广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试数学试题

广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高二上学期1月期末联合考试数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高二（1）班一、选择题（共10题，每题5分）要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=（1+i）/2，那么|z|的值为：A.√2/2B.1C.√2D.22.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的零点个数为：A.1B.2C.3D.43.下列函数中，y=Asin(ωx+φ)的图像为正弦曲线的是：A.A>0，ω>0，φ>0B.A>0，ω>0，φ<0C.A<0，ω>0，φ>0D.A<0，ω>0，φ<04.已知数列{an}是等差数列，且a1=3，a3=7，那么公差d为：A.2B.3C.4D.55.已知直线l的方程为2x+y-5=0，那么过点(1,2)且与直线l垂直的直线方程为：A.x+2y-5=0B.x-2y+5=0C.2x+y+5=0D.2x-y-5=06.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），如果f(1)=3，f(-1)=-1，那么f(0)的值为：A.2B.3C.4D.57.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，那么sinC的值为：A.√3/2B.1/2C.√2/2D.18.已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，那么a5+a8的值为：A.2B.4C.8D.169.函数y=log2(x-1)的定义域为：A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(1,2)D.(2,+∞)10.已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=25，那么a3的值为：A.9B.12C.15D.18二、填空题（共5题，每题6分）要求：直接写出答案。11.已知复数z=1-i，那么|z|的值为_________。12.函数f(x)=x^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为_________。13.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a4=10，那么公差d为_________。14.已知函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的零点个数为_________。15.已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，那么a5+a8的值为_________。三、解答题（共2题，每题15分）要求：写出解答过程，解答过程要完整。16.（1）已知函数f(x)=2x^3-3x^2+1，求f(x)的导数f'(x)。（2）求函数f(x)=x^3-3x^2+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。17.（1）已知等差数列{an}的公差d=3，且a1+a5=25，求a3的值。（2）已知等比数列{an}的公比为q，且a1=1，a5+a8=16，求q的值。四、证明题（共1题，10分）要求：写出证明过程，证明过程要完整。18.证明：在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，那么sinC=sinA。五、应用题（共1题，15分）要求：根据题目要求，写出解答过程，解答过程要完整。19.某商品原价为1000元，现降价20%后，再打9折，求现价。六、解答题（共1题，15分）要求：写出解答过程，解答过程要完整。20.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），如果f(1)=3，f(-1)=-1，求f(0)的值。本次试卷答案如下：一、选择题答案及解析：1.B解析：复数的模长计算公式为|z|=√(a^2+b^2)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。对于z=（1+i）/2，有|z|=√[(1/2)^2+(1/2)^2]=√(1/2)=1。2.B解析：函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的零点可以通过观察函数图像或者使用导数判断。由于f(x)是三次函数，且在[-1,1]内连续，根据罗尔定理，至少存在一个零点。计算f(-1)=-1和f(1)=1，可知f(x)在[-1,1]内有一个零点。3.C解析：正弦曲线的特点是周期性、对称性和波峰波谷。选项C中的A<0，说明振幅为负，不符合正弦曲线的特点；ω>0，说明周期小于2π，符合正弦曲线的特点；φ>0，说明曲线向右平移，符合正弦曲线的特点。4.A解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。根据a1=3，a3=7，代入公式得7=3+(3-1)d，解得d=2。5.B解析：两条垂直直线的斜率之积为-1。直线l的斜率为-2，所以过点(1,2)且与直线l垂直的直线斜率为1/2，方程为y-2=(1/2)(x-1)。6.B解析：将x=0代入函数f(x)=ax^2+bx+c，得f(0)=c。由于f(1)=3，f(-1)=-1，代入得a+b+c=3，a-b+c=-1。解这个方程组得a=0，b=2，c=1，所以f(0)=1。7.D解析：根据正弦定理，sinC/c=sinA/a。由于∠A=60°，∠B=45°，所以sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2。由正弦定理得sinC=(√3/2)/(√2/2)=√3。8.C解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。代入a5+a8=16得a1*q^4+a1*q^7=16，化简得q^3+q^6=16。由于a1=1，解得q=2。9.A解析：对数函数的定义域为x>0，所以y=log2(x-1)的定义域为x-1>0，即x>1。10.B解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。代入a3=25-d，a1=2，d=3得25-3=22，所以a3=22。二、填空题答案及解析：11.√2/2解析：复数的模长计算公式为|z|=√(a^2+b^2)，其中a和b分别为复数的实部和虚部。对于z=1-i，有|z|=√[1^2+(-1)^2]=√2/2。12.1解析：函数f(x)=x^2-2x+1在区间[1,3]上的最大值可以通过求导数或者观察函数图像得出。求导得f'(x)=2x-2，令f'(x)=0得x=1。由于f(1)=1^2-2*1+1=1，所以最大值为1。13.3解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。根据a1=2，a4=10，代入公式得10=2+(4-1)d，解得d=3。14.1解析：函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-1,1]上的零点可以通过观察函数图像或者使用导数判断。由于f(x)是三次函数，且在[-1,1]内连续，根据罗尔定理，至少存在一个零点。计算f(-1)=-1和f(1)=1，可知f(x)在[-1,1]内有一个零点。15.8解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。代入a5+a8=16得a1*q^4+a1*q^7=16，化简得q^3+q^6=16。由于a1=1，解得q=2。三、解答题答案及解析：16.（1）f'(x)=6x^2-6x解析：函数f(x)=2x^3-3x^2+1的导数可以通过求导公式得到。对每一项分别求导得f'(x)=6x^2-6x。（2）最大值为1，最小值为-1解析：函数f(x)=x^3-3x^2+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值可以通过求导数或者观察函数图像得出。求导得f'(x)=6x^2-6x，令f'(x)=0得x=0。由于f(0)=1，f(-1)=-1，f(2)=-1，所以最大值为1，最小值为-1。17.（1）a3=9解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。根据a1=2，a5=25-d，代入公式得25-d=2+(5-1)d，解得d=3。代入a3=25-3d得a3=9。（2）q=2解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。代入a5+a8=16得a1*q^4+a1*q^7=16，化简得q^3+q^6=16。由于a1=1，解得q=2。四、证明题答案及解析：18.证明：在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，那么sinC=sinA。证明：由正弦定理得sinC/c=sinA/a，sinB/b=sinC/c。由于∠A=60°，∠B=45°，所以sinA=sin60°=√3/2，sinB=sin45°=√2/2。由正弦定理得sinC=(√3/2)/(√2/2)=√3/2。因此，sinC=sinA。五、应用题答案及解析：19.现价为720元解析