人教版七年级数学下册 第一次月考知识点复习题（考查范围：第7-8章）（含解析）

第一次月考知识点复习题（考查范围：第7-8章）【题型1平行线中的角度计算】1.如图，MN∥PQ，AB∥CD，CE平分∠DCN交PQ于点E，点F是射线AB上任一点，连结CF、DF，若∠BFD=∠BDF，∠ECF−∠DFC=60°，则∠DFC的大小为（

）A．60° B．15° C．60°或15° D．15°或70°2.在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，AB,CD代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证AB与CD平行，已知光线经过镜子反射时，∠1=∠2,∠3=∠4，若FM⊥MN，则∠1=（

）A．45° B．60° C．90° D．30°3.如图1是AD∥BC的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=24°，则图2中∠AEFA．112° B．68° C．48° D．136°4.如图，∠O=78°，P是OB上一点，直线PM与OB的夹角∠BPM=35°，要使PM∥OA，直线PM绕点P顺时针旋转的最小角度为（

）度

A．35° B．43° C．223° D．78°【题型2平行线中的角度关系探究】1.如图，已知直线AB∥CD，则α、β、γ之间的关系是（A．α+β−2γ=180° B．β−α=γC．α+β+γ=360° D．β+γ−α=180°2.如图，l1∥l2，则∠2>∠1+∠3 B．无法确定 C．∠3=∠1−∠2 D．∠2=∠1+∠33.将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，∠1与∠2的关系是（

）A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=45° C．∠1+∠2=90° D．∠1+∠2=180°4.如图，直线a∥b，180°−∠3+∠2=∠2−∠1=d>0．其中∠3>90°，∠1=50°，则

A．109° B．110° C．114° D．115°【题型3实数的运算】1.若整数x满足5+19≤x≤45+2A．8 B．9 C．10 D．112.设S1=1+112+122，SA．2425 B．245 C．24243.已知实数a、b、c、d、e、f，且a、b互为倒数，c、d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，则12ab+c+dA．92+2 B．132−24.设x表示不大于x的最大整数，则1×2+A．5151 B．5150 C．5050 D．5049【题型4多结论问题】1.如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG=2∠D，且FE平分∠AFG，则下列结论：①∠D=30°；②2∠D+∠EHC=90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③2.如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3.如图，AB与HN交于点E，点G在直线CD上，∠FMA=∠FGC，∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC下列四个结论：①AB∥CD；②∠FEN+∠FGH=2∠EHG；③∠EHG+∠EFM=90°；④3∠EHG−∠EFM=180°．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④4.如图，点E在BA延长线上，EC与AD交于点F，且∠E=∠DCE，∠B=∠D，∠EFA是∠FCB的余角的5倍，点M是线段CB上的一动点，点N是线段MB上一点且满足∠MNF=∠MFN，FK平分∠EFM．下列结论：①BE∥CD；②AD∥CB；③FN平分∠AFM；④A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型5平行线中的旋转问题】1.绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨a、b上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为秒时，两束光线平行．2.将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边与ED平行时，t=．3.如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P，Q是直线l上的两个激光灯，∠APQ=∠BQP=60°，现激光PA绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒3°的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒0<t<100，当AP∥QB时，t的值为4.在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明将△ADE从图中位置开始，绕点A按每秒15°的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，边AB与边【题型6平行线中的实际应用】1.消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH=70°，这时展角∠ABC=．2.凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若∠1=30°，∠2=55°，则∠ABP的度数是．3.图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AD′，D′E′，D′C．此时D′E′4.如图，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB=36°，一束与水平线AO平行的光线（入射光线）从点C射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处（反射光线与平面镜的夹角等于入射光线与平面镜的夹角），则∠BDC的度数是，∠AED的度数为．【题型7利用整式乘法解决图形面积问题】1.矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为S2；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1−S3=2

2.如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为．3.有6张如图①的长为a，宽为b(a>b)的小长方形纸片，按图②方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a,b满足的数量关系是．4.建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1=6S【题型8平行线中辅助线的构造】1.已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，(1)如图1，求证：EF∥(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF2.先阅读再解答：(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．3.直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分(1)如图1，若BP∥CE，求证：(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．4.已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，【题型9无理数整数部分有关的计算】1.如图，已知正方形ABCD的边长为5．(1)有4×4的网格，每个方格的边长为1，把正方形ABCD画在网格中，要求顶点在格点上．(2)如图，把正方形ABCD放到数轴上，使得点A与数−1重合，边AD在数轴上，那么点D数轴上表示的数为________．(3)在（2）的条件下，如果a和b分别表示点D对应的无理数的整数部分和小数部分，求a−b的值．2.对于一个实数m（m≥0），规定其整数部分为a，小数部分为b，如：当m＝3时，则a＝3，b＝0；当m＝4.5时，则a＝4，b＝0.5．（1）当m=π时，b＝；当m＝11时，a＝；（2）当m＝9−7时，求a－b的值；（3）若a－b＝30−1，则m＝3.阅读材料，完成下列任务：材料一；材料二：我们可以用以下方法表示无理数7的小数部分．我们可以用以下方法求无理数107的近似值（保留两位小数）．∵4<7<9，∴4<7<∴7的整数部分为2，∴7的小数部分为7−2∵面积为107的正方形的边长是107，且10<107<11．∴设107=10+x，其中0<x<1，画出边长为10+x的正方形，如图1：根据图中面积，得102+2×10x+x2=107，当∴107=10+x=10.35任务：(1)利用材料一中的方法，27的小数部分是；(2)x是15−2的小数部分，y是5−15的小数部分，则(3)利用材料二中的方法，探究127的近似值（保留两位小数，并写出求解过程）4.阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用2−1来表示2事实上，小明的表示方法是有道理，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵4<7<∴7的整数部分为2，小数部分为7−2请解答：(1)17的整数部分是，小数部分是．(2)如果5的小数部分为a，13的整数部分为b，求a+b的值；(3)已知：10+3=x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x−y的相反数．【题型1平行线中的角度计算】1.C【分析】分两种情况讨论：①当点F在线段AB上时，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠DCE=∠FDC，则可得CE∥DF，进而可得∠ECF+∠DFC=180°，再结合∠ECF−∠DFC=60°即可求出∠DFC的度数．②当点F在线段AB的延长线上时，延长线段AB交CE于G点，由平行线的性质和角平分线的定义可得∠CDG+∠DCE=90°，再根据三角形内角和定理可得∠CGD=90°，∠ECF+∠DFC=90°，再结合∠ECF−∠DFC=60°即可求出的度数．本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识，并且分类讨论是解题的关键．【详解】解：①如图，当点F在线段AB上时，∵MN∥PQ，∴∠DCN=∠PDC，∵CE平分∠DCN∴∠DCE=1∵AB∥CD，∴∠BFD=∠FDC，∵∠BFD=∠BDF，∴∠FDC=∠BDF=1∴∠DCE=∠FDC，∴CE∥DF，∴∠ECF+∠DFC=180°，∵∠ECF−∠DFC=60°，解得∠DFC=60°；②如图，当点F在线段AB的延长线上时，延长线段AB交CE于G点，∵AB∥CD，∴∠BFD=∠CDG，又∵∠BFD=∠BDF，∠BDF=∠GDE，∴∠CDG=∠GDE=1∵CE平分∠DCN，∴∠DCE=1∵MN∥PQ，∴∠CDE+∠DCN=180°，∴∠CDG+∠DCE=1∴△CDG中，∠CGD=180°−∠CDG−∠DCE=90°，∴△CFG中，∠ECF+∠DFC=90°，又∵∠ECF−∠DFC=60°，解得∠DFC=15°．故选：C．2.A【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到∠1=∠2=∠3=∠4，结合条件可求得∠EFM=∠FMN，再利用平行线的判定可证明MN∥EF，由垂线的性质容易得出答案．【详解】解：∵AB∥CD,∴∠2=∠3.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1=∠2=∠3=∠4，∴180°−∠1−∠2=180°−∠3−∠4，即∠EFM=∠FMN，∴MN∥EF．∵FM⊥MN，∴∠FMN=90°，∴∠3=∠4=45°，∴∠1=∠3=45°．故答案为：A．3.A【分析】根据各角的关系可求出∠BFE的度数，由AE∥BF，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出【详解】解：根据图2可知∠BFE折叠了1次，即2∠BFE+∠BFC=180°，∠BFE−∠BFC=∠CFE=24°，根据图3可知∠BFE折叠了2次还差个∠CFE，∴∠BFE=13(180°+24°)=68°∵AE∥∴∠AEF=180°−∠BFE=112°．故选：A．4.B【分析】本题考查平行线的性质，旋转的性质，以及几何图形中角的运算．根据平行线的性质，得到∠BPN=∠O=78°，进而得到∠MPN=∠BPN−∠BPM，据此计算即可求解．【详解】解：∵PM∥OA，∠O=78°，∴∠BPN=∠O=78°，∵直线PM与OB的夹角∠BPM=35°，∴∠MPN=∠BPN−∠BPM=43°，∴要使PM∥OA，直线PM绕点P顺时针旋转的最小角度为43°，故选：B．【题型2平行线中的角度关系探究】1.D【分析】本题考查平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．过E向左作射线EF∥AB，把∠β分成∠FEA和∠FED，然后根据平行线的性质即可得到解答．【详解】过E向左作射线EF∥AB，则∠FEA=∠EAB=α，∴∠FED=∠AED−∠FEA=β−α∵AB∥∴FE∥∴∠D+∠FED=180°，∴β+γ−α=180°．故选：D．2.D【分析】过∠2的顶点作直线l∥l1，利用平行线的性质得到∠1、∠3与∠α、∠β的关系，从而得出∠1、∠2、∠3的关系．【详解】解：过∠2的顶点作直线l∥l1，∵l1∥l2，l∥l1，∴l1∥l2∥l，∴∠1＝∠α，∠3＝∠β，∵∠α＋∠β＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2，故选：D．3.C【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过B作BN∥GF，由平行公理推论得GF∥HE∥【详解】如图，过B作BN∥∵GF∥∴GF∥∴∠1=∠MBN，∠2=∠ABN，∴∠1+∠2=∠MBN+∠ABN=∠ABC=90°，故选：C．4.A【分析】先添加辅助线，再根据平行线的性质和三角形外角性质，求出∠4与∠3的关系式，最后由∠3>90°，即可求出范围，得出答案．【详解】如图，延长AB，分别交a和b于点C，D，

∵180°−(∠3+∠2)=∠2−∠1，∠1=50°，∴2∠2+∠3=230°，∵a∥b，∴∠5=∠6，∵∠4=∠6+180°−∠3，∠2=∠5+∠1，∠1=50°，∴∠4=∠2−50°+180°−∠3=130°+∠2−∠3，∴∠2=∠3+∠4−130°，∴2(∠3+∠4−130°)+∠3=230°，整理得：3∠3+2∠4=490°，∴∠3=490°−2∠4解得：∠4<110°，∴∠4的最大整数值是109°．故选：A．【题型3实数的运算】1.C【详解】解：∵4＜19＜5，∴9＜5+19＜10；45=80，8＜802.C【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律．【详解】解：由题意得：S1S2S3S4…，∴Sn∴S=1+1−=24+1−=2424故选：C．3.D【分析】本题考查了实数的混合运算，根据倒数、相反数的定义，绝对值的意义，算术平方根的定义得出ab、c+d、e2及f【详解】解：由题意得，ab=1，c+d=0，e2=2，∴12故选：D．4.C【分析】本题主要考查了新定义，根据条件可得每一项都是xx+1组成，判断出x<xx+1【详解】解：∵x2∴x<x∴xx+1∴原式=1+2+3+⋯+100=5050；故选：C．【题型4多结论问题】1.A【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，先根据平行线的性质可得FG⊥FD，从而可得∠AFG+∠BFD=90°，再根据平行线的性质可得∠D=∠BFD，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得∠EHC=∠D=30°，由此即可判断②；根据平行线的性质可得∠BFD=∠D=30°，∠GFD=90°，但题干未知【详解】解：∴FD∥EH，FG⊥EH，∴FG⊥FD，∴∠AFG+∠BFD=180°−90°=90°，∴2∠D+∠BFD=90°，∵AB∥CD，∴∠D=∠BFD，∴2∠D+∠D=90°，解得∠D=30°，则结论①正确；∵FD∥EH，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=2×30°+30°=90°，则结论②正确；∵∠D=30°，AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，∵FG⊥FD，∴∠GFD=90°，但∠HFD不一定等于30°，也不一定等于45°，所以FD平分∠HFB，FH平分∠GFD都不一定正确，则结论③和④都错误；综上，正确的是①②，故选：A．2.B【分析】根据平行线的判定定理得到AD∥BC，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得∠D+∠DCG+∠GCK=180°，再根据题目已知∠CKG=∠CGK，得【详解】∵∠EAD=∴∠EAD=∴AD∥BC，故①正确；∴∠AGK=∵∠CKG=∴∠AGK=∴GK平分∠AGC延长EF交AD于P，延长CH交AD于Q，

∵EF∥CH，∴∠EPQ=∵∠EPQ=∴∠CQG=∵AD∥BC，∴∠HCK+∴∠E+∵∠FGA的余角比∠DGH大∴90°−∠FGA−∠DGH=16°，∵∠FGA=∴90°−2∠FGA=16°∴∠FGA=设∠AGM=α，∠MGK=∴∠AGK=α＋β∵GK平分∠AGC∴∠CGK=∠AGK=α∵GM平分∠FGC∴∠FGM=∴∠FGA+∴37°＋α=β＋α＋β，∴β=18.5°，∴∠MGK=18.5°故选：B．3.C【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算，由已知条件可得出AB∥CD，过点H作HQ∥AB，由平行线的性质可得出②，设∠NEB=x，【详解】解：∵∠FMA=∠FGC，∴AB∥∴①正确；过点H作HQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠NEB=∠EHQ，∠QHG=∠HGC，∴∠EHQ+∠QHE=∠NEB+∠HGC，即∠EHG=∠NEB+∠HGC，∵∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC∴∠EHG=1即∠FEN+∠FGH=2∠EHG，∴②正确．设∠NEB=x，∠HGC=y，则∠FEN=2x，由②知∠EHG=∠NEB+∠HGC=x+y作FP∥AB，∴∠PFE=∠FEM,∠PFM=180°−∠FME，∠EFM=∠PFM−∠PFE=180°−∠BMF−∠FEM=∠BEF−∠FME=∠BEF−∠AMG=∠BEF−=x+2x−180°−2y−y∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y−180°=4x+4y−180°，无法判断是否为90°，∴③错误；∴3∠EHG−∠EFM=3x+y∴④正确．综上所述，正确答案为①②④．故选：C．4.C【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，三角形的内角和定理的应用．由∠E=∠DCE，可得BE∥CD，故结论①正确；证明∠EAD=∠B，可得AD∥CB，故结论②正确；证明∠AFN=∠MFN，可得FN平分∠AFM，故结论③正确；由∠EFA=∠FCB，结合∠EFA是∠FCB的余角的5倍，可得∠FCB=75°=∠EFA，进一步可得结论④正确；证明【详解】解：∵∠E=∠DCE，∴BE∥∴∠EAD=∠D，∵∠B=∠D，∴∠EAD=∠B，∴AD∥∴∠AFN=∠FNM，∵∠MNF=∠MFN，∴∠AFN=∠MFN，∴FN平分∠AFM，故结论③正确；∵AD∥∴∠EFA=∠FCB，∵∠EFA是∠FCB的余角的5倍，∴∠EFA=590°−∠FCB∴∠FCB=75°=∠EFA，∵∠B=∠D，∠B+∠E+∠FCB=180°，∴∠D+∠E=∠B+∠E=180°−∠FCB=180°−75°=105°，故结论④正确；∵FK为∠EFM的平分线，∴∠MFK=1∵FN平分∠AFM，∴∠MFN=1∴∠KFN=∠MFK−∠MFN=1综上所述，正确的结论有①②③④．故选：C．【题型5平行线中的旋转问题】1.3或43.5【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键；分旋转小于180°时和大于180°两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可．【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为t+6秒，当AB旋转小于180°时，如图所示：∵a∥b，AB∥CD，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3∵AB按每秒6°的速度顺时针旋转，CD以每秒2°的速度顺时针旋转，∴∠1=6t°，∴6t=12+2t，解得：t=3；当AB旋转大于180°回转时，如图所示：∵a∥b，AB∥CD，∴∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3∠1=180−6t−180°=360−6t=12+2t解得：t=43.5；综上所述：旋转时间为3秒或43.5秒，故答案为：3或43.5．2.33或24或15【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①AB∥DE、②BC∥DE、③【详解】解：①AB∥∠ACE=45°+30°=75°∴t=75°÷5°=15；②BC∥DE时，如图所示：∠BCD=∠D=90°∴∠ACE=45°+30°+90°=165°∴t=165°÷5°=33；③AC∥∠ACD=∠D=90°∴∠ACE=30°+90°=120°∴t=120°÷5°=24；综上所述：t=33或15或24故答案为：33或15或243.12或48或84【分析】本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键．分情况讨论：①PA，QB在直线l上方，得3°×t+60°+60°+2°×t=180°；②PA在直线l下方，QB直线l上方，得360°−60°+2°×t③PA，QB都在直线l下方，得360°−60°+3°×t④PA，QB在直线l上方和下方，得360°−60°+3°×t【详解】解：分情况讨论：①当PA，QB在直线l上方时，如图：当PA∥QB时，则∠APQ+∠BQP=180°，∴3°t+60°+60°+2°t=180°，∴t=12；②当PA在直线l下方，QB直线l上方时，如图：当PA∥QB时，则∠APQ=∠BQP，∴360°−60°+2°t∴t=48；③当PA，QB都在直线l下方时，如图：当PA∥QB时，则∠APQ=∠BQN，∴360°−60°+3°t∴t=84；④当PA在直线l上方，QB直线l下方时，如图：当PA∥QB时，则∠APQ=∠BQP，∴60°+3°t−360°=360°−60°+2°t∴t=120>100（舍去），∴t为12或48或84，故答案为：12或48或84．4.5或17【分析】本题考查了平行线的判定和性质．分两种情况：①DE在AB上方；②DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案．【详解】解：①当DE在AB上方，∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵AB∥∴∠BAE=∠E=45°，∴∠CAE=∠BAC+∠BAE=75°，∴旋转时间为：75°15°②当DE在AB下方，∵∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵AB∥∴∠BAE+∠E=180°，∴∠BAE=180°−∠E=135°，∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=105°，∴旋转角度为：360°−∠CAE=255°，∴旋转时间为：255°15°综上所述：在旋转过程中，第5或17秒时，边AB与边DE平行，故答案为：5或17．【题型6平行线中的实际应用】1.160°【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是作出正确的辅助线．延长BC，FE，相交于点P，延长AB交FE的延长线于点Q，利用平行线的性质可求得∠Q=70°，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求得答案．【详解】如图，延长BC，FE，相交于点P，延长AB交FE的延长线于点Q，∵AB∥FH，∴∠Q=∠EFH=70°，∵延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，∴∠BPQ=90°，∴∠ABC=∠BPQ+∠Q=90°+70°=160°．故答案为：160°．2.155°【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得∠BFO，再根据平行线的性质求得∠ABP的度数．【详解】解：∵∠1=30°，∠2=55°，∴∠POF=∠1=30°，∴∠BFO=∠2−∠POF=55°−30°=25°，∵AB∥∴∠BFO+∠ABP=180°，∴∠ABP=180°−∠BFO=180°−25°=155°，故答案为：155°．3.56【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：AD∥D'E'，然后利用平行线的性质可得【详解】解：∵D'E∴AD∥D∴∠ADD∵DD'平分∴∠ADC=2∠ADD∵AD∥BC，∴∠DCB=180°−∠ADC=56°，故答案为：56．4.36°72°【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由∠AOB=36°，AO∥CD得到∠BDC=∠AOB=36°，∠ODE=∠CDB=36°，得到∠CDE=108°，又由AO∥CD得到∠AED=180°−∠CDE=72°．【详解】解：∵∠AOB=36°，AO∥CD，∴∠CDB=∠AOB=36°，∵∠CDB=∠ODE，∴∠ODE=∠CDB=36°，∴∠CDE=180°−∠ODE−∠CDB=108°，∵AO∥CD，∴∠AED=180°−∠CDE=180°−108°=72°，故答案为：36°，72°．【题型7利用整式乘法解决图形面积问题】1.7【分析】利用面积的和差表示出S2−S【详解】解：由S1可得：S2由图①得：S矩形由图②得：S矩形∴S1∴S2∵AD−AB=m，∴mb=7．故答案为：7．2.24【分析】设KF=a，FL=b，利用a，b表示出图中的阴影部分面积S1与长方形面积S2，然后根据3S2－S1=96可得a，b的关系式，然后可求周长．【详解】设KF=a，FL=b，由图可得，EK=BH=LJ=GD=4-a，KH=EB=GL=DJ==4-b，∴S1=2S2=4+4−b∵3S2－S1=96∴3整理得：a+b=4∴长方形ABCD的周长=2故答案为：24．3.a=2b【分析】分别表示出左上角和右下角部分的面积，表示出它们的差，根据差与BC无关得到结果．【详解】设左上角的长方形的长为AE，则宽为AF=a，右下角长方形的长为PC，则宽为2b，∵AD=BC，即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC，∴AE+4b=a+PC，∴AE=a-4b+PC，∴阴影部分面积差为：AE·a-PC·2b=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab,∵面积差与PC无关，故a-2b=0，所以a=2b，故答案为a=2b．4.7【分析】根据图形中阴影部分均为三角形，利用三角形面积公式，找到底和高可求出ΔDGI与ΔMNC面积，求ΔKMD面积使用正方形面积减去三个三角形面积，可求得S1，S【详解】如图所示，对需要的交点标注字母：SΔDGIS==ab+3SΔMNC∴S1S2∵S1∴2ab+5化简得：2a=7∴ab故答案为：74【题型8平行线中辅助线的构造】1.（1）证明：∵AB∥CD，∴∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，∴∠NFH=∠FNR，∵AB∥CD，∴∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN−∠NFH．（3）解：如图所示，设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，∵AB∥CD，∴∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，∴∠BEN=1∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°−α∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°−α=42°+2α，∴∴∠AEF=2α+6=36°，故∠AEF的度数为36°．2.（1）解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∵∠BED=∴∠BED＝（2）证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B+∵∠BED=∴∠B+（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠ABF=∵∠ABF=∴∠G=∴BG∥CE，∴∠BFE=3.（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，设∠AB