2025版高中数学课时作业9等差数列的性质及简单应用新人教A版必修5

PAGE1-课时作业9等差数列的性质及简洁应用[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，则a40等于()A．40B．70C．80D．90解析：方法一：因为a20＝a10＋10d，所以50＝30＋10d，所以d＝2，a40＝a20＋20d＝50＋20×2＝90.方法二：因为2a20＝a10＋a30，所以2×50＝30＋a30，所以a30＝70，又因为2a30＝a20＋a40，所以2×70＝50＋a40，所以a答案：D2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10等于()A．3B．4C．5D．12解析：a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a∴由题设知6(a4＋a10)＝24，∴a4＋a10＝4.答案：B3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，则a1＝()A．－1B．0C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)解析：a2＋a4＝2a3＝2，又a2a4＝eq\f(3,4)，且a4>a2，解得a2＝eq\f(1,2)，a4＝eq\f(3,2)，∴d＝eq\f(1,2)，∴a1＝0.答案：B4．在等差数列{an}中，已知a5＋a10＝12，则3a7＋a9A．12B．18C．24D．30解析：由已知得：a5＋a10＝2a1＋13d所以3a7＋a9＝3(a1＋6d)＋a1＋8d＝4a1＋26d＝2(a5＋a答案：C5．下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法．p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列eq\b\lc\{\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的是()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，所以an－an－1＝d>0，命题p1正确．nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值状况有关．故数列{nan}不肯定递增，命题p2不正确．对于p3：eq\f(an,n)＝eq\f(a1,n)＋eq\f(n－1,n)d，所以eq\f(an,n)－eq\f(an－1,n－1)＝eq\f(－a1＋d,nn－1)，当d－a1>0，即d>a1时，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))递增，但d>a1不肯定成立，则p3不正确．对于p4：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0.所以数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．综上，正确的命题为p1，p4.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.解析：∵数列{an}，{bn}都是等差数列，∴数列{an＋bn}也构成等差数列，∴2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，∴2×21＝7＋a5＋b5，∴a5＋b5＝35.答案：357．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________.解析：本题考查等差数列的性质及通项公式．∵a1＋a3＋a5＝3a3＝105，∴a3＝35.∵a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a4＝33，∴公差d＝a4－a3＝－2.∴a20＝a4＋16答案：18．已知{an}为等差数列，a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则该数列的正数项共有________项．解析：∵a5＋a7＝2a6＝4，a6＋a8＝2a∴a6＝2，a7＝－1，∴d＝a7－a6＝－3，∴an＝a6＋(n－6)d＝2＋(n－6)×(－3)＝－3n＋20.令an≥0，解得n≤eq\f(20,3)，即n＝1,2,3，…，6，故该数列的正数项共有6项．答案：6三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知成等差数列的四个数之和为26，其次个数与第三个数之积为40，求这四个数．解析：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.10．首项为a1，公差d为正整数的等差数列{an}满意下列两个条件：(1)a3＋a5＋a7＝93；(2)满意an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值．解析：因为a3＋a5＋a7＝93，所以3a5＝93，所以a5所以an＝a5＋(n－5)d>100，所以n>eq\f(69,d)＋5.因为n的最小值是15，所以14≤eq\f(69,d)＋5<15，所以6eq\f(9,10)<d≤7eq\f(2,3)，又d为正整数，所以d＝7，a1＝a5－4d＝3.[实力提升](20分钟，40分)11．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1·a2·a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为()A．105B．120C．90D．75解析：由等差数列的性质得a1＋a2＋a3＝3a2＝15，所以a2又因为a1·a2·a3＝80，所以a1·a3＝16，所以(a2－d)(a2＋d)＝16，即(5－d)(5＋d)＝16，所以d2＝9，又因为d>0，所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d答案：A12．已知数列{an}满意aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4，且a1＝1，an＞0，则an＝________.解析：由已知aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝4，所以{aeq\o\al(2,n)}是等差数列，且首项aeq\o\al(2,1)＝1，公差d＝4，所以aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an＞0，所以an＝eq\r(4n－3).答案：eq\r(4n－3)13．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R且m≠n)的四个根组成首项为eq\f(1,4)的等差数列，求m＋n的值．解析：设x2－x＋m＝0的两根为x1，x2，x2－x＋n＝0的两根为x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1.不妨设数列的首项为x1，则数列的第4项为x2，所以x1＝eq\f(1,4)，x2＝eq\f(3,4)，公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),3)＝eq\f(1,6).所以中间两项分别是eq\f(5,12)，eq\f(7,12).所以x1x2＝eq\f(3,16)，x3x4＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12).所以m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(31,72).14．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？假如有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．解析：首项