北师大版八年级数学上册全册各章节教学设计（含教学反思）

北师大版八年级数学上册全册教案

第一章勾股定理..................................................................2

1.1探索勾股定理.............................................................2

第1课时勾股定理（1）..................................................2

第2课时勾股定理（2）..................................................5

1.2一定是直角三角形吗......................................................8

1.3勾股定理的应用.........................................................11

第一章归纳总结.............................................................15

第二章实数.....................................................................19

2.1认识无理数..............................................................19

2.2平方根.................................................................23

第1课时算术平方根....................................................23

第2课时平方根........................................................26

2.3立方根.................................................................30

2.4估算...................................................................33

2.5用计算器开方...........................................................36

2.6实数...................................................................39

2.7二次根式...............................................................43

第1课时二次根式......................................................43

第2课时二次根式的四则运算...........................................47

第3课时二次根式的混合运算...........................................51

第二章归纳总结............................................................54

第三章位置与坐标..............................................................59

3.1确定位置................................................................59

3.2平面直角坐标系.........................................................62

第1课时平面直角坐标系................................................62

第2课时建立适当的平面直角坐标系.....................................65

第3课时建立适当的平面直角坐标系.....................................67

3.3轴对称与坐标变化.......................................................71

第三章归纳总结.............................................................74

第四章一次函数................................................................79

4.1函数....................................................................79

4.2一次函数与正比例函数...................................................81

4.3一次函数的图象.........................................................84

第I课时正比例函数的图象和性质.......................................84

第2课时一次函数的图象和性质.........................................87

4.4一次函数的应用..........................................................91

第1课时确定一次函数的表达式.........................................91

第2课时一个一次函数的应用...........................................94

第3课时两个一次函数的应用...........................................96

第四章章归纳总结...........................................................99

第五章二元一次方程组.........................................................106

5.1认识二元一次方程组....................................................106

5.2求解二元一次方程组....................................................109

第1课时代入法.......................................................109

第2课时加减法.......................................................112

5.3应用二元一次方程组——鸡兔同笼.......................................115

5.4应用二元一次方程组一一增收节支.......................................118

5.5应用二元一次方程组一一里程碑上的数...................................121

5.6二元一次方程与一次函数................................................124

5.7用二元一次方程组确定一次函数表达式...................................128

5.8三元一次方程组........................................................131

第五章归纳总结.............................................................135

第六章数据的分析..............................................................140

6.1平均数.................................................................140

第1课时平均数.......................................................140

第2课时加权平均数的应用............................................144

6.2中位数与众数..........................................................148

6.3从统计图分析数据的集中趋势............................................151

6.4数据的离散程度........................................................155

第1课时极差、方差和标准差...........................................155

第2课时方差的应用...................................................158

第六章归纳总结.............................................................161

第七章平行线的证明............................................................167

7.1为什么要证明...........................................................167

7.2定义与命题............................................................169

第1课时定义与命题...................................................169

第2课时定理与证明...................................................173

7.3平行线的判定..........................................................175

7.4平行线的性质..........................................................179

7.5三角形内角和定理......................................................183

第1课时三角形内角和定理的证明......................................183

第2课时与三角形外角有关的定理......................................186

第七章归纳总结...........................................................190

第一章勾股定理

1.1探索勾股定理

第1课时勾股定理（1）

了敦与目标

【知识与技能】

1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情

推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和

简单推理的意识及能力.

3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.

【过程与方法】

1.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.

2.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.

【情感态度】

1.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.

2.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和

探索精神.

【教学重点】

探索勾股定理.

【教学难点】

用测量和数格子的方法探索勾股定理.

：＞教与国iO呈

一、创设情境，导入新课

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三

边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存

在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关

系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾

股定理.出示投影1（章前的图文P1）,介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”

联系的信号.

【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关

的背景，激发学生的学习兴趣.

二、思考探究，获取新知

勾股定理

做一做：

1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方

之间有怎样的关系？与同伴交流.

【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形

的性质.

2.观察教材图1—2,正方形A中有个小方格，即A的面积为

个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.

正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得

出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、

C之间的面积之间有什么关系？

【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步

体会探索勾股定理.

归纳得出结论：SA+SB=SC.

3.教材图1一3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？

【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进

一步加强对勾股定理的理解.

4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面

所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.

【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让

学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得

到了提高.

议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言

将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.

【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名

的''勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那

么l+bJc?.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜

边为弦，这便是勾股定理的由来.

三、运用新知，深化理解

1.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若a=5,b=12,则c=.

2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3：4,斜边长是20,则两直

角边长分别是.

【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单

运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.

【答案】1.13；2.12,16

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？

【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完

善了学生对知识的梳理.

谱版书设计

第1课时探索勾定理

探究发现正方形C的面积的两种算法：

勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等

于斜边的平方.如果用U,。和｛,分别表示直角三

角形的两直角边和斜边，那么£IU.

1课后作业

完成练习册中本课时相应练习.

:,教学反思

本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习

以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.

第2课时勾股定理（2）

教学目标

【知识与技能】

1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生

的探究意识和合作交流的习惯.

2.掌握勾股定理和它的简单应用.

【过程与方法】

1.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合

的思想方法.

2.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.

【情感态度】

在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应

用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增

加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.

【教学重点】

能熟练应用拼图法证明勾股定理.

【教学难点】

用面积证勾股定理.

广,教学亘旌

一、创设情境，导入新课

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实

例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.

【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通

过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.

二、思考探究，获取新知

勾股定理的验证及简单运用

做一做：

1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你

能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.

【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.

2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补

后，得到教材P51—5、1—6图.

(1)将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来；

(2)教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表

示方式？与同伴进行交流.

(3)你能分别利用教材图1-5、1-6验证勾股定理吗？

【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理

的理解，又让学生体会到一题多解.

【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探

究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.

三、运用新知，深化理解

1.—•块长3m,宽2.2m的薄木板能否从一个长2m,宽1m的门框内通过，为

什么？

2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,

过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的

知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练

地将勾股定理应用到现实生活中去.

【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.

2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中aABC的N

C=90°,AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时

间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于aABC的斜边AB=5000米，AC=4000

米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.

解：由勾股定理得BU=AB2-AC2=52-42=9(km?)

即BC=3千米

飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20X3=540(千米

/时)

答：飞机每小时飞行540千米.

四、师生互动，课堂小结

通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？

【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相

应的数学模型.

；ili反书设计

第2课时验证勾股定理及其计算

一、拼图验证勾股定理二、例三、练习

1.(a+6)2=~a?;X4+c'2,BPa1+1)1=c2.

乙

2.c2=_X4+(6—a)2,即a2-\~b2=c'.

课后作业

完成练习册中本课时相应练习.

教学反思

了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需

要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数

学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.

1.2一定是直角三角形吗

教与目标

【知识与技能】

掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.

【过程与方法】

通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的

应用.

【情感态度】

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功

经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极

参与数学活动的意识.

【教学重点】

探索并掌握直角三角形的判别条件.

【教学难点】

运用直角三角形判别条件解题.

:,教与日ili呈

一、创设情境，导入新课

展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，

按老师的要求操作.

甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.

乙：握住第四个结.

丙：握住第八个结.

拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角•发现这个角

是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的

三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.

【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实

际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又

锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.

二、思考探究，获取新知

直角三角形的判别

做一做：

下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.这三组数都满足£+b2=c2吗？

2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形

吗？

3.如果三角形的三边长为a、b、c,并满足a'+bW?.

那么这个三角形是直角三角形吗？

【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结

论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.

【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a%bJc2,那么这个三角形

是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾

股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a?+b2=c2时，三角

形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直

的方法.

三、运用新知，深化理解

1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9,12,15;

(2)15,36,39;

(3)12,35,36;

(4)12,18,22.

2.已知△ABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为三角形，是最大角.

3.四边形ABCD中已知AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,且NDAB=90°,求这个

四边形的面积.

【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件

的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学

生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.

【答案】

1.(1)(2)两组能作为直角三角形的三边长.

V92+122=152,152+362=392.

这两个三角形都是直角三角形.

2.直角，ZA

3.解：连结BD,在aABD中，ZDBA=90°,BD2=AB2+AD2=32+42,BD=5.^EADBC

中，V52+12=132,即DB'+BCJDC?,.'.△DBC为直角三角形，ZDBC=90°,，S四边

ABCD=SADAB+SADBC=1X3X4+-X5X12=36.

22

四、师生互动，课堂小结

1.判断一个三角形是直角三角形的条件.

2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.

【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统

整理知识的好习惯.

ill反书设计

2一定是直角三角形吗

直角三角形的判定:例

如果三角形的三边长满足那

么这个三角形是直角三角形.

y课后作此

1.教材P10T11.3第2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

堂教学反思

这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不

难理解.当然勾股定理的理解是关键.

1.3勾股定理的应用

敦与目标

【知识与技能】

1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力

及渗透数学建模的思想.

【过程与方法】

在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学

生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提

高学生建立数学模型的能力.

【情感态度】

通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合

作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.

【教学重点】

探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决

生活中的实际问题.

【教学难点】

利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的

判定，解决实际问题.

教学亘旌

一、创设情境，导入新课

勾股定理的应用

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米,

至少需要多长的梯子？

日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.

【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡,

为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.

二、思考探究，获取新知

蚂蚁怎么走最近?

B

A

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱

的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬

行的最短路程是多少？（"的取值3）.

（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条

路线，你觉得哪条路线最短呢?

(2)如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线

是什么？你画对了吗？

(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短

路程是多少？

【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线

段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的

知识得到充分运用.

【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就

(1)A一一4'—B；(2)A一笈；

(3)4-i；(4)A-*B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

三、运用新知，深化理解

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6

千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上

午10：00,甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一

小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有

多长？

A

【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对

学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.

【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点,

则AB=2X6=12（千米）;乙到达C点,则AC=1X5=5（千米）.

在RtAABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙两人

相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一

个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒

最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.

（1）x2=l.52+22,X2=6.25,x=2.5

所以最长是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=L5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：这根铁棒的长应在2〜3米之间（包含2米、3米）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？

【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效

果.

1ili反书设计

3勾股定理的应用

创设情境*导入新课例学生展示：

合作探究，交流展示变式训练

,'课后作业

1.教材P14~151、2、3、4题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

「教学反思

这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加

强这方面的训练.

第一章归纳总结

敦与目标

【知识与技能】

掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实

际问题.

【过程与方法】

通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思

维思考问题，以便能熟练灵活运用.

【情感态度】

让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动

中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.

【教学重点】

用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.

【教学难点】

能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三

角形，根据勾股定理建立方程.

.’教学过程

一、知识框图，整体把握

勾股定理

（直接运用

勾解决简单

勾股定理勾股定理及如何判断

股＜实际问题

的应用一个三角形是直角三

定'解决较综

角形的综合运用

理〔合的问题

如何判断一个三角形

〔是直角三角形及应用,

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系

统地了解本章知识及它们之间的相互联系.

二、释疑解惑，加深理解

1.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙

地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、

三角函数等知识的学习提供了方法和依据.

说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.

2.勾股定理中的分类讨论

在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求

第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜

边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.

3.曲面两点间的距离问题

在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点

之间的距离，这是解决问题的关键.

三、典例精析，复习新知

例1一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将AABC折叠，使

点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.

MB)EB

【分析】设CD为x,•；AD=BD,，AD=8-x....在4ACD中，根据勾股定理列

出关于x的方程即可求解.

解：由折叠知，DA=DB.在RtAACD中，由勾股定理得AC，CD2=AD2,若设CD=xcm,

则AD=DB=(8-x)cm,代入上式得6：+x：'=(8-x)2,解得x=7/4=l.75(cm),即CD

的长为1.75cm.

例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C'处有一只蚊

子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.

(1)试确定壁虎所走的最短路线；

(2)若立方体礼盒的棱长为20cm,则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，

每分钟至少要爬行多少厘米？(保留整数)

【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图

形转化为平面图形.

解：(1)若把礼盒上的底面A'B'C'D'竖起来，如图所示，使它与立方

体的正面(ABB'A')在同一平面内，然后连接AC',根据“两点间线段最短”

知线段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.

(2)由(1)得，△ABC'是直角三角形，且AB=20,BC'=40.根据勾股定

22,222

理，得AC'=AB+BC=20+40,ACZ=44.7(cm),44.7+0.5=90(cm/min).

所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米(只入不

舍).

【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师

可以适当点评，便于学生熟练加以运用.

四、复习训练，巩固提高

1.已知在AABC中，ZB=90°,一直角边为a,斜边为b,则另一条直角边c

满足c2=.

2.在RtaABC中，ZC=90°，若a=12,c-b=8,贝Ub=，c=.

3.如图所示，在4ABC中，ZACB=90°,CD±AB,D为垂足,AC=2.1,BC=2.8.

求：(1)Z\ABC的面积；

(2)斜边AB的长；

(3)斜边AB上的高CD的长;

(4)斜边被分成的两部分AD和BD的长.

【答案】l.b2-a2；2.5,13；

3.解：(1)SBC=-ACXBC=-X2.1X2.8=2.94.

AA22

(2)AB2=AC2+BC2=2.l2+2.82=12.5,/.AB=3.5.

(3)由三角形的面积公式得LACXBC=9AB><CD,所以1X2.1X2.8=9X

2222

3.5XCD,解得CD=L68.

(4)在RtAACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

.\AD2=AC-CD2=2.1-1.682

=(2.1+1.68)(2.1-1.68)

=3.78X0.42=2XI.89X2X0.21

=22X9X0.214X0.21.

/.AD=2X3X0.21=1.26.

.\BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.

五、师生互动，课堂小结

本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的

解决问题吗？还有哪些不足？

【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的

地方，教师应及时补充和点拨.

.课后作业

1.复习题4.5第11、12题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

教学反思

勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候

是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.

第二章实数

2.1认识无理数

教字目标

【知识与技能】

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的必要性.

2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数.

3.会判断一个数是有理数还是无理数.

【过程与方法】

让学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和合作精神，通过辨别一

个数是有理数还是无理数，训练大家的思维判断能力.

【情感态度】

1.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗

的献身精神.

2.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.

【教学重点】

1.无理数的探索过程.

2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断.

【教学难点】

把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

：〉教学过程

一、创设情境，导入新课

同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪

些数呢？

在小学我们学过自然数、小数、分数.

在初一我们还学过负数.

对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从

小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范

围是否能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.

【教学说明】随着学习的深入，知识层次的提高，有理数的范围不能适应现

代生活的需要，这就要对数进行扩充，为学生学习新知识作准备.

二、思考探究，获取新知

无理数的概念

拼一拼：

请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认

真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

【教学说明】通过小组合作交流，动手操作得到一个大的正方形，学生非常

高兴地投入到活动中，调动了学生的积极性.

同学们展示，拼图的结果.

]]

□□一

下面大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什

么条件呢？

【教学说明】探索拼图的过程，对于学生理解大正方形的边长是a是不是有

理数很有帮助.

【归纳结论】因为『=1,2?=4,32=9,……整数的平方越来越大，所以a应

在1和2之间，故a不可能是整数，又(1/2)?=1/4,

(1/3)2=1/9,(2/3T=4/9,…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能

是分数.

做一做：

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.

【教学说明】结合图形，让学生进一步理解面积为2的正方形边长不是有理

数，而是一种新数.

同学们能不能确定一下面积为2的正方形的边长为a的大致范围呢？

请大家用计算器探索，用表格的形式整理如下.

边长a面积S

1<a<21<S<4

1.4<<7<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2.0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

还可以进行下去吗？a是有限小数吗？

【教学说明】教师引导学生探索，让学生对这种不是有理数的新数有了初步

的认识，为下面引出无理数的概念打下了基础.

【归纳结论】像这种无限不循环小数就叫做无理数.

如：圆周率n=3.14159265…也是一个无限不循环小数,0.5858858885…（相

邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.

而3,45,0.38,0.17,它们都能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理

数.

三、运用新知，深化理解

1.判断题

（1）有理数与无理数的差都是有理数.

（2）无限小数都是无理数.

（3）无理数都是无限小数.

（4）两个无理数的和不一定是无理数.

2.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

0.351,-23,4.9•6•,3.14159,-5.2323332-,123456789101112-（由

相继的正整数组成）.

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

有理数集合无理数集合

【教学说明】学生自主完成，加深了对无理数的理解以及有理数与无理数的

区别所在，让学生的疑难及时得到矫正与强化.

【答案】1.（1）2）3）V；（4）V；

2.0.351,-2/3,4.96,3.14159；-5.2323332-,123456789101112…（由

相继的正整数组成）.

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你是如何判断一个数是有理数还是无理数？还有哪些困

难？

【教学说明】引导学生寻找知识点间的区别和联系，加深对易错点的理解，

有助于学生正确解题.

",板书设计

1认识无理数

有理数：整数和分数探允展示:

想一想：

（1）一个整数的平方投

一定是整数吗？影

做一做:户=5

（2）一个分数的平方区

一定是分数吗？

学生板演区

:'课后作业

1.习题2.2第1、2、3题.

2.完成练习册中本课时相应练习.

簿教学反思

这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有理数还是无理数.是数的

范围的又一次扩充，是很重要的一节.培养了学生分类归纳的思想.但对概念的理

解掌握一些同学还不是很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.

2.2平方根

第1课时算术平方根

教学目标

【知识与技能】

1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.

2.根据求一个数的算术平方根与平方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系

求某些非正负数的算术平方根.

【过程与方法】

经历求一个数的算术平方根与平方的互逆关系，提高学生逆向思维方法.

【情感态度】

学生动脑、动口，积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.

【教学重点】

了解算术平方根的概念，性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.

【教学难点】

理解算术平方根的概念、性质.

教学亘程

一、创设情境，导入新课

上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性,

掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限

循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在£=2中，2是有理数，而a是无理

数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课

我们就来一起研究这个问题.

【教学说明】从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他

们对算术平方根的求法与开平方这种互逆的关系形成了初步认识.

二、思考探究，获取新知

算术平方根的概念和求法.

下面请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：

E

。3

1

力

1C

O

请大家分析一下，X、y、z、w中哪些是有理数？哪些是无理数？

【教学说明】回忆勾股定理得到一个数的平方是一个正数，为下面给出算术

平方根的概念作了开端.

【归纳结论】因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,所以x、y、w

不是有理数，而是无理数，即x=C,y=V3,w=>/5.因为22=4.所以z=2,是

有理数.

若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫做a的算术平方根.

记为“指”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平

方根是0,即75=0.

下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.

例1求下列各数的算术平方根：

(1)900；(2)1；(3)49/64；(4)14.

通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运

算来求的？

【教学说明】学生很容易看出一个正数的平方与求算术平方根是互为逆运

算，有利于对算术平方根概念的理解.

【答案】解：(1)因为30J900,所以900的算术平方根是30,即的丽=30；

(2)因为1=1,所以1的算术平方根是1,即1=1；(3)因为(7/8)J49/64,

所以49/64的算术平方根是7/8,即相诬=7/8；(4)14的算术平方根是旧.

【归纳结论】在求算术平方根时是借助于平方来求的.在例题中的步骤采取

语言叙述和符号表示相互补充的做法，目的是让大家在计算中进一步体会一个正

数的平方与求算术平方根是互为逆运算，在以后的步骤中可以简化.

三、运用新知，深化理解

1.填空题.

(1)若一个数的算术平方根是石，则这个数是.

(2)49的算术平方根是.

(3)正数的平方为144/25,的算术平方根为.

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