2024高考数学一轮复习课后限时集训62随机事件的概率文北师大版

PAGE1-课后限时集训62随机事务的概率建议用时：45分钟一、选择题1．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37A[取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为eq\f(53,100)＝0.53.故选A.]2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲获胜的概率是eq\f(1,3)，则甲不输的概率为()A.eq\f(5,6)B.eq\f(2,6)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)A[甲不输的概率P＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故选A.]3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事务是()A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球D[对于A：事务：“至少有一个黑球”与事务：“都是黑球”可以同时发生，∴A不正确；对于B：事务：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但肯定会有一个发生，∴这两个事务是对立事务，∴B不正确；对于C：事务：“至少有一个黑球”与事务：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球与一个黑球，∴C不正确；对于D：事务：“恰有一个黑球”与事务：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是红球，∴两个事务是互斥事务但不是对立事务，∴D正确．]4．依据某医疗探讨所的调查，某地区居民血型的分布为O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有一血液为A型病人须要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为()A．15% B．20%C．45% D．65%D[∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.现有能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.]5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，依据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45D[利用统计图表可知在区间[25,30)上的频率为1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15,20)上的频率为0.04×5＝0.2，故所求二等品的概率为0.45.]二、填空题6．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________．0.74[由表格可得至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.]7．(2024·西安模拟)口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是________．0.3[从口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事务是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事务，所以摸出黑球的概率是1－0.38－0.32＝0.3.]8．袋中有红球和白球若干(都多于2个)，从中随意取出两个小球，设恰有一个红球的概率为p1，没有红球的概率为p2，则至多有一个红球的概率为________．p1＋p2[设“恰有一个红球”为事务A，“没有红球”为事务B.“至多有一个红球”为事务C，则C＝A∪B.从而P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝p1＋p2.]三、解答题9．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．商品顾客人数甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解](1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为eq\f(200,1000)＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为eq\f(100,1000)＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．10．某保险公司利用简洁随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解](1)设A表示事务“赔付金额为3000元”，B表示事务“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事务“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1000＝100(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率是P(C)＝0.24.1．(2024·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7B[设“只用现金支付”为事务A，“既用现金支付也用非现金支付”为事务B，“不用现金支付”为事务C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.]2．(2024·武汉模拟)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．454石B[由题意可知这批米内夹谷约为1534×eq\f(28,254)≈169石．故选B.]3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地随意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为eq\f(7,15)，取得两个绿球的概率为eq\f(1,15)，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．eq\f(8,15)eq\f(14,15)[由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事务，取得两个同色球，只需两互斥事务有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).由于事务A“至少取得一个红球”与事务B“取得两个绿球”是对立事务，则至少取得一个红球的概率为P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).]4．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/(人)x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)设A表示事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”．将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4).因为A＝A1＋A2＋A3，且A1，A2，A3是互斥事务，所以P(A)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).1．某校高三(1)班50名学生参与1500m体能测试，其中23人成果为A，其余人成果都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是()A．0.14 B．0.20C．0.40 D．0.60A[抽得A的概率为eq\f(23,50)，则抽得C的概率为1－eq\f(23,50)－0.4＝0.14，故选A.]2．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年6月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．[解](1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为：降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f