北师大版高中数学必修5全本教案

第1章数列

1、1、1数列得概念与简单表示法（一）

教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列与函数之间得关系；了解数

列得通项公式，并会用通项公式写出数列得任意一项；对于比较简单得数

歹！I,会根据其前几项得特征写出它得一个通项公式、

教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用、

教学难点：根据一些数列得前几项，抽象、归纳出数列得通项公式、

教学过程：

［合作探究］

折纸问题

师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试

试（学生们兴趣一定很浓）、

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了、

师您知道这就是为什么吗？我们设纸原来得厚度为1长度单位，面积为1面

积单位，随依次折得次数，它得厚度与每层纸得面积依次怎样？

生随着对折数厚度依次为：2,4,8,16,…，256,...；

随着对折数面积依次为上,工,...,」一，...、

24816256

生对折8次以后，纸得厚度为原来得256倍，其面积为原来得「一，再折下

256

去太困难了、

师说得很好，随数学水平得提高，我们得思维会更加理性化、请同学们观察

上面我们列出得这一列一列得数，瞧它们有何共同特点？

生均就是一列数、

生还有一定次序、

师它们得共同特点：都就是有一定次序得一列数、

［教师精讲］

1、数列得定义：按一定顺序排列着得一列数叫做数列、

注意：

（1）数列得数就是按一定次序排列得，因此，如果组成两个数列得数相同而排

列次序不同，那么它们就就是不同得数列；

（2）定义中并没有规定数列中得数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重

复出现、

2、数列得项：数列中得每一个数都叫做这个数列得项、各项依次叫做这个数列

得第1项（或首项），第2项，…，第"项，…、同学们能举例说明吗？

生例如，上述例子均就是数列，其中①中，“2”就是这个数列得第1项（或首项），

“16”就是这个数列中得第4项、

3、数列得分类：

1）根据数列项数得多少分：

有穷数列：项数有限得数列、例如数列I，2,3,4,5,6就是有穷数列、

无穷数列：项数无限得数列、例如数列1,2,3,4,5,6…就是无穷数列、

2）根据数列项得大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它得前一项得数列、

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它得前一项得数列、

常数数列：各项相等得数列、

摆动数列：从第2项起，有些项大于它得前一项，有些项小于它得前一项得数

列、

请同学们观察：课本P33得六组数列，哪些就是递增数列、递减数列、常数数

列、摆动数列？

生这六组数列分别就是⑴递增数列，（2）递增数列，（3）常数数列，（4）递减数列，

（5）摆动数列，（6）1、递增数列，2、递减数列、

［知识拓展］

师您能说出上述数列①中得256就是这数列得第多少项？能否写出它得第n

项？

生256就是这数列得第8项，我能写出它得第w项，应为。*2"、

［合作探究］

同学们瞧数列2,4,8,16,....256,…①中项与项之间得对应关系，

项2481632

序号12345

您能从中得到什么启示？

生数列可以瞧作就是一个定义域为正整数集N*（或它得有限子集｛1,2,3,....

”｝）得函数a.=f（”），当自变量从小到大依次取值时对应得一列函数值、反过来，

对于函数y=f（x）,如果f（i）（i=l、2、3、4...）有意义，那么我们可以得到一个数

列f⑴,f（2）,f（3）,…,

师说得很好、如果数列｛“■｝得第〃项。■与n之间得关系可以用一个公式来表

示，那么这个公式就叫做这个数列得通项公式、

3、例题讲解：

例1根据下面数列｛"J得通项公式，写出前5项：

n

%=--；（2x=（-ir.H

（1）M+1

变式训练1根据下面数列得通项公式，写出前5项:

In

⑴4=2"+1⑵4

(In-l)(2n+1)

例2写出下面数列得一个通项公式,使它得前4项分别就是下列各数:

1111

(1)1,3,5,7；(2)-1x22733x44x5

变式训练2：根据下面数列得前几项得值,写出数列得一个通项公式:

246810

(1)3,5,9,17,33,(2)15'35'63'99''：

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)2,-6,12,-20,30,一42,……、

2

例3数列｛a”｝中，an=n-5n+4.

⑴18就是数列中得第几项？

⑵〃为何值时，凡有最小值？并求最小值.

变式训练3：已知数列｛呢｝得通项公式斯=--—(〃GN*),那么」一就是

n(n+2)120

这个数列得第几项？

思考：就是不就是所有得数列都存在通项公式？根据数列得前几项写出得

通项公式就是唯一得吗？

4、小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用、

1、1、2数列得函数特性

学习目标：

理解数列得概念与几种简要得表示方法，了解数列就是一种特殊函数，并

能以函数角度给数列分类。

学习过程：

一、课前准备

自主学习：数列概念及相关知识，通项公式

阅读P-通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列

得特性。

、新课导入

①递增数列：_______________________________________

②递减数列：_______________________________________

③常数数列：_______________________________________

自主测评

1、下列结论中正确得就是（）

①在直角坐标系中表示数列得图像都就是一群孤立得点

②任何一个数列都有无数次

③数得通项公式存在且唯一

A、①②B、②③C、①②③D、①

1112

2、己知数列一,一,一,一得一个通项公式为（）

6323

1nn

A、一B、一C、一

n63

3、判断下列数列得增减性（）

②-3,-1,1,3,5,7

③-3,2,-4,-5,1,6,-2④-2,-2,-2,-2...

⑤0,1,0,1,0,1

探究：就是不就是所有得数列都有增减性

三、巩固应用

例3：判断下列无穷数列得增减性

（1）2,1,0,-1,3-n,-⑵—二,KK,」-,KK

234n+1

例4：作出数列一!」,—』,L,KK,（—3",…得图像，并分析数列得增

248162

减性。

2、已知数列｛%｝中；a=3,g=6,且。“+2=-an,则数列得第100项

为

2

3、已知数列｛%｝中，an=n-2/7+3,则数列4就是增还就是减数列

4、已知数列｛a“｝中，an=vr-7»+6,求数列｛。“｝得最小项

四、总结提升

1、探究结论

2、数列与函数有什么关系？

五、能力拓展

填空题

1、数列1,—1,卜1,1,得通项公式得就是o

212

2、1,―,…得一个通项公式就是。

325

3、在某报《自测健康状况》得报道中，自测血压结果与相应年龄得统计数据如

下表、观察表中数据得特点，用适当得数填入表中空白（—）内、

年龄（岁）3035404550556065

收缩压（水银柱毫米）110115120125130135(.____)145

舒张压（水银柱毫米）707375788083(____)88

4已知数列｛4｝,%,=——（〃eN+）,那么一二就是这个数列得第______项、

〃（川+2）120

5、已知数列｛aj得图像就是函数丫=工图像上，当x取正整数时得点列，则其

x

通项公式为O

6、已知数列｛4｝,4=21_1072+3,它得最小项就是0

7、已知数列｛an｝满足q=—2,〃1=2+^，则

1一4

8、如图，图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十

九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样得方式构造图形，设第〃个图形包

含个“福娃迎迎”，贝UF5+1）—，（〃）=.（答案用“得解

析式表示）

赛

京京阵

兽

cn（2）

二.解答题

9、已知｛%｝满足巧=3,an+i=2an+\,试写出该数列得前5项，并用观察法

写出这个数列得一个通项公式、

10、已知数列｛4｝中，q=3,4=21,通项a“就是项数”得一次函数，

①求｛4｝得通项公式，并求生005；

②若｛包｝就是由4,%，4，/，，组成，试归纳他“｝得一个通项公式、

11、如果一个数列从第2项开始，每一项与它得前一项得与等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等与数列。已知等与数列｛%｝得第一项为2,公与为7,

求这个数列得通项公式a„o

1、2、1等差数列(一)

教学要求：了解公差得概念，明确一个数列就是等差数列得限定条件，能

根据定义判断一个数列就是等差数列；正确认识使用等差数列得各种表示

法，能灵活运用通项公式求等差数列得首项、公差、项数、指定得项、

教学重点：等差数列得概念，等差数列得通项公式、

教学难点：等差数列得性质、

教学过程：

由学生观察分析：

4,5,6,7,8,9,10(1)

3,0,-3,-6,-9,••••(2)

1/10,2/10,3/10,4/10,...(3)

1,1,1,1,......(4)

瞧这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间得关系，

由学生归纳与概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项得差都

等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数得特点)。

［等差数列得概念］

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它得前一项得差等

于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列得公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组

等差数列，它们得公差依次就是1,-3,-0、1,0。

注意：⑴公差d一定就是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵对于数列｛｝，若4一。,一="(4就是与〃无关得数或字母)，

nGN,则此数列就是等差数列，，为公差；

(3)若公0,则该数列为常数列.

［等差数列得通项公式］

提问：对于以上得等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？

⑴、我们就是通过研究数列｛4｝得第n项与序号n之间得关系去写出数列得通

项公式得。下面由同学们根据通项公式得定义，写出这四组等差数列得通项公

式。

由学生经过分析写出通项公式：

①猜想得到这个数列得通项公式就是+3

②猜想得到这个数列得通项公式就是%=3+(-3)(n-l)

③猜想得到这个数列得通项公式就是4=0.1"

④猜想得到这个数列得通项公式就是凡=1

⑵、那么，如果任意给了一个等差数列得首项为与公差d,它得通项公式就是

什么呢？

引导学生根据等差数列得定义进行归纳：

CL?一=d,

(n-1)个等式1生一%=%

一=d,

I...

所以的=%+2，

=〃2+d,a?~a?+d=(a1+d)+d=a+2d,

[4—a?+d,%=(I3+d=(a1+2d)+d=a+3d,

思考：那么通项公式到底如何表达呢？

得出通项公式：以。1为首项，d为公差得等差数列｛2｝得通项公式为：

an=ax+(“_l)d或an=am+(n-nt)d

也就就是说，只要我们知道了等差数列得首项%与公差d,那么这个等差数

列得通项a,就可以表示出来了。

选讲：除此之外，还可以用迭加法与迭代法推导等差数列得通项公式：

(迭代法)：｛an｝就是等差数列，则有

an—an_x+d—an_2+d+d=an_2+2d=an_3+d+2d=an_3+3d=.......

=+(〃_l)d

(迭加法)：｛2｝就是等差数列，

an~2一1=d,

an-i~~an-2=d,

an-2—an-3=/

—=d,

两边分别相加得可—/—l）d,

所以a“=%+（〃—l）d

2、教学等差数列得通项公式：an=%+（〃—l）d【或凡=0”,+（〃一机）d（变

式：—"「册）】

m-n

3、例题讲解：

例1、求等差数列0,-3---7,……得通项公式，并判断一20就是不就

2

是这个等差数列得项？如果就是，就是第几项？如果不就是，说明理由、（教

师引导f学生练―教师点评）

练：100就是不就是等差数列2,9,16,……得项？如果就是，就是第几

项？如果不就是，说明理由、

例2、已知数列｛*｝得通项公式=〃〃+q,其中p、q就是常数，那么

这个数列就是否一定就是等差数列？若就是，首项与公差分别就是什么？

注：数列｛。“｝为等差数列得充要条件就是它得通项公式为a”=〃/+q,此

式又称为等差数列得第3通项公式、

例3、在等差数列｛："｝中，若。］+。6=9,。4=7,求生，。9、

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q,则，am+an=ap+aq

4、小结：等差数列得概念、通项公式，等差数列得性质及其应用、

三、巩固练习：

1、在等差数列｛4｝中，已知。5=10,。12=31，求首项生、公差d及q5、

2、作业：教材P46页A组第1题③④

1、2、2等差数列（二）

教学要求：明确等差中项得概念；进一步熟练掌握等差数列得通项公式及

推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中得等差数列、

教学重点：等差数列得定义、通项公式、性质得理解与应用、

教学难点：灵活应用等差数列得定义及性质解决一些相关问题、

教学过程：

一'复习准备：

1、练习：在等差数列｛q｝中，若%=24=—13,求公差d及％「

2、提问：如果三角形得三个内角得度数成等差数列，那么中间得角就是

多少度？

二、讲授新课：

1、教学等差中项得概念:

如果在。与匕中间插入一个数A,使a,A,6成等差数列数列，那么A应

满足什么条件？

由定义得A-a=b-A,即：4反之，若4贝UA-OH-A、

22

由此可可得：4=生心。。,仇成等差数列、

2

例1：求下列两个数得等差中项①5+项,5—应；②a+2b,3a-4b、

2、生活中得等差数列：

例2、某市居民生活用水得计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，

则统一收取水费6元，否则超过部分则按1、35元/吨得标准收取水费、如

果己知某户居民该月用水量为18吨，问她此月需支付多少水费？（学生自

练一学生演板一教师点评）

例3、某地区1997年底沙漠面积为9x105〃加2、地质工作者为了解这个地

区沙漠面积得变化情况，从1998年开始进行了连续5年得观测，并在年底

将观测结果记录如下表：

观测该地区沙漠面积比原有面积增加

年份数

hm2

2000

1998

4000

1999

6001

2000

7999

2001

10001

2002

请根据上表所给得信息进行预测、

（1）如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区得沙漠面积将大约变

为多少hm2?

(2)如果从2003年初开始，采取植树造林等措施，每年改造8000历川沙

漠，但沙漠面积仍按原有速度增加，那么到哪一年年底，这个地区得沙漠

面积将小于9xlO2Am2?

3、小结：等差中项得概念，等差数列得公差、首项、项数及通项公式间

得关系，等差数列得性质及其应用、

三、巩固练习：

1、有30根水泥电线杆，要运往1000m远得地方开始安装，在1000m处

放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车

完成这项任务，这辆汽车得行程共有多少km?

2、作业：教材P46第4、5题

等差数列性质

教学目标

知识与技能：掌握等差数列概念、通项公式、性质

过程与方法:梳理知识点，以填空得形式复习，习题巩固

情感、态度与价值观:培养与提高转化、分析问题与解决问题得能力、

教学重点掌握等差数列得通项公式灵活运用性质解决相关问题、

教学难点选择合适得方法，解决问题、

教学方法“三学一教”四步教学法

教学课时一课时

教学手段多媒体辅助教学

教学过程

一、明标自学

知识梳理

1、等差数列得定义：an-an_x=d(d为常数)(九22)；

2、等差数列通项公式：

4=%+(n-l)d=dn+%-N*)，首项：％,公差：d,末项：a”

a—a

推广：a=a+｛n-m)d.从而d一j

nmn-m

3、等差中项

(1)如果。，A,8成等差数列，那么A叫做a与匕得等差中项.即：A=—

2

或2A=a+Z?

⑵等差中项：数列｛an｝就是等差数列

o2。”=4一1+an+l(〃N2)o2a„+1=an+an+2

4、等差数列得判定方法

(1)定义法：若4—4_]=d或a“+i=d(常数"eN*)。｛q｝就是等

差数列.

⑵等差中项：数列｛aj就是等差数列

=2a“=a“一]+an+1(〃N2)o2an+l=an+atl+2.

(3)数列｛aj就是等差数列oan=5+6(其中左/就是常数)。

5、等差数列得证明方法

定义法：若=d或a“+i—4=d(常数〃eN*)。｛a“｝就是等差数列.

6、提醒：

(1)等差数列得通项公式及前〃与公式中，涉及到5个元素：％、d、n、

风及S“，其中％、♦称作为基本元素。只要已知这5个元素中得任意3个，

便可求出其余2个，即知3求2。

(2)设项技巧：

①一般可设通项a”=a1+(n-l)t/

②奇数个数成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…(公差为d)；

③偶数个数成等差，可设为…，a—3d,a—d,a+d,a+3d,…(注意；公

差为2d)

7、等差数列得性质：

(1)当公差dwO时，

等差数列得通项公式%=%+(〃-l)d=威+q-d就是关于〃得一次函数，且斜

率为公差♦；(2)若公差d〉0,则为递增等差数列，若公差d<0,则为递减

等差数列，若公差d=0,则为常数列、

(3)当机+九=p+4时，则有a,”+a“=a?+4,特别地，当m+〃=2。时，则有

am+an=2ap,

注：4+a”=4+=q+4Zn2=…，

⑷若｛叫、也｝为等差数列，则｛现,+耳,｛4%+4〃｝都为等差数列

(5)数列｛。"｝为等差数歹!],每隔k(keN*)项取出一项(金,4+xam+2k,am+3k,•••)

仍为等差数列、

二、合作释疑

例1.(1)已知数列8,a,2,b,c,—7就是等差数列，求未知项a,6,c得值、

解：由等差中项公式得2a=2+8=10,a=5,d=—3,b——l,c=—4

(2)已知等差数列｛-｝得前3项依次为a—l,a+1,2a+3,求此数列得通项服

解：由等差中项公式得2(a+l)=a—1+2。+3,得a=0,所以等差数列｛为｝

得前3项依次为-1,1,3,所以d=2,通项公式为

x

61n——1+(〃—1)2=2n—3

(3)等差数列｛4｝中，4与&,得等差中项为5，%与%得等差中项为7,

求此数列得通项an

解：由题知。2+。6=1°，。3+。7=14,则%=5,。5=7,d=2,所以

4+(〃-x

an=。4)2=5+2"—8=2"-3

例2、(1)等差数列｛斯｝中，已知02+03+410+ail=36,则。5+。8=_18

+aa

⑵在等差数歹！J｛/｝中，若a4t+0+4o=12q,则

24_

2al丁a亍__

三、点拨拓展

例3、(1)首项为一24得等差数列，从第10项起开始为正数，则公差得取值

24

范围就是d〉——

9

24

解：%=—24,tZjg=tZj+9d=—24+9d>0,d>

(2)如果等差数列｛a“｝得第5项为5,第10项为一5,那么此数列得第

一个负数项就是第项、

解：a=5,a=—5,d=-------=----=—2,

51l010-55

(3)若xWy,两个数列：x,ai，a?，.3，y与x，b\,62，by,64，y都就

是等差数列，求也二幺

Z?4

~b2

解：设两个数列得公差分别为4,心，贝U4=上二步,4=上口，所以

45

四、当堂检测

(1)等差数列｛凡｝中，已知外=;，?+。5=4,%=33,求〃得值

(2)在数列｛q｝中=2,且%+2—%=l+(-l)”,(〃eN+),则

邑00=------

(3)设八B=号万，利用课本中推导等差数列前〃项与得公式得方法，

可求得

A—5)+人—4)H---\-f(0)H---1~八5)+八6)得值为

(4)若关于x得方程%2一%+4=。与一一工+5=0,(〃/£H且awZ?)得四

个根组成首项为｝得等差数列，则a+8=

(5)已知在正整数数列｛6｝中，前〃项与满足：s“=!(a“+2)2

8

(1)求证：｛为｝就是等差数列；

(2)若2=；*-30求数列｛2｝得前〃项与得最小值、

六、课时小结

本节课主要复习巩固了等差数列得通项公式及性质，在例题讲解得过程

中还就是要留给学生时间思考，以学生为主，在练习中巩固知识点，不足之

处及时讲解、

七、教学反思

1、2、2等差数列得前〃项与(共三课时)

教材章节：§2.3课题：等差数列的前附项和

教学目标：

1.知识与技能：

掌握等差数列前囱项和公式及其推到方法；能够利用等差数列前«项和公式解

决一些简单的等差数列问题；熟练掌握等差数列中的五个基本量内,d,M,S”,久之间

的关系并能罅做到知三求二，培养学生应用函数与方程思想研究问题的能力.

2.过程与方法：

通过现察等差数列的特征,归纳出等差数列前附项和公式推导方法，并根据前附

项和公式的结构特点记住公式.

3.情感、态度与价值观：

培养学生观察、归纳的能力，培养学生应用函数与方程思想研究问题的能力.

重点*等差数列的前n项和公式.

难点：等差数列前抬项和的思路.

教学过程：

一'、导入新课

1.讲述高斯求I到100之与得故事.

2.问题：请同学们回答高斯算法得思路依据.

3.问题：1到100这100个数恰好就是正整数这个等差数列得前100项，

那么这种求与得方法就是否具有普遍性？对一般得等差数列就是否都可以按此

方法求其前〃项得与呢？

二、讲授新课

1.推导等差数列得前〃项与公式(倒序求与法)：

(1)定义：Sn=01+02++4

(2)公式：S”=/+a,++a.

Sa=a”+c*++%+/

相加，2S“=(q+an)+(tz,+/1升+(4[+q+(tij+q

,q+a.=+a”-i==a0-i+a?=q+an,••2S.=跃4+un)

VI

・・・S〃=5(Q]+%)知道首项、末项与项数，即可求s〃.

又an=4+(〃-l)d,

/.知道首项、公差与项数，即可求

2.公式：

公能一.S/(…)

公式二：Sn="q+.

说明：

(1)注意以上公式就是表示从等差数列第一项起至第〃项得连续有限项得

与，其实对于等差数列得任意项起得连续有限项得与都可以用以上公式求，只

就是注意首项与项数得变化.

(2)公式一反映得就是等差数列中项与项得关系；公式二反映得就是等差

数列中项数与项得函数关系，显然前〃项与就是项数〃得没有常数项得二次函

数，即

Sn+(。1—g)”•

(3)公式中各含有4个元素：Sn,n,%,a“VSn，Ti,a[,d,已知其中3个量,

即可求出另外1个；综合通项公式及前〃项与公式，已知其中3个量即可求出

另外2个量.

2

(4)利用函数观点研究=|«+(«1-1>

①当dHO时，S”为二次函数，且无常数项.

②当d〉0时，S”有最小值；题型：求S“得最值.

③当d<0时，S”有最大值.

3.等差数列得前〃项与得性质：

(1)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差，且公差为川d；

(2)若.项数为2%则

①S奇与品中项数相等，且品—5奇=加/；

二奇=a十%)=.

品|(«2+«2„)“向

若项数为2〃-1,则

①S奇一5偶=(〃_1)(—2)+〃2八一1二—l)d=an；

②5奇=加/S偶=(九一1)%；

③S2M=(2〃一1)%；

n.、

"1’,\n-1

—/(。2+a2n-2)

练习：已知项数为奇数得等差数列，S偶=33,S奇=44,求。中=11.

q

(3)｛j｝等差(须证明)应用见例7练习.

n

4.应用举例：

(1)五个量知三求二

例1.课本P43例1.

例2.课本P44例2.

例3.等差数列｛q｝中，4=1,4=—5125〃=—102,求公差d与项数〃.

解：选择公式S“=Q(q+a“).

-1022=|(l-512)=>n=A；.a4=-512；.d=匕一：-=-L71.

例4.课本P44例3.

例5.课本P45例4.

说明：由例5可以知道等差数列前〃项与就是项数〃得没有常数项得二次

函数，即=3"+〃.进一步可以让学生研究如果一个数列得前〃项与公式就

是Sn=3/+〃+l,那么这个数列就是不就是等差数列？如果不就是，那么在

什么情况下才就是等差数列？

例6.(1)已知在等差数列｛。“｝中，a6+a9+tz12+a15=20,求：S2。得值.

解：.+弓5=为+%,=4+a,。，又.4+包+%2+%5=2。，

a.+a,n=10.：.5,°=2。(%+。20);⑼

1zuzu2

(2)已知在等差数列｛a,J中，Slo=lOO,Sloo=1G求：Su。得值.

解：,**Sm—百0=45(4+々100)=—90，4+400=—2.

又+a110=Ojj+aloo=—2,/.=llCXa；%［。)=一］］。.

(3)已知数列｛2〃—23｝,求其前〃项与S“得最小值.

解：由已知知此数列就是等差数列，且q=—21,d=2,

S“=〃2_227?=S—11)2—121,；.(5").=—⑵.

(2)证明等差数列问题

例7.求证：｛q｝为等差数列O其前n项与S〃=A廿+3九

证明：(U)已知S„=Ari+Bn(AwO),

当〃=1时，q=，=A+jB

当且时，an=Sn—S4=2An-A+且〃=1符合

上式.

an—2An—A+B,nwN*

%M—%=2A（〃+1）—A+5—2An+A—5=2A（非零常数）

｛q,｝为公差非零得等差数列.

（n）已知｛4｝为公差非零得等差数列，不妨设首项为％,公差为d.

mi0几（几一l）dd2/d、人人d门

则Sn—H-----------——n+（q——）n,令A——0,

Bn=%—d—）

2

Sn=An+Bn（Aw0）.

综上可知，结论成立.

练习：证明：若数列｛4｝为等差数列=｛彳｝成等差.

证明：：数列｛4｝为等差数列

.。n｛n-V）dd2.d.

..Sn=a｛n+---------=-«+（。1一万）”

.S_dd

••'n+--）>

n22

••存—=工”+（%—彳）­彳（"_1）一（/-彳）=彳（常数），得证.

nn-122222

（3）综合问题

例8.等差数列｛叫中，S”为前〃项与，q=13应=，1，问此数列前多

少项得与最大？

方法一：由邑=S]]即q+a2+生=q+/+/++4]

得&+%++%]=0=4(%+,),

2

且d=-q——2,二.%+%=0,

又•:d=-2<0数列为减数列・・・%>0,/<0

・・・当〃=7时，S?最大，且S7=49.

方法二：(由S”为二次函数，对S”进行配方n取最接近对称轴得正整数时,

S”最大.)

由S3=S]]得3%+3(3=nq+；1"8q+52d=o

又I=13,得d=-2.

22

：.Sn=13n+"("；)"=-n+14n=—(〃-7)+49

当"=7时，S,最大，且S7=49.

方法三：同方法二，得d=-2

a>01315

，4=13+("—1)(—2)=15—2“令4"=>一<〃4—

4+1<022

n6N*〃=7时，S7最大,且S7=49.

方法四：图象法由S3=Su，知对称轴为“=7.所以S7最大.

小结：

(I)等差数列得单调性得应用：

a>0

(1)当q>0,d<0时，S.有最大值，n就是不等式1"得正整数解

&+i<。

时取得；

a<0

(2)当q<0,d>0时，S,有最大值，n就是不等式1"n得正整数解

口+1>0

时取得.

(II)当数列中有某项值为0时，〃应有两解.Sm=Sm+1^am+1=O.

例9.在等差数列｛叫中，a3=12,S12>0,513<C

(1)求公差d得范围;

(2)问S「S2，S3，，儿中哪个值最大？

解：

S12=H--------->0

(1)由题意得<几=13q+<0

13(l；Dd解之得，----<d<—3.

7

%=%+2d=12

(2)・・・d<0：.S〃为开口向下得二次函数.

方案1：利用函数求最值

n(n-l)d/c八n(n-V)dd5人

Sc—nd.H------------—一2d)H-------------——ri2+(12----

2222

51224