高等数学教学设计-导数

高等数学教学设计——导数一、教学目标1.知识与技能目标理解导数的概念，掌握导数的定义式及其几何意义。能够运用导数的定义求一些简单函数的导数。了解导数与切线斜率的关系，会求曲线在某点处的切线方程。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会导数的思想。在导数概念的形成过程中，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。通过利用导数求切线方程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标感受数学与生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的兴趣。在探究导数概念的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点导数的概念和几何意义。用导数的定义求函数的导数。2.教学难点对导数概念中极限思想的理解。从平均变化率过渡到瞬时变化率，进而理解导数的概念。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，通过实际问题引入，引导学生自主探究导数的概念，借助图形直观理解导数的几何意义，再通过例题和练习巩固所学知识。四、教学过程（一）导入新课1.展示问题问题1：气球膨胀率。问题2：高台跳水运动员的速度。引导学生思考如何描述这些变化的快慢程度。2.讲解平均变化率以气球半径从$r_1$增加到$r_2$为例，计算气球的平均膨胀率。给出平均变化率的定义：$\frac{\Deltay}{\Deltax}=\frac{f(x_2)f(x_1)}{x_2x_1}$，并强调它反映了函数在某一区间上变化的快慢。让学生计算高台跳水运动员在不同时间段内的平均速度，进一步理解平均变化率。（二）新课讲授1.瞬时变化率引导学生思考当$\Deltax$无限趋近于0时，平均变化率的极限情况。以高台跳水运动员在$t=t_0$时刻的速度为例，通过分析运动员在$t_0$附近的平均速度，当$\Deltat$趋近于0时，平均速度趋近于一个确定的值，这个值就是运动员在$t=t_0$时刻的瞬时速度。给出瞬时变化率的定义：函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的瞬时变化率是$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}$。2.导数的概念讲解导数的定义：函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数$f^\prime(x_0)$就是函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的瞬时变化率，即$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)f(x_0)}{\Deltax}$。强调导数的符号$f^\prime(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的导数，它是一个与$x$有关的函数。让学生用导数的定义求函数$y=x^2$在$x=1$处的导数，通过计算加深对导数概念的理解。3.导数的几何意义借助函数$y=f(x)$的图象，讲解曲线$y=f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线的概念。分析曲线在某点处的切线斜率与该点处导数的关系：曲线$y=f(x)$在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线斜率就是函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数$f^\prime(x_0)$。给出曲线在点$P(x_0,f(x_0))$处的切线方程的求法：已知切线斜率$k=f^\prime(x_0)$，且过点$P(x_0,f(x_0))$，根据点斜式可得切线方程为$yf(x_0)=f^\prime(x_0)(xx_0)$。以函数$y=x^2$为例，求曲线在点$(1,1)$处的切线方程，通过具体例子让学生掌握切线方程的求法。（三）例题讲解例1：已知函数$f(x)=x^3$，求$f^\prime(2)$。解：根据导数的定义，$f^\prime(2)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(2+\Deltax)f(2)}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{(2+\Deltax)^32^3}{\Deltax}$$=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{8+12\Deltax+6(\Deltax)^2+(\Deltax)^38}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}(12+6\Deltax+(\Deltax)^2)=12$。例2：求曲线$y=\frac{1}{x}$在点$(1,1)$处的切线方程。解：首先求函数$y=\frac{1}{x}$在$x=1$处的导数，$y^\prime=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\frac{1}{1+\Deltax}1}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{1(1+\Deltax)}{(1+\Deltax)\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltax}{(1+\Deltax)\Deltax}=1$。所以曲线在点$(1,1)$处的切线斜率为$1$，根据点斜式可得切线方程为$y1=1\times(x1)$，即$x+y2=0$。（四）课堂练习1.已知函数$f(x)=x^2+2x$，求$f^\prime(1)$。2.求曲线$y=\sinx$在点$(\frac{\pi}{2},1)$处的切线方程。（五）课堂小结1.引导学生回顾导数的概念、定义式及其几何意义。2.总结用导数定义求函数导数的步骤和方法。3.强调导数在研究函数变化率和曲线切线问题中的重要作用。（六）布置作业1.书面作业求函数$f(x)=3x^22x+1$的导数。求曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程。2.拓展作业查阅资料，了解导数在物理、经济等领域的应用，并写一篇简短的报告。思考：若函数在某点处不可导，其图象在该点处有什么特点？五、教学反思通过本节课的教学，学生对导数的概念和几何意义有了初步的理解，能够运用导数的定义求一些简单函数的