北师大版八年级上册数学全册教案

数学八年级上册（教案）

北京师范大学出版社

2016年7月

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教学目标：

经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探究的习惯，进

一步体会数学与现实生活的紧密联系。

探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。

重点难点：

重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

难点：勾股定理的发现

教学过程

创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

出示投影1（章前的图文pl）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本

p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股定

理方面的贡献。

出示投影2（书中的P2图1—2）并回答：

观察图1-2,正方形A中有个小方格，即A的面积为个单位。

正方形B中有个小方格，即A的面积为个单位。

正方形C中有个小方格，即A的面积为个单位。

你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问：

图1—2中，A,B,C之间的面积之间有什么关系？

学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C,接着提出图1—1中的A.B,C的关系呢？

做一做

出示投影3（书中P3图1—4）提问：

1、图1—3中，A,B,C之间有什么关系？

2、图1—4中，A,B,C之间有什么关系？

从图1—1,1—2,1—3,1|一4中你发现什么？

学生讨论、交流形成共识后，教师总结：

以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。

议一议

图1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？

在同学的交流基础上，老师板书：

直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c

那么a+b=C

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长

为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？（回答是肯定的：成立）

想一想

这里的29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？只的是屏幕的款吗？那他指什么呢？

巩固练习

错例辨析：

△ABC的两边为3和4,求第三边

解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足〃=3?+4?=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题

ABC并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。

（2）若告诉AABC是直角三角形，第三边C也不一定是满足。=。2,题目中并为交待C是

斜边

综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得。

练习P7§1.11

作业

课本P7§1.12、3、4

§1.1探索勾股定理（二）

教学目标：

经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的

习惯。

掌握勾股定理和他的简单应用

重点难点：

重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理

难点：用面积证勾股定理

教学过程

创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题

我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义,

还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下

来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，并与

同学交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7图1—7）接着提问：大正方形的面积可

表示为什么？

2

,2,2\—tzZ?,4+c

（同学们回答有这几种可能：（1））（2）2）

在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。

ab.4+c2

/+〃=2请同学们对上面的式子进行化简，得到：

a2+2ab+b2=2ab+c2即a2+b2=c2

这就可以从理论上说明勾股定理存在。请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。

讲例

飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距

离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？

分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。如右图，图中AABC的=90°,AC=4000米，

AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的

CB的长，由于直角4ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB就可以通过勾股定理得出。

这里一定要注意单位的换算。

解：由勾股定理得一AC?=52-42=9（千米）

即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：

卷匕3=540（千米/小时）

答：飞机每个小时飞行540千米。

议一议

展示投影2（书中的图1—9）

观察上图，应用数格子的方法判断图中的三角形的三边长是否满足/+〃=T

同学在议论交流形成共识之后，老师总结。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

作业

1、课文P11§1.21、2

选用作业。

§1.2一定是直角三角形吗

教学目标：

知识与技能

1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；

2.进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模

型.

3.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.

情感态度与价值观

敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学

的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.

教学重点

运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会

辨析哪些问题应用哪个结论.

教学难点

会辨析哪些问题应用哪个结论.

课前准备

标有单位长度的细绳、三角板、量角器、题篇

教学过程：

复习引入：

请学生复述勾股定理；使用勾股定理的前提条件是什么？

已知AABC的两边AB=5,AC=12,贝ljBC=13对吗？

创设问题情景：由课前准备好的一组学生以小品的形式演示教材第9页古埃及造直角的方法.

这样做得到的是一个直角三角形吗？

提出课题：能得到直角三角形吗

讲授新课：

1.如何来判断？(用直角三角板检验)

这个三角形的三边分别是多少？(一份视为1)它们之间存在着怎样的关系？

就是说，如果三角形的三边为。，6,0,请猜想在什么条件下，以这三边组成的三角形是直角三角

形？(当满足较小两边的平方和等于较大边的平方时)

2.继续尝试：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

形.

满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.

4.例1一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角.工人师傅量

得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？

随堂练习：

1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；

⑶12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为三角形，是最大角.

3.四边形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且/ABC=900,求这个四边形的面积.

4.习题1.3

课堂小结：

1.直角三角形判定定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角

形.

2.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.

§1.3.勾股定理的应用

教学目标

教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.

能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.

情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.

2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学.

教学重点难点：

重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.

难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.

教学过程

1、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？

根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt^ABC中,

AB2=AC2+BC2=122+52=132：AB=13米.

所以至少需13米长的梯子.

2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆行柱的底面A点有一只蚂

蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？（口的值取3）.

（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最

短呢？（小组讨论）

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?你画对了吗？

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨

论，公布结果）

我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA'将圆柱的侧面展开（如

下图).

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

(l)A-A'-B；⑵A—B'一B；

(3)A-DfB；(4)A►B.

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.

②、做一做：教材14页。李叔叔随身只带卷尺检测AD,BC是否与底边AB垂直，也就是要检测Z

DAB=90°,ZCBA=90°.连结BD或AC,也就是要检测^DAB和4CBA是否为直角三角形彳艮显

然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题.

③、随堂练习

出示投影片

1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东

行走.1时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进.上午10：00,甲、乙两人相距多远？

2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入

一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.

解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10：00时甲到达B点，则AB=2X6=12(千米)；乙

到达C点，则AC=1X5=5(千米).

在Rt^ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.

2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的

长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.

解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.

(1)x2=1.52+22,x2=6.25,x=2.5

所以最长是2.5+0.5=3(米).

(2)x=1.5,最短是1.5+0.5=2(米).

答：这根铁棒的长应在2〜3米之间(包含2米、3米).

3.试一试(课本P15)

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水

面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇

垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

我们可以将这个实际问题转化成数学模型.

解：如图，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理可求得5

(x+l)2=x2+52,x2+2x+l=x2+25k/

解得x=12/

则水池的深度为12尺，芦苇长13尺.xZ-1

④、课时小结/

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题.我们从中可y

以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型.

⑤、课后作业

课本P25、习题1.52

第二章实数

§2.1认识无理数（一）

教学目标

（一）知识目标：

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

（二）能力训练目标：

1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思

维判断能力.

（三汁青感与价值观目标：

1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.

2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.

3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、

零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要

呢？下面我们就来共同研究这个问题.

二、讲授新课

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动

手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.（学生非常高兴地投入活动中）.

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a,则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数

吗？请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：因为12=1,22=4,32=9,…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之

间，故a不可能是整数.

111224111

_x_—___x_=____x_=__

［生乙］因为224'339'339,…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是

分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但

在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

(2)设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a,b,斜边为c,则有a2+b2=c2.

［师］在这题中，两条直角边分别为1和2,斜边为b,根据勾股定理得b2=12+22,即b2=5,贝ijb

是有理数吗？请举手回答.

［生甲］因为22=4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5,故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5,所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a,b都不是有理数，而是另一类数一无理数.关于无理

数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数"，即''宇宙

间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中

的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个

发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生

命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中

的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我

们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯

索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

三、课堂练习

（一）课本P35随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2,高为h,h可能是整数吗？可能是分数吗？

解：由正三角形的性质可知BD=1,在Rt^ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能

是分数.

（二）补充练习

为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股

定理得a2=12+22,即a2=5,a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？

解：a的值大约是2.2,这个值不可能是分数.

四、课堂小结

1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.

2.能判断一个数是否为有理数.

五、课后作业：见作业本。

§2.1认识无理数（二）

教学目标

（-）知识目标：

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

（二）能力训练目标：

1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学

生独立思考、合作交流的意识和能力.

2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大

家的思维判断能力.

（三汁青感与价值观目标：

1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.

2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.

教学重点

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

教学方法

老师指导学生探索法

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中

的a,b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.

二、讲授新课

1.导入：［师］请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.

［生］因为3个正方形的面积分别为1,2,4,而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长

就大.

［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？

［生］因为a2大于1且a2小于4,所以a大致为1点几.

［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为l<a<2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进

行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,

1.52=2.25,而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4<a<1.5,所以a是1点4几，即十分

位上是4,请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.

［生］因为1.412=1.9881,1.422=2.0164,所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.

［生］因为1.4112=1.990921,1.4122=1.993744,1.4132=1.996569,1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,

所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.

［生］因为1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分

位上的数字为2.

［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.

［生］我的探索过程如下.

边长a面积s

l<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

［师］还可以继续下去吗？

［生］可以.

［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.

［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的

平方恰好等于5?请大家分组合作后回答.（约4分钟）

［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.

［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5,但我不知道为什么.

［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透,

大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5,即b是一

个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5,所以b不可能是有限小数.

2.无理数的定义

请大家把下列各数表示成小数.

452_

3,M'3'45'11,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小

组计算一个数，这样可以节省时间.

-4--5-•

［生］3=3.0,5=0.8,9=0.5,

—8=0.17•'2=1.81•8•

45,11

452_

［生］3,M是有限小数，3'45'11是无限循环小数.

［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有

限小数或无限循环小数都是有理数.

像上面研究过的a2=2,b2=5中的a,b是无限不循环小数.

无限不循环小数叫无理数（irrationalnumber）.

除上面的a,b夕卜，圆周率"=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之

间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.

3.有理数与无理数的主要区别

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.

（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

4.例题讲解

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

—4♦•

3.14,-3,0.57,0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）.

—4••

解:有理数有3.14,—3,0,57无理数有0.1010010001….

三、课堂练习

（一）随堂练习

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

*—1

0.4583,3.7,一“，-7,区

1•_

解：有理数有0.4583,3.7,—7,18.无理数有一m.

(二)补充练习

投影片(§2.1.2A)

判断题

(1)有理数与无理数的差都是有理数.

(2)无限小数都是无理数.

(3)无理数都是无限小数.

(4)两个无理数的和不一定是无理数.

解：(1)错.例兀—1是无理数.

*

⑵错.例是有理数.

(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.

(4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例Ji-=0.

投影片(§2.1.2B)

下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数?

2••

一,4.96

0.351,—3,3.14159,—5.2323332…，123456789101112…(由相继的正整数组成).

2••

—,4.96

解：有理数有0.351,-3,3.14159,

无理数有一5.2323332…，123456789101112-.

投影片（§2.1.2C）

5

［生］有理数集合填0,11,-3.

3

无理数集合填一口，一2JI,0.323323332-.

四、课时小结

本节课我们学习了以下内容.

1.用计算器进行无理数的估算.

2.无理数的定义.

3.判断一个数是无理数或有理数.

五、课后作业：见作业本。

§2.2平方根（一）

教学目标：

1、了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。

2、会求一个正数的算术平方根。

3、了解算术平方根的性质。

教学重点：算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念、性质。

教学过程：

一、问题引入

1.教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正方形的边长究

竟是多少？

学生活动：

（1）完成课本P32的填空：

a2=b2=,

c2=d2=

e2=,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们

吗？

2.师生互动

集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。

二、讲授新课：

算术平方根的概念：一般地，如果一个正数1的平方等于。，即/=。，那么，这个正数了就叫做。

的算术平方根。记为：读做根号特别地，0的算术平方根是0。

那么。=2,贝=b2=3,贝Llb=8；.......

这样的话，一个非负数的算术平方根就可以表示为3。

例1分别写出下列各数的算术平方根

4

81,—,0.09,1,23,-5,0

（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）

例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物

上自由下落，到达地面需要多长时间？

学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。

师生互动：完成引例中的1=13,则

%=工,以后我们可以利用计算器求出这个数的近似值。

三、随堂练习：P391

四、小结：

（1）内容总结：

①算术平方根的定义、表示；

②&的双重非负性。

（2）方法归纳：

转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。

五、作业：

P40习题2.312

§2.2平方根（二）

教学目标：

1、了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。

2、会求一个正数的平方根。

3、了解平方根和算术平方根的性质。

4、了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方

根。

教学重点：了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。

教学难点：平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。

教学过程：

一、复习提问

1、算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。

2、9的算术平方根是，3的平方是，

还有其他的数的平方是9吗？

二、讲授新课：

1.想一想

4

平方等于25的数有几个？平方等于0.64的数呢？

学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。

2.教师活动：

一般地，如果一个数%的平方等于。，即炉=。，那么，这个数％就叫做。的平方根。也叫做二次

方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有两个3和一3；9的算术平方根只有一个，是3。

3.学生活动：

求出下列各数的平方根。

4

9-

6,o,

三、议一议：

(1)一个正数的有几个平方根？

(2)0有几个平方根？

(3)负数呢？

★教师活动：

一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。

☆学生活动：

正数的两个平方根有什么关系吗？

讨论，交流得出：

一个正数。有两个平方根，一个是。的算术平方根，“血”，另一个是“一后”，它们互为相反数。

这两个平方根合起来，可以记做“土而"，读作“正、负根号

开平方：求一个数。的平方根的运算，叫做开平方。其中。叫做被开方数。(已知指数和募，求底

数的运算是开方运算)

★教师活动

开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。

四、例题精析：

例1求下列各数的平方根：

49

(1)64,(2)⑵,(3)0.0004,

(4)(-25)2,(5)11

注意书写格式。

五、随堂练习：P361、2

例2若尤？+40~=41~,求x；

★教师活动：

通过例2,要学生进一步明白平方根与算术平方根在应用上的区别。

六、想一想

⑴(闹尸等于多少等于多少?

(2)(J7E)2等于多少?

(3)对于正数a,(J1『等于多少?

师生互动，讨论交流得出：(向2=aNO)

七、小结：

1.平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。

2.使学生学到由特殊到一般的归纳法。

八、作业：

P36习题2.4和试一试P533

§2.3立方根

教学目标

1.使学生了解一个数的立方根概念，并会用根号表示一个数的立方根；

2.理解开立方的概念；

3.明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别.

教学重点和难点

重点：立方根的概念及求法.

难点：立方根与平方根的区别.

教学过程设计

一、复习：请同学回答下列问题：

(1)什么叫一个数a的平方根?如何用符号表示数a(K))的平方根？

(2)正数有几个平方根?它们之间的关系是什么?负数有没有平方根?0平方根是什么？

(3)当吟0时，式子a,—a,±a,的意义各是什么？

答：(1)如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根，表示为x=±a.

(2)正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0.

(3)aK),a表示a的算术平方根，一a表示a的负平方根，士a表示a的平方根.

二、引入新课

1.计算下列各题：

(1)⑵(-2)；⑶03.

答:(1)0-13=0.001；(2)(-2)-827；(3)°3=0.

指出：上面各题是已知底数和乘方指数求三次塞的运算，也叫乘方运算.

怎样求下列括号内的数?各题中已知什么?求什么？

(1)()3=18;(2)()3=-27125;(3)()3=0.

答：已知乘方指数和3次幕，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.

33

设某数为X,贝11(1)式为X=18,求X；⑵式为X=-27125,求X；(3)式为x3=0求X。

2.立方根的概念.

一般地，如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果d=a,那么x叫做a的立方根.数a的立方根用符号“表示，读作“三

次根号a,其中a是被开方数，3是根指数.(注意：根指数3不能省略).

3.开立方.

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根

可以通过立方运算来求.

三、讲解例题：

例1求下列各数的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一个数的立方根，我们可以通过立方运算来求.

解(1)因为23=8,所以8的立方根是2,即我=2.

问：除2以外，还有什么数的立方等于8?也就是说，正数8还有别的立方根吗？

答：除2以外，没有其它的数的立方等于8,也就是说，正数8的立方根只有一个.

(2)因为(一2了=8,所以一8的立方根是一2即口=—2

问：除一2以外，还有什么数的立方等于8?,也就是说，负数一8还有别的立方根吗？

答：除一2以外，没有其他的数的立方等于一8,也就是说，一8的立方根只有1个.

(3)因为653=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即正后=0.5.

327_I_273

(4)因为(-5)3=-125,所以一27125的立方根是一35,即、125=-5.

⑸因为03=0,所以。的立方根是0,即桁=0.

问：一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么？

答：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；零的立方根仍旧是零.

指出：立方根的个数的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的.

例2求下列各式的值：

27

(1)场⑵V-64

⑶VlOOO

271

解(1)327=3；(2)手―64=-4

⑶i1000=.10

四、随堂练习

1.判断题:

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；()(4)127的立方根是±13()

1

(5)—16的平方根是±4；()；(6)—12是144的平方根.()

2.选择题：

(1)数0.000125的立方根是().

A.0.5B.±0.5C.0.05D.0.005

(2)下列判断中错误的是(

A.一个数的立方根与这个数的乘积为非负数

B.一个数的两个平方根之积负数

C.一个数的立方根未必小于这个数

D.零的平方根等于零的立方根

3.求下列各数的立方根：

(1)27；(2)-38；(3)1；(4)0.

4.求下列各式的值：

11000I125

(1)100；⑵而；⑶1而；⑷『瓦；(5)VI；

五、小结

请思考下面的问题：

1.什么叫一个数的立方根?怎样用符号表示数a的立方根?a的取值范围是什么？

2.数的立方根与数的平方根有什么区别？

答：1.如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根，用符号3a表示，a为任意数.

2.正数只有一个正的立方根，但有两个互为相反数的平方根；负数有一个负的立

方根，但没有平方根.

3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.

六、作业：见作业本。

§2.4估算

教学目标

(一)教学知识点

1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大

小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.

(二)能力训练要求

1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.

2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.

教学重点

1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.

2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.

教学难点

掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.

教学过程

一.导入新课

同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？

(我猜的.)

“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是

有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.

二.讲授新课

问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2

倍，它的面积为400000米2.

(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？

(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2,你能估计它的半径吗？(误差小于1米)

提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么它

们之间有怎样的联系呢？

(因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米2,根据面积公式就能找到它们的关系式.

可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：

2x2=400000x2=200000„所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根).

在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数

的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.

12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；

132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.

13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.

下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.

(1)公园的宽没有1000米，因为1000的平方是1000000,而200000小于1000000,所以它没有1000

米宽.

大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？

因为100的平方是10000,1000的平方是1000000,而200000大于10000小于1000000,所以公园

的宽比100大而比1000小，是三位数.

大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的估算作准备.

由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题.

因为400的平方等于160000,500的平方为250000,所以公园的宽x应比400大比500小.

所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几.

因为440的平方为193600,450的平方为202500,所以x应比440大比450小，故十位上的数为4.

因为题目要求误差小于10米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x

应为440米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤.

1.估计是几位数.

2.确定最高位上的数字(如百位).

3.确定下一位上的数字.(如十位)

4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位.

在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式.

800800

(设半径为X米，贝IJ有xx2=800；.x2=n314打255.即x2处255

因为102=100,1002=10000,所以x应是两位数，又因为152=255,162=256,所以x就比15大比

16小，应为15点几，所以应为15米.)

在题目中要求误差小于1,而不是精确到1,所以15米和16米都满足要求，即x应为15米或16米.

二、议一议

⑴下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.

J0.43心0,066；莎丽心96；,2536Q60.4

(2)你能估算莎丽的大小吗？(误差小于1).

解：(1)因为0.652=0.4225,0.662=0.4356,而0.43大于0.4225小于0.4356,所以，0・43应大于0.65

小于0.66,所以估算错误.

(2)第2个错.因为10的立方是1000,900比1000小，所以900的立方根应比1000的立方根小，

即小于10,所以估算错误.

(3)第3个错.因为60的平方是3600,而2536小于3600,所以后后应比60小，所以估算错误.

第(2)小题请大家按总结的步骤进行.

(1)先确定位数

因为1的立方为1,10的立方为1000,900大于1小于1000,所以应是一位数.

(2)确定个位上数字.

因为9的立方为729,所以个位上的数字应为9.

三、例题讲解

［例1］(课本40页例1)

正11与工

［例2］通过估算，比较22的大小

分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.

_V5-1>2-1V5-l^1

解：因为5>4,即(、6)2>22,所以百>2,所以22.即22.

a+2b

［补例3］已知6+1的整数部分为a,小数部分为b.求2a+b的值.

〃一1

［补例4］已知5+2遥的整数部分和小数部分分别为。和。，求人的值

四、课堂练习

(一)随堂练习

(二)补充练习：比较巫■与3.4的大小.

解：因为3.4的平方为11.56,所以12大于11.56,即♦历>3.4.

五.课堂小结

本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较大小.

六.课后作业：习题2.6

§2.5用计算器开方

教学目标

（一）知识目标

1.会用计算器求平方根和立方根.

2.经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力.

（二）能力训练目标

1.鼓励学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲.

2.鼓励学生自己探索计算器的用法，并能熟悉用法.

3.能用计算器探索有关规律的问题，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结

论的确定性.

（三H青感与价值观目标

让学生经历运用计算器的活动，培养学生探索规律的能力，发展学生合理推理的能力.

教学重点

1.探索计算器的用法.

2.用计算器探求数学规律.

教学难点

1.探索计算器的用法.

2.用计算器探求数学规律.

教学方法

学生探索法.

教学过程

一、新课导入

我们在前几节课分别学习了平方根和立方根的定义，还知道乘方与开方是互为逆运算.比如23=8,2

叫8的立方根，8叫2的立方，有时可以根据逆运算来求方根或平方、立方.对于10以内数的立方，

20以内数的平方要求大家牢记在心，这样可以根据逆运算快速地求出这些特殊数的平方根或立方根,

那么对于不特殊的数我们应怎么求其方根呢？可以根据估算的方法来求，但是这样求方根的速度太

慢，这节课我们就学习一种快速求方根的方法，用计算器开方.

二、新课讲解

［师］请大家互相看一下计算器，拿类型相同的计算器的同学请坐到一起.这样便于大家互相讨论问

题.如果你的计算器的类型与书中的计算器的类型相同，请你按照书中的步骤熟悉一下程序，若你的

计算器的类型不同于书中的计算器，请拿相同类型计算器的同学先要探索一下如何求平方根、立方

根的步骤，把程序记下来，好吗？给大家8分钟时间进行探索.

［师］好，时间到，大家的程序掌握了吗？

［生］掌握了.

~1285,

［师］现在根据自己掌握的程序计算6而，\7^V5+1）痴万一口，然后和书中的数

据相对照，检查自己做的是否正确.

［生］正确.

三、做一做

利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字）：

3匡

(1)A/800.(2)V5.⑶J0.58；⑷V-0.432

［师］哪一位同学能用计算器快速计算出上面各式的值呢?

［生］能.

O.7616；J0,432-一0.7560.

(1)仁28.28；⑵F.639；(3)J0.58、(4)

［例题］利用计算器比较我和上的大小.

解：正=1.44224957,、历=1.414213562

V3>72

［师］请大家用计算器求下列各式的值(结果保留4个有效数字)

投影片：(§2.5A)⑴历；⑵J0.81.

⑶J1369；(4)J1.5376.⑸百；