人教版九年级数学下册第二十七章27.2.2相似三角形的性质教学设计

人教版九年级数学下册第二十七章27.2.2相似三角形的性质教学设计一、教学目标1.知识与技能目标理解相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。理解相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。能运用相似三角形的性质解决实际问题。2.过程与方法目标通过观察、猜想、测量、推理等活动，经历探索相似三角形性质的过程，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。体会类比、转化等数学思想方法，提高学生解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标在探究活动中，培养学生积极参与、勇于探索的精神，体验数学的严谨性和趣味性。通过实际问题的解决，让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点相似三角形性质的探究与证明。相似三角形性质的应用。2.教学难点相似三角形面积比等于相似比的平方的理解与证明。灵活运用相似三角形的性质解决实际问题。三、教学方法讲授法、探究法、讨论法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示两个相似三角形，引导学生回顾相似三角形的定义和判定方法。2.提问：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例外，还有哪些性质呢？今天我们就来探究相似三角形的其他性质。（二）探究新知（25分钟）1.探究相似三角形对应高的比等于相似比如图，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高。引导学生思考：△ABD与△A'B'D'有什么关系？为什么？那么\(\frac{AD}{A'D'}\)与相似比k有什么关系？学生分组讨论后回答，教师总结并板书证明过程：因为△ABC∽△A'B'C'，所以∠B=∠B'，又因为∠ADB=∠A'D'B'=90°，所以△ABD∽△A'B'D'。根据相似三角形的性质，可得\(\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)，即相似三角形对应高的比等于相似比。2.类比探究相似三角形对应中线的比等于相似比让学生类比探究对应高的比等于相似比的方法，自主探究相似三角形对应中线的比与相似比的关系。学生在练习本上画图、推理，教师巡视指导，帮助有困难的学生。请学生上台展示证明过程，教师进行点评和完善，得出结论：相似三角形对应中线的比等于相似比。3.探究相似三角形对应角平分线的比等于相似比提出问题：相似三角形对应角平分线的比与相似比有什么关系呢？学生仿照前面的探究方法进行探究，然后小组内交流讨论。每组推选一名代表发言，阐述探究过程和结论，教师给予肯定和补充，板书：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。4.探究相似三角形周长的比等于相似比已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，设\(AB=a\)，\(BC=b\)，\(AC=c\)，\(A'B'=a'\)，\(B'C'=b'\)，\(A'C'=c'\)。引导学生思考：\(\frac{a}{a'}\)、\(\frac{b}{b'}\)、\(\frac{c}{c'}\)与k有什么关系？那么△ABC与△A'B'C'的周长比\(\frac{a+b+c}{a'+b'+c'}\)与k有什么关系？学生通过计算、推理得出：因为\(\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}=k\)，所以\(a=ka'\)，\(b=kb'\)，\(c=kc'\)。则\(\frac{a+b+c}{a'+b'+c'}=\frac{ka'+kb'+kc'}{a'+b'+c'}=k\)，即相似三角形周长的比等于相似比。5.探究相似三角形面积的比等于相似比的平方如图，已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高。引导学生思考：△ABC与△A'B'C'的面积比\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}\)与\(\frac{AD}{A'D'}\)有什么关系？又因为\(\frac{AD}{A'D'}=k\)，那么\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}\)与k有什么关系？学生先独立思考，然后小组讨论，教师参与部分小组的讨论，适时给予引导。请小组代表发言，教师结合图形进行详细讲解：\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}BC\cdotAD\)，\(S_{\triangleA'B'C'}=\frac{1}{2}B'C'\cdotA'D'\)。则\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdotAD}{\frac{1}{2}B'C'\cdotA'D'}=\frac{BC}{B'C'}\cdot\frac{AD}{A'D'}\)。因为\(\frac{BC}{B'C'}=k\)，\(\frac{AD}{A'D'}=k\)，所以\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'}}=k^2\)，即相似三角形面积的比等于相似比的平方。（三）知识归纳（5分钟）1.引导学生回顾相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形对应中线的比等于相似比。相似三角形对应角平分线的比等于相似比。相似三角形周长的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。2.用表格形式呈现相似三角形的性质，便于学生记忆：|性质|表达式|||||对应高的比|\(\frac{h}{h'}=k\)||对应中线的比|\(\frac{m}{m'}=k\)||对应角平分线的比|\(\frac{t}{t'}=k\)||周长的比|\(\frac{C}{C'}=k\)||面积的比|\(\frac{S}{S'}=k^2\)|（四）例题讲解（15分钟）例1：已知两个相似三角形的相似比为2:3，其中一个三角形的最长边为8，求另一个三角形的最长边。分析：设另一个三角形的最长边为x，根据相似三角形对应边成比例列出方程求解。解：设另一个三角形的最长边为x。因为相似三角形对应边成比例，所以\(\frac{8}{x}=\frac{2}{3}\)或\(\frac{x}{8}=\frac{2}{3}\)。当\(\frac{8}{x}=\frac{2}{3}\)时，\(2x=24\)，解得\(x=12\)。当\(\frac{x}{8}=\frac{2}{3}\)时，\(3x=16\)，解得\(x=\frac{16}{3}\)。所以另一个三角形的最长边为12或\(\frac{16}{3}\)。例2：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，△ADE的面积为4，求四边形DBCE的面积。分析：先证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，再用△ABC的面积减去△ADE的面积得到四边形DBCE的面积。解：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。因为\(AD=2\)，\(DB=3\)，所以\(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}\)。由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得\(\frac{S_{\triangleADE}}{S_{\triangleABC}}=(\frac{AD}{AB})^2=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}\)。已知\(S_{\triangleADE}=4\)，设\(S_{\triangleABC}=x\)，则\(\frac{4}{x}=\frac{4}{25}\)，解得\(x=25\)。所以四边形DBCE的面积为\(S_{\triangleABC}S_{\triangleADE}=254=21\)。（五）课堂练习（10分钟）1.已知△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为（）A.40B.60C.72D.1202.两个相似三角形对应高的比为1:2，那么它们对应中线的比是（）A.1:2B.1:3C.1:4D.1:83.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE:EC=3:1，\(S_{\triangleBEF}=18\)，则\(S_{\triangleAFD}\)等于（）A.32B.36C.48D.724.若两个相似三角形的面积比为9:16，则它们的相似比为______。5.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是它们的对应角平分线，且AD=8cm，A'D'=3cm，则△ABC与△A'B'C'的相似比为______，若△A'B'C'的周长为30cm，则△ABC的周长为______。（六）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括相似三角形的性质及其探究过程。2.请学生谈谈在本节课中的收获和体会，以及存在的疑问。3.教师对学生的表现进行评价，强调相似三角形性质的重要性和应用时的注意事项。（七）布置作业（5分钟）1.教材第38页练习第1、2、3题。2.已知相似三角形对应角平分线的比为3:4，它们的周长差为14cm，求这两个相似三角形的周长。3.如图，在△ABC中，DE∥BC，\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，求△ADE与△ABC的面积比。五、教学反思通过本节课的教学，学生经历了相似三角形性质的探究过程，理解并掌握了相似三角形的性质，能够运用这些性质解决相关的实际问题。在教学过程中，注重引导学生通过类比、推理等方法自主探究，培养了学生的探究能力和逻辑思维能力。同时，通过实际问题的引入，让学生感受到了数学与生活的紧密联系，提高了学生学习数学的兴趣。然而，在教学中也发现了一些不足之处，例如部分学生在理解相似三角形面积比等于相似比的平方时存在困难，在今后的教学中需要加强这方面的辅导。另外，在课堂练习中，发现个别学生对相似三角形性质的应用还不够熟练，需要进一步加强练习和巩固。六、板书设计相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比等于相似比已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是高求证：\(\frac{AD}{A'D'}=k\)证明：2.相似三角形对应中线的比等于相似比3.相似三角形对应角平分线的比等于相似比4.相似三角形周长的比等于相似比已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k求证：\(\frac{AB+BC+AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=k\)证明：5.相似三角形面积的比等于相似比的平方已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别是高求证：\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleA'B'C'