高中函数复习教案

高中函数复习教案一、教学目标1.知识与技能目标系统回顾函数的概念、定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等基础知识，使学生能够准确理解和运用这些概念解决相关问题。熟练掌握常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数）的图象和性质，并能运用这些性质进行函数的综合分析和应用。2.过程与方法目标通过知识的梳理和典型例题的讲解，培养学生归纳总结、逻辑推理和运算求解的能力。引导学生运用函数的观点分析和解决问题，体会函数思想在数学及其他学科中的广泛应用，提高学生的数学思维能力和应用意识。3.情感态度与价值观目标通过复习函数知识，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。在解决问题的过程中，让学生体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心，培养学生严谨的治学态度。二、教学重难点1.教学重点函数的基本概念和性质，特别是函数的单调性、奇偶性和周期性。常见函数的图象和性质及其应用。函数与方程、不等式之间的联系与转化。2.教学难点函数性质的综合应用，尤其是在解决较复杂的函数问题时，如何灵活运用各种性质进行分析和推理。函数思想在实际问题中的应用，如何将实际问题转化为函数模型并求解。三、教学方法1.讲授法：系统讲解函数的基本概念、性质和常见函数的图象与性质，使学生对函数知识有一个全面的、系统的认识。2.讨论法：组织学生对典型例题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表自己的见解，培养学生的合作学习能力和思维能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力和运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）知识梳理1.函数的概念函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A。函数的三要素：定义域、值域、对应关系。函数的表示方法：解析法、图象法、列表法。2.函数的定义域定义域的定义：自变量x的取值范围叫做函数的定义域。常见函数定义域的求法：整式函数的定义域为R。分式函数中分母不为零。偶次根式函数被开方式大于等于零。对数函数中真数大于零。指数函数和幂函数的定义域一般为R，但当指数或幂底数含有变量时，要根据具体情况确定定义域。3.函数的值域值域的定义：函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。常见函数值域的求法：一次函数y=kx+b（k≠0）的值域为R。二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当a＞0时，值域为[(4acb²)/4a,+∞)；当a＜0时，值域为(∞,(4acb²)/4a]。反比例函数y=k/x（k≠0）的值域为{y|y≠0}。指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）的值域为(0,+∞)。对数函数y=logₐx（a＞0且a≠1）的值域为R。利用函数的单调性求值域：先确定函数的单调性，再根据单调性求值域。4.函数的解析式求函数解析式的方法：待定系数法：已知函数的类型，设出函数的解析式，根据已知条件列出方程（组）求解。换元法：通过引入新的变量来替换原来的变量，从而简化函数的形式，求出函数的解析式。配凑法：从已知的函数表达式中，通过配凑得到关于自变量的表达式，从而求出函数的解析式。消元法：已知两个函数的关系式，通过联立方程消去一个变量，得到另一个变量的函数解析式。5.函数的单调性单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)（或f(x₁)＞f(x₂)），那么就说函数f(x)在区间D上是增函数（或减函数）。单调性的判断方法：定义法：设x₁、x₂∈D，且x₁＜x₂，作差f(x₁)f(x₂)，判断其正负，从而确定函数的单调性。导数法：对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性。若f'(x)＞0，则f(x)在相应区间上单调递增；若f'(x)＜0，则f(x)在相应区间上单调递减。图象法：通过观察函数的图象，判断函数的单调性。单调性的应用：比较函数值的大小。求函数的最值。解不等式。6.函数的奇偶性奇偶性的定义：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内的任意一个x，都有f(x)=f(x)（或f(x)=f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数（或奇函数）。奇偶性的判断方法：定义法：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(x)的关系。图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。奇偶性的应用：简化函数的运算。求函数值。研究函数的图象。7.函数的周期性周期性的定义：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。常见函数的周期：y=sinx，y=cosx的周期是2π。y=tanx的周期是π。周期函数的性质：若T是函数f(x)的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数f(x)的周期。（二）典型例题讲解例1：求下列函数的定义域（1）f(x)=√(x²3x+2)（2）f(x)=1/(log₂(x1))解：（1）要使函数有意义，则x²3x+2≥0，即(x1)(x2)≥0，解得x≤1或x≥2，所以函数的定义域为(∞,1]∪[2,+∞)。（2）要使函数有意义，则x1＞0且log₂(x1)≠0，即x＞1且x1≠1，解得x＞1且x≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞)。例2：已知函数f(x)=x²+2ax+1，x∈[5,5]（1）当a=1时，求函数f(x)的最大值和最小值。（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[5,5]上是单调函数。解：（1）当a=1时，f(x)=x²2x+1=(x1)²，对称轴为x=1。在区间[5,5]上，当x=1时，f(x)取得最小值0；当x=5时，f(x)取得最大值36。（2）函数f(x)的对称轴为x=a，要使y=f(x)在区间[5,5]上是单调函数，则a≤5或a≥5，解得a≥5或a≤5。例3：判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x³+x（2）f(x)=√(1x²)/|x+2|2解：（1）函数f(x)的定义域为R，关于原点对称。f(x)=(x)³+(x)=x³x=(x³+x)=f(x)，所以函数f(x)是奇函数。（2）由1x²≥0得1≤x≤1，此时|x+2|=x+2。f(x)=√(1x²)/(x+22)=√(1x²)/x，f(x)=√(1(x)²)/(x)=√(1x²)/x=f(x)，所以函数f(x)是奇函数。例4：已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2^x1，求当x＜0时，f(x)的解析式。解：设x＜0，则x＞0，因为当x＞0时，f(x)=2^x1，所以f(x)=2^(x)1。又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=f(x)，即f(x)=2^(x)1，所以f(x)=12^(x)。（三）课堂练习1.函数f(x)=√(x+1)/x的定义域为（）A.[1,0)∪(0,+∞)B.(1,0)∪(0,+∞)C.[1,+∞)D.(1,+∞)2.已知函数f(x)=x²+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，则f(1)=（）A.0B.8C.2D.23.函数f(x)=2x+1在区间[1,2]上的平均变化率为（）A.2B.3C.4D.54.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是（）A.y=x³B.y=x²+1C.y=1/xD.y=|x|+15.已知函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(1)=5，则f(5)=（）A.1B.5C.0D.2（四）课堂小结1.函数的基本概念、性质是函数的核心内容，要准确理解和掌握函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等概念，并能熟练运用这些概念解决相关问题。2.常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数）的图象和性质是解决函数问题的重要工具，要熟练掌握这些函数的图象特征和性质，并能灵活运用。3.在解决函数问题时，要注重函数思想的运用，将函数问题转化为方程、不等式问题，通过解方程、不等式来求解函数问题。同时，要注意运用分类讨论、数形结合等数学思想方法，提高解题的准确性和效率。（五）课后作业1.求下列函数的定义域（1）f(x)=√(x+3)+1/(x2)（2）f(x)=log₃(2x1)2.已知函数f(x)=x²+2ax+1a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值。3.判断下列函数的奇偶性（1）f(x)=x²|x|+1（2）f(x)=(e^xe^(x))/(e^x+e^(x))4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x²2x，求当x＜0时，f(x)的解析式。5.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且f(1)=2，求f(2019)的值。五、教学反思通过本节课的复习，学生对函数的基本概念、性质和常见函数的图