2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例练习含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-3.4生活中的优化问题举例[学生用书P137(单独成册)])[A基础达标]1．某城市在发展过程中，交通状况渐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时 B．7时C．8时 D．9时解析：选C.y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t<8时，y′>0，当8<t≤9时，y′<0，所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．2．把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()A.eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2解析：选D.设一段为x，则另一段为12－x(0<x<12)，则S(x)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，所以S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0，6)时，S′(x)<0，当x∈(6，12)时，S′(x)>0，所以当x＝6时，S(x)最小．所以S＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,9)×62－\f(8,3)×6＋16))＝2eq\r(3)(cm2)．3．已知生产某产品x单位的成本为C(x)＝5x＋200(元)，所得收益为R(x)＝10x－0.01x2(元)，则生产多少单位产品才能使总利润L最大()A．200 B．250C．300 D．260解析：选B.总利润L＝R(x)－C(x)＝5x－0.01x2－200，L′＝5－0.02x，令L′＝0，得x＝250.易知x＝250是唯一的极大值点．因此，生产250单位的产品才能使总利润最大．4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－eq\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150 B．200C．250 D．300解析：选D.由题意可得总利润P(x)＝－eq\f(x3,900)＋300x－20000(0≤x≤390)．P′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300<x≤390时，P′(x)<0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D.5．某工厂要建立一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，假如箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，那么箱子的最低总造价为()A．900元 B．840元C．818元 D．816元解析：选D.设箱底一边的长度为xm，箱子的总造价为l元，依据题意得箱底面积为eq\f(48,3)＝16(m2)，则长为xm的一边的邻边长度为eq\f(16,x)m，则l＝16×15＋(2×3x＋2×3×eq\f(16,x))×12＝240＋72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(16,x)))，l′＝72eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(16,x2))).令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当0<x<4时，l′<0；当x>4时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价是816元．6．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，假如第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时改变率的最小值是________．解析：原油温度的瞬时改变率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时改变率取得最小值－1.答案：－17．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为________．解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，所以r2＝2Rh－h2，所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3，V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.当0<h<eq\f(4R,3)时，V′>0；当eq\f(4R,3)<h<2R时，V′<0.因此当h＝eq\f(4,3)R时，圆锥体积最大．答案：eq\f(4,3)R8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，当总利润最大时，则产量应定为________件．解析：设产品单价为a元，产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝eq\f(500,\r(x)).总利润y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.由y′＝0，得x＝25，当x∈(0，25)时，y′>0；当x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．答案：259.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400m2的矩形休闲广场，依据设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为2m．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出最大面积．解：设休闲广场的长为xm，则宽为eq\f(2400,x)m，绿化区域的总面积为S(x)m2.则S(x)＝(x－6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2400,x)－4))＝2424－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋6×\f(2400,x)))＝2424－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))，x∈(6，600)．所以S′(x)＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3600,x2)))＝eq\f(－4（x＋60）（x－60）,x2).令S′(x)>0，得6<x<60；令S′(x)<0，得60<x<600.所以S(x)在(6，60)上是增函数，在(60，600)上是减函数，所以当x＝60时，S(x)取得极大值，也是最大值，所以S(x)max＝S(60)＝1944.所以当休闲广场的长为60m，宽为40m时，绿化区域的总面积最大，最大面积为1944m2.10．某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．假如降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件．由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6.若记一个星期的商品销售利润为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0，21]．(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)＝－18(x－2)(x－12)且f′(x)的改变状况如下表：x0(0，2)2(2，12)12(12，21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值极大值0所以当x＝12时，f(x)取得极大值．因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，f(21)＝0，所以定价为30－12＝18(元)，能使一个星期的商品销售利润最大．[B实力提升]11．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2 B．πr2C．4πr2 D．eq\f(1,2)πr2解析：选A.设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12eq\r(r2－req\o\al(2,1))＝4πr1eq\r(r2－req\o\al(2,1)).所以S＝4πeq\r(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1)).令(r2req\o\al(2,1)－req\o\al(4,1))′＝0得r1＝eq\f(\r(2),2)r.此时S＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)r))\s\up12(2))＝4π·eq\f(\r(2),2)r·eq\f(\r(2),2)r＝2πr2.12．某银行打算新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.0486，且假设银行汲取的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0，0.0486)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()A．0.0162 B．0.0324C．0.0243 D．0.0486解析：选B.依题意，存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，贷款的收益是0.0486kx2，其中x∈(0，0.0486)．所以银行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，则y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．当0<x<0.0324时，y′>0；当0.0324<x<0.0486时，y′<0.所以当x＝0.0324时，y取得最大值，即当存款利率为0.0324时，银行获得最大收益．13.如图，已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．解：设AD＝2x(0<x<2)，则A(x，0)，AB＝y＝4－x2，所以矩形面积为S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x＝eq\f(2,\r(3))或x＝－eq\f(2,\r(3))(舍去)．当0<x<eq\f(2,\r(3))时，S′>0；当eq\f(2,\r(3))<x<2时，S′<0，所以，当x＝eq\f(2,\r(3))时，S取得最大值，此时S最大值＝eq\f(32\r(3),9).即矩形的长和宽分别为eq\f(8,3)，eq\f(4\r(3),3)时，矩形的面积最大．14．(选做题)为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在主动行动，通过技术改造来提高生产实力，降低能耗从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过预料和计算，得到生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满意：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝eq\f(a,2)时，y＝a3，并且技术改造投入比率为eq\f(x,2（a－x）)∈(0，t]，t为常数且t∈(0，2]．(1)求y＝f(x)的解析式及定义域；(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．解：(1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，当x＝eq\f(a,2)时，y＝a3，即a3＝k·eq\f(a,2)·eq\f(a2,4)，解得k＝8.所以f(x)＝8(a－x)x2.因为0＜eq\f(x,2（a－x）)≤t，所以函数的定义域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2at,2t＋1))).(2)因为f(x)＝8(a－x)x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(2at,2t＋1)))，所以f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍去)或x＝eq\f(2a,3).当0＜x＜eq\f(2a,3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上是增函数；当x＞eq\f(2a,3)时，f′(x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，＋∞))上是减函数．所以x＝eq\f(2a,3)为函数f(x)＝8(a－x)x2的极大值点．当eq\f(2at,2t＋1)≥e