新课标2025版高考数学二轮复习第三部分教材知识重点再现回顾4平面向量学案文新人教A版

PAGE1-回顾4平面对量[必记学问]平面对量共线的坐标表示的两种形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，此形式对随意向量a，b(b≠0)都适用．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，则a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).须要留意的是可以利用eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)来判定a∥b，但是反过来不肯定成立．向量法证明三点共线(1)对于eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1，反之，也成立．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)·(y3－y1)．同样地，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线．平面对量的数量积已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))两向量的夹角与数量积设两个非零向量a与b的夹角为θ，则当θ＝0°时，cosθ＝1，a·b＝|a||b|；当θ为锐角时，cosθ>0，a·b>0；当θ为直角时，cosθ＝0，a·b＝0；当θ为钝角时，cosθ<0，a·b<0；当θ＝180°时，cosθ＝－1，a·b＝－|a||b|.[必会结论]三点共线的判定A，B，C三点共线⇔eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线；向量eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中三终点A，B，C共线⇔存在实数α，β使得eq\o(PA,\s\up6(→))＝αeq\o(PB,\s\up6(→))＋βeq\o(PC,\s\up6(→))，且α＋β＝1.三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O为△ABC的重心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O为△ABC的垂心⇔eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O为△ABC的内心⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.[必练习题]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m)，且(a＋b)∥(a－b)，则实数m的值为()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选D.因为a＝(2，1)，b＝(－1，m)，所以a＋b＝(1，1＋m)，a－b＝(3，1－m)．又因为(a＋b)∥(a－b)，所以1×(1－m)＝(1＋m)×3，解得m＝－eq\f(1,2).故选D.2．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，则向量eq\o(CA,\s\up6(→))在向量eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影为()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析：选D.依题意知，圆心O为BC的中点，即BC是△ABC的外接圆的直径，AC⊥AB.又AO＝OB＝AB＝1，因此∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(CA,\s\up6(→))在eq\o(CB,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(CA,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，故选D.3．若两个非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：选A.因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2，所以a·b＝0.又|a＋b|＝2|b|，所以|a＋b|2＝4|b|2，|a|2＝3|b|2，所以|a|＝eq\r(3)|b|，cos〈a＋b，a〉＝eq\f(（a＋b）·a,|a＋b||a|)＝eq\f(a2＋a·b,|a＋b||a|)＝eq\f(|a|2,2|b||a|)＝eq\f(|a|,2|b|)＝eq\f(\r(3),2)，故a＋b与a的夹角为eq\f(π,6).4．已知单位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝eq\f(π,3)，若向量a＝e1－2e2，则|a|＝