域内的点时，最大，可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域，如图所示由，可得.平移直线，当直线过可行域内的点时，最大，即最大，最大值为2.解方程组，得..，当且仅当，即时，等号成立.的最小值为8.故选：.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.11、A【解析】

将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12、A【解析】

由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积．【详解】由题意等腰梯形中，又，∴，是靠边三角形，从而可得，∴折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，，，外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，∴，解得，球体积为．故选：A．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、36【解析】

先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排，甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有（种）排法.所以本题答案为36.【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.14、【解析】

根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.【详解】，故.故答案为：；.【点睛】本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.15、【解析】

由虚数单位的性质结合复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求．【详解】解：由，，，所以，得，．．故答案为：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位的性质，属于基础题．16、【解析】

由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出，利用二次函数的基本性质求出的最大值及其对应的值，即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由，解得，.所以，当时，取得最大值，对任意都有成立，则为数列的最大值，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列前项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）当时，由题意得到，令，分类讨论求得函数的最小值，即可求得的最大值.（2）由时，不等式恒成立，转化为在上恒成立，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，当时，由，可得，令，则只需，当时，；当时，；当时，；故当时，取得最小值，即的最大值为.（2）依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，所以，即，即，解得在上恒成立，则，所以，所示实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.18、（1）（2）【解析】

（1）化简得到，分类解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）因为，故或或解得或，故不等式的解集为.（2）画出函数图像，根据图像可知的最大值.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.【点睛】本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.19、（Ⅰ）6（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）化简得到直线的普通方程化为，，是以点为圆心，为半径的圆，利用垂径定理计算得到答案.（Ⅱ）设，则，得到范围.【详解】（Ⅰ）由题意可知，直线的普通方程化为，曲线的极坐标方程变形为，所以的普通方程分别为，是以点为圆心，为半径的圆，设点到直线的距离为，则，所以.（Ⅱ）的标准方程为，所以参数方程为（为参数），设，，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】

（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.【详解】（1）解：的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数，则.因为，所以，，则，从而在上单调递减，所以，即.（3）证明：当时，.由（1）知，，所以，即.当时，，，则，即，又，所以，即.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.21、．【解析】试题分析：，所以．试题解析：B．因为，所以．22、（1）；（2）【解析】

方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方